福建省厦门双十中学2026-2027学年高三上学期数学第四次周考试题

周考四答案 1 2 3 4 5 6 1」 8 D B A D C C A A 9 10 11 12 13 14 ACD BCD ABD 3 0 V13;2V3 8.由ae-2=e25>0,两边取对数，n(ae-2）=ln(e25）,即na+a=2027, 又由b(nb-2)=e208>0,两边取对数，lnb+ln(nb-2)=2028,即lnb-2+h(nb-2)=2026, 令f(x)=x+lnx,x>0,则f(a=2027>f(nb-2)=2026, 由f(x)=1+>0,可得f(x)在(0，+o)上单调递增，则a>nb-2,故ab>(nb-2)b=c2, 又由a>lhb-2可得b<e*2,则ab<ae+2=aea-2.e=e2,故e228<ab<e2.故选：A 山，对FA国-e,因为小子1.则是商高威 当≥0时，本中在®+)单酒道商，则在（三，0]也单调造。 x+11 又因x=0时函数有定义，则f(x)在R上单调递增，即对任意x,x2∈R,且x≠x2,都有 (x-x)[f(x)-f(x门>0，A正确： 对FB当>0时.则=引点+点}+5+245 21+x1+x厂21+x+x+x2) 之，投当2 x+X2 2)厂1++名2+x+名 2 2 20+x+名+x2+x+5因为，>0，所以分母恒为正：分子化-x}≤0，故 -(x-x2)2 1o-f}so.f告) 当且仅当x=x2时取等号，B正确： 2 对于c=(-.即-1kfe1,当-<f0时.[]=-：当0≤f1时 [f(x)]=0:即[f(x)]只能取-1k0,不能取到1，c错误： D.@当x20时，f=x0,f圳=+是=2 1+,x2x+1, 1+x fW0>分2，因202+10.则可等22x+0.解得0c: @当x<0时，f因-(L0,f) 1-x 1+ =1-2x' 1-x U训台点，因x01-2x0.时得分解得x 综上可得圳的解集为。引》0》 D正确 14.由题意，正△ABC边长为4V3,D、E分别是AC、AB的中点， 由三角形中位线性质得DEBC,DB=BC=25,放四边形BCDE为等腰梯形，且BE=CD=25 取BC中点M,DE中点N,连接MN,则MN为等腰梯形BCDE的对称轴，梯形高MN=3, 易证：MB=MC=2√3，ME=MD=2√3因此点M为底面等腰梯形BCDE的外接圆圆心，底面外接圆半径 r=2V3,△ADE沿DE翻折为△ADE,翻折过程中边长与垂直关系不变： AN=AW=3,AN⊥DE即翻折时，动点A在垂直于直线DE的平面内，以定点N为圆心、3为半径的圆上运动， 设四棱锥A-BCDE的外接球球心为O,半径为R, 由外接球性质：球心O在过底面外接圆圆心M且垂直于底面BCDE的垂线上， 设OM=h,由线面垂直得OM⊥底面BCDE,故OM⊥MB,， 由勾股定理得外接球半径核心关系： R2=OM2+MB2=h2+12①过点A作AP⊥平面BCDE,则AP⊥PM 设翻折角∠ANA=0,(0<0<π)，在△APN中，AN=3, AP=3sin 0,PM=3+3cos0 由R2=(3+3cos0)}+(3sin0-h)2②由①②得到h2+12=18+18cos0-6hsin0+h2 1g,代入⑦得到R=120tne0,1=msa(e11<W.则R-2++3到 得到h=1+3cos0 sin20 1-2 当1=写即化=12，此时人=25 15、（I)在aBCD中，根据正弦定理可得BD sm2 CDsimD即snD=BC-snC8CD_2xsn0、V2 BC BD 2 21 由∠CBD为钝角，得∠D为锐角，所以∠D=45°，所以∠ABC=∠D+∠BCD=75°， 所以AB=_BC 2 2 2 = ，=2√6+2W2 cos75 cos(45+30)c0s45 cos30-sim45 sin30 .…7 2×2-22 -× (2)因为CD=2W3, 在ABCD中，由余弦定理得，BD2=BC2+CD2-2BC.CDcos∠BCD, 解得BD=2,则∠D=∠BCD=30°，则∠ABC=60°，在AABC中，AB=4,AC=2N3, 小E=小×Z×小Zx=aD7s·qDD联￥厘g0Dv 16.(1)在三棱柱ABC-AB,C中，平面ABC11平面AB,C, 而平面ABC∩平面ABD=DE,平面A,B,C∩平面AB,D=AB,得DE/IAB :ABIIAB,·DE1IAB,D为AC中点，E为BC中点. …6 (2)连接BD,:AB=BC且D为AC中点，.BD⊥AC. 在△AAD中，由余弦定理可知AD=VAA+AD2-2AA×AD×cos∠AAC=V3 故在△AAD中，AD2+AD2=A4,即AD⊥AC. 平面ABC⊥平面AACC,且平面ABC∩平面AACC=AC,ADc平面AACC, 得AD⊥平面ABC,故AD,AC,BD两两垂直，如图建立空间直角坐标系， 则A(0,0V3),D(0,0,0),B1,0,0),C(0,1,0),A(0,-1,0) 平面ABC的一个法向量m=DA=(0,0,V3), 设AG=4B=L,0,-V3)=(2,0,-32),其中2∈(0，) CG=CA+AG=(几，-1，V3-V32),AC=(0,2,0).