福建省厦门双十中学2027届高三上学期数学限时训练(1)

厦门双十中学2027届高三上数学限时训练 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置， 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效， 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1.已知复数：满足z=,1 1+2, 那么复数=对应的点在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.己知集合A= 0,8=-2x<,则4B=《) A.{x0<x≤1} B.{-1<x<2} C.{x0<x<1} D.{x-1<x<0} 3.已知a<b<0<c<d,则下列不等式一定成立的是() A.ac<bd B.ac >bd C.ad<bc D.ad >bc 4.已知等差数列{a},a=5,a-a,=a,则S的最大值为() A.19 B.20 C.21 D.22 5.已知平面向量a,i,c满足-=l=√2且ā+五+c=0,则向量ā-c和向量五-c的夹角的余弦值为 () B c. D. 6.如图，向一个高为3且底面水平放置的正四棱锥容器注水，水面高度为1时停止注水（不考虑容器 厚度)，将此四棱锥容器倒置后，水面高度为() A.1 B.2 C.17 D.19 7.设函数f(x)= 04”,若/)>0恒成立，则实数a的取值范围是() 1 A.(1,+0) B. 0, ”3 c.)D. 8.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F，准线为1.点P在C上，过P作抛物线的切线交准线1于点Q.当 △FPQ外接圆面积最小时，点P的坐标可以是() 21 D.(2,1) 28 B.V) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知x,y∈R,条件q:x+y<2,则9成立的充分不必要条件有（) A.x==0 B.+y<2 C.x2+y2=2 D.lnr<0且hy<0 10.已知双曲线C若号=1a>0的左、右焦点分别是R,R,过R作c的一条渐近线的垂线，垂足为 ,且与双曲线左支交于点P,若PF=3QF,则() A.PE=9 B.∠FPE=90° C.C的离心率为 2 D.SA55=18 11.设有限集合U={a,A,a,,a},其中m≥4，meN,非空集合McU,M=CM,若存在集合M, 使得M,M中的所有元素之和相等，则称集合U是“可拆等和集”，则() A.集合U={1,2,4,,2o2}不是可拆等和集” B.若集合U={-1,2,5,k}是可拆等和集”，则k的取值共有6个 C.存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列{a},使得集合U是可拆等和集” D.若m=4k+3,k∈N,数列{a}是等差数列且公差d=4,则集合U是可拆等和集 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知a∈(0，，且cosa=-10 ,则m2a 13.已知3“=3+3°，则2a-b的最小值为 14.从1,2,3，.，10这10个数中任取4个不同的数4,4,4,4，则事件存在1≤i<j≤4， i,j∈N,使得a-a=1的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(本小题13分) 在△ABC中，∠B为锐角，a=10,asin B+bsinA=10W3. (1)求∠B; 2)若smA,求△ABC的面积及AB边上的中线长 16.(本小题15分) 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，DE∥CF,G为线段AF的中点， AB=CF=2DE=2. (1)求证：BD∥平面AEF; (2)若DE⊥平面ABCD,求直线BG与平面AEF所成角的正弦值； E (3)求点C到平面AEF的距离. D 17.(本小题15分) 某用户在网约车平台发起订单后，平台按照就近原则依次派车：先派距离用户最近的第一辆车，若该 车无法接单，则继续派第二辆车，以此类推，直至某网约车接单.假设该平台上每辆车接单的概率均为 },且各辆车是否接单相互独立记某网约车接单时平台为该用户派车的总次数为X。 (I)求X=k(k∈N)的概率P(X=),并证明：P(X>5+tX>S)=P(X>)对任意正整数s,t恒成立： (②)已知平台为该用户派出的第一辆车未接单，设平台还需为该用户继续派车的次数为Y.平台规定：若 Y>4,则赠送该用户一张金额为3元的优惠券：否则，不赠送优惠券.求平台赠送该用户的优惠券金额 5的期望」 18.(本小题17分) 椭圆二+片=1a>b>0)的下顶点为A(0,-1),左焦点到A的距离为5. (1)求椭圆E的方程及离心率； (2)经过点A的直线与椭圆的另一个交点为D(位于x轴上方)，与x轴的交点为M.点D关于x轴的对 称点为E,过点D作与x轴平行的直线交直线AE于点N.设△DEN与△AEM的面积分别为Sw与 SA4M,若S。N=3SAM,求直线AD的斜率， 19.