设平面AGC的法向量i=(x,y,z) B n-cG=0-x-y+(5-5az=0令2=l,y=0,=5,5 i.AC=02y=0 n.m 5 5x+ V3-v5 即1+ 5队-5-4，解得9方 ……15 17(1)y2=4x的准线方程为：x=-1,故M(-1,0); 易知直线1的斜率存在，设直线k:y=k(x+I), y=k(x+),y-y+k=0,由直线1与C相切，可得 k≠0 联立 y2=4x’41 △=1-k2=0 解得k=士1，故直线1的方程为x+y+1=0或x-y+1=0.…7 (2)设A(x,y),B(x2,y2),易知直线1的斜率存在，设直线：y=k(x+), ,含r-4-0,则么920+为%=4 4 联立 y2=4x 因为MB=2MA,所以2(x+l,)=(:+1,),即有为=2： 代入上式可得3%=是片=2，解得k=士22 4 即%+为=32： 3 FA+网=(+(+-香+年+2-+-2+2 9 …15 4 2 证明：完分性.己f7若f%)X则=X 2明：f=0=X。 4雯性：已区刃，养F必切光则以=X 2的. 设f(x)=u,则f(y)=xo,即(x)和(，x)都在函数y= 18 f(x)的图象上， 假设x>o,因为y=f(x)是增函数，则f()>f(), 即y>xu,与假设矛盾； 假设x<,因为y=f(x)是增函数，则f()<f(), 即yo<x,与假设矛盾； 故x=,即f(x)=xo,y=f(x)有不动点xo …5 221=X→2x3X十=0今X=威X-支，)- 令2(22-1P-1=x,因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解x=-21, 由此因式分解，可得(x-1)(2x+1)(4x2+2x-1)=0 还有另外两解x=1士5，故函数y=2x'-1的稳定点有 4 分1,15其中1士5是稳定点，但不是不动点 4 y=2x2-1 不动点是函数图象与直线y=x的交点的横坐标， 而稳定点是函数图象与它的反函数（可以是多值的） y=±的图象的交点的横坐标， …12 (3)因为函数y=f(x)在定义城内单增函数，所以 f国》=有解等价于fa)=x有解，故r=之+a在 [1.e]上有解，令即a=lnx-之，令g)=lnr-2女 则ge)=士=22z,ren.el:当xe1,2时，g回 >0,g(x)单调递增， 当x∈[2，e]时g(x)<0,g(x)单调递减，∴g(x)max=g(2) =lh2-1,gem=g1)=-号 故实数a的取值范围为[-之1n2- ………17 19(1)i证明：f(π-x)=(π-x)2-π元-x)+asin(π-x)=x2-x+asinx=fex) 二f()关于直线x=)对称，宁 …4 (2)由(4)知/()关于直线x=号对称，放仅考虑x0引 f(x)=2x-i+acosx,g(x)=f(x),g'(x)=2-asinx. G)当a≤2时，g'(e)20恒成立.(-=f儿在(0单调道增， 此时，f八)≤f-0:f)在到单调递减，所以)<f0=0,此时在0，引不存在最大值 《i当a>2时，30到使im-子 当x@时，g6小>0，g=了到单调运酒，当xe引时.g0,8国=心因卓词港减。 又因为go=fo=-+a,8[经}r}-0,所以g()-f)>r}-0 2元 g(x)=f(x) ①当a≥π时，g(x)=f(x)的大致图象如下图所示， a-元 可知x引时，)=f20,布0引年调港卷， 此时存在最大值f5=-文+，符合题意； 多 4 ②当2<a<π时，x∈(0，x)使g(:)=f'()=0,8(x)=f'(x)的大致图象如下图所示， 2<a<π 可知x∈(0，x)时，g(x)=f'(x)<0,f(x)在(0，x)单调递减， g(x)f(x) 时，gs)=f)>0,f在2 可知x∈2 单调递增， 当}2f0时在(0到存在绿大值，即-耳+a≥0：印 X 4 ≤a<π. a-元 综上a≥牙时f有最大值-开+a ……10 4 (3)由(2)知：当a<π时，不成立，a=π时，f'(x)=2x-π+πcosx, g'(x)=2-πsinx,g(0)=-元+a20,3x、x2∈(0，π)， 使s=m,子且0<名经6< g(x)在(0，)单调递增，(：，)单调递减，(：，)单调递增， g0=0,-0,8(-0,8>0,8小k0,fa在0到单涧造指， 单调递减， f(x)≥0在[0，成立， x<0时，x<sinx,f(x)=x2-r+πsinx=x2-π(x-sinr)>0成立， x>π时，元-x<0,f(x)=f(π-x)>0成立， 所以a=π，对x∈R时，f(x)≥0恒成立. 当a>时，3或、名0列使m=s=是且0<<受<名<x 2 g(x)在(0，x)单调递增，(：，x)单调递减，(x2,π)单调递增， 80=-+a>0,8(国=-a<0,g)小>8=0， 8爱)-2x<0,3或∈（受0f()在(k0单调遥增。 x∈(x,0)时，f(x)<0不成立，综上a=元，对xeR时，f(x)≥0恒成立.…17厦门双十中学2027届高三数学第四次周考 注意事项: 1.本试卷满分150分,考试时间120分钟 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题卷上无效, 4.考试结束后,将答题卡交回. 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分) 1.已知集合A= -1-2L4,B={VF=-x,则AnB=( ) A.{-1,1} B.O C.{-1,4} D.{-1,-2} 2.已知复数z= cos60 -isin60, 则=( ) A.2+23i B.2-23i C.25+2i D.25-2i 3.已知某AI智能软件处理相关数据量x(单位:TB)与所需时间y(单位:in)之间的关系为y=log,x, 当要处理的数据量从27TB增加到729TB时,处理的时间增加了9m,则要处理的数据量为81TB时,所需的处 理时间为( ) A.12min B.15min C.16min D.18min 4.母线长相等的两个圆锥,侧面展开图的圆心角之和为2 ,若它们的侧面积之比为2:1,则体积比为( ) A.2:1 B.4:1 c.5:1 D.V10:1 5.设x,y∈R,则“x3+y>0”是“x+y>0”的( ) A,充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.如图,正方体ABCD-ABCD,的棱长为1,E,F分别为44,CC,的中点,G在DC上,且DG=GC, 平面EFG与棱BB所在直线交于点H,则BH=( ) D G B D 83 c. D. 7.若函数f(x)对任意x∈R都有f(x+3)=-f(x),f(x+3)是偶函数,且当x∈[2,3]时,f(x)=-4x,则 f(2026)=( ) A.-8 B.8 C.-12 D.12 8.已知正实数a,b满足ea-3=e25和b(nb-2)=e08,则( ) A.e2028<ab<e2029B.e2021<ab<e2028 C.e2026<ab<e202m D.e2025<ab<e2026 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得 0分) 9.若6=2,6=3,则( ) A.a+b=1 B.daps c D.a心 10.己知菱形ABCD的边长为4,∠ABC=60 ,E是BC的中点DF=-2AF,AE与BF交于点M,P是线段 CD上一点(含端点),则( ) A.AE.BF=12 B.cos∠AMB=3y 26 C.AP.AB的最小值为-8 D.PA.PB的最小值为8 1.已知函数f)-1xeR),则( ) A.对任意x,飞,∈R,且x≠x,都有(3-x)[f(x)-f(x门>0 B.对任意飞,k∈0+m),都有f)十f)sf飞+名 2 2 C.设符号[x]表示不超过x的最大整数, 1+x 可能为-1,0,1 D不等式U)的解华为对》 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.己知非零向量a,b满足d=2b,ab=b,则 与b的夹角为 x, x≤2 13.设a>0,a≠1.若函数y= d+4 x>2有最大值,则a的取值范围是】 14.如图, ABC是边长为4W√5的正三角形,D,E分别是AC,AB的中点,将 ADE沿DE翻折至 ADE, (1)当平面ADE⊥平面BCDE时,四棱锥A-BCDE外接球半径为 ;(2)翻折过程中四棱锥 A-BCDE外接球半径的最小值为 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15,(13分)如图,在 ABC中,∠ACB=90,D为AB延长线上的一点,∠BCD=30,BC=2. (1)若BD=√2,求AB的长: C (2)若CD=2√5,求 ACD的面积. D B 16.(15分)如图,在三棱柱ABC-ABC,中,侧面AACC⊥底面ABC,D为AC中点,过点A,B,D的平 面与BC交于点E,AC=AA=2,∠AAC=60 ,AB=BC=√2. (1)求证:E为BC的中点; (2)设G是线段4B上一点(不包含线段端点),若平面AGC与平面ABC所成的角是60,求4g B的值. B G E B 17.(15分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,C的准线与x轴交于点M,直线1过点M (1)若直线1与C相切,求直线1的方程: (2)若直线1与C交于A,B两点,且MB=2MA,求FA+FB 18.(17分)一般地,对于定义在区间D上的函数f(x): 若存在x。∈D,使得f(x)=,则称x为函数∫(x)的一阶不动点,简称不动点: 若存在x。∈D,使得ff()门=x。,则称x。为函数∫(x)的二阶不动点,简称稳定点. (I)已知函数y=f(x)单调递增,求证:x,是f(x)的稳定点的充要条件是x,是f(x)的不动点: (2)己知函数f(x)=2x-1,求f(x)的不动点和稳定点: 3)函数fy)=hx+】x-a,(aeR),若存在beL,d使得ff)=b,求实数a的取值范国。 19.(17分)已知f(x)=x'-+sinx,a∈R. 0)求:)图象关于直线-子对称: (2)当x∈(0,D)时,f(x)存在最大值,求实数a的取值范围; (3)当x∈R时,f(x)≥0恒成立,求a的值