(本小题17分) 已知函数f(x)=h(x+2a)-r. (1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在其定义域内恰好有两个零点，求实数a的取值范围： (3)当a>1时，求证：函数g(x)=f(x)+x在f(x)的最小零点x。处取得最小值。.厦门双十中学2027届高三上数学限时训练答案 1 2 3 4 5 6 7 8 D B C C B D D B 9 10 11 12 13 14 3 5 ABD ACD ABD 4 2log32+1 6 8.设点P(2t,t2)(t≠0)，C:x2=4y→y= 将x=2t代入可得y'=t,故则过P作抛物线的切线为：y-t2=t(x-2t)→y=tc-tP, 又推线I为：y=1,故y=-?中，令y=1得x=t-} 可得点-刂小又Q所以师=(z-)网=-而而=0， 所以∠PFQ为直角，PQ为△FPO外接圆的直径， m-（1-(9-f1-+3+片s. 令=，则可得u0)=r++片3≥0，自u+含-0，当0得r分令<0得0<号 故当v=时，“取得极小值，也是最小值，即所求外接圆的面积最小，此时点P±5, 故选：B 11.对于A项，1,2,4，，2225构成了一个以1为首项，2为公比的等比数列， 且1+2+4++2024_1-2202 12=201<205 所以，当M={205}时，M={红2,4，，204}中所有元素之和也小于205，不满足要求： 当M含有22025以及22025之外的其余元素时，也不满足要求 综上，集合U={红2,4，，2025}不是“可拆等和集”，故A正确： 对于B项，若M={-,则由“可拆等和集”的定义，有2+5+k=-1,解得k=-8; 若M={2},则由“可拆等和集的定义，有-1+5+k=2,解得k=-2: 若M={5},则由“可拆等和集的定义，有2-1+k=5,解得k=4: 若M={-1,2},则由“可拆等和集的定义，有5+k=-1+2,解得k=-4: 若M={-1,5},则由“可拆等和集”的定义，有2+k=-1+5,解得k=2, 此时因集合U={-1,2,5,k}已含有元素2，故舍去； 若M={2,5},则由“可拆等和集的定义，有-1+k=2+5,解得k=8 若M={-1,2,5},则由可拆等和集的定义，有k=-1+2+5=6. 综上可知：k可取-8，-2，-4,6,4,8共6个值，故B正确： 对于C项，将U中所有元素同时除以a后可得={1，q,,,g”-}, 根据等比数列前n项和公式，可得1+q+++414-,】 1-qq-1 因为92，所以411,071所以有0：9g5g1长 9-1 所以，当4={qm1}时，CM=红g,,,qm}中所有元素之和也小于q1, 不满足要求，显然同时乘以a1后仍然不满足； 当4含有d-以及qm-1之外的其余元素时，也不满足要求，显然同时乘以a后仍然不满足 综上所述，不存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列{a,},使得集合U是“可拆等和集”，故C错误： 对于D项，易知集合U中的元素个数为4k+3,k∈N, 根据等差数列的性质可知，4+a4k3=马+a4k+2=A+a4kH==马kH+马k3，k∈N, 共有+3-1-2k+1组（利余元素为），从中别除4#+之后，剩余2k组 2 从这2k组相同的数据中任意选出k组，将对应的元素分到集合M中； 又d=4,则aH+ak+2=a+hd+4+(2k+1)d=4+a+a+(2k+1)a=(3k+3)4, 而4k+3=a+(3k+2)d=(3k+3)4=a1+4k+2, 不妨将ak1,ak+2这两个元素也分到集合M中，则可满足M,M中的元素之和相等.故D正确.故选：ABD. 14根据题意，从1、2、3、、10这10个数中任取4个不同的数a1、4、4、a4,有C0种取法， 假设4<4<4<a4,若不存在1≤i<j≤4且i、jeN,使得a-a=1, 则有1≤4<4-1<4-2<44-3≤7， 在1、2、3、、7中任取4个不同的数，依次表示a1、4-1、-2、44-3, 此时有C1种不符合题意的取法，则有C-C1=210-35=175种符合题意的取法. 5 以事件“存在1≤i<j≤4，，jEN,使得4-a=1的概率为05故答案为：，。 15(1)在△ABC中，由正弦定理a=b 、,所以asin B=bsinA, sin A sin B 因为asin B+bsinA=l0W3,所以asin B=bsinA=5V3, 又a=10,所以nB=5,因为∠B为锐角，所以∠B=云. ……6分 2 ②)mA因为A,B是△BC的内角，者A为纯角，则co0sA1业 141 sinC=sin(-(A+B))=sin(A+B) =im4cosB+co34smB=55×11x5.-350,不成立， 14214214 所以A为锐角，即cosA=1业， 14 如sinc,得8=140-28 由正弦定理a-b。c sinA 5v3 3 得b=28 ·simB=14, 又sinC=sim(A+B)=sinc+cos=5V5L+↓x5_4区 1424271 所以c=16,8c=m810165406, 2 2 设AB中点为M,由余弦定理 CW-8c2+5M-2=10+8-2x108x号84，得CM-2.…1B分 16.(1)连接AC,设ACOBD=O,因为四边形ABCD为正方形， 所以O为AC的中点，又因为G为AF的中点， 所以OG∥CF且OG=cr,由已知DE∥CP且DE=CF, 所以DE‖OG且DE=OG,所以四边形DOGE为平行四边形， 所以DO‖EG即BD∥EG,因为BDd平面AEF,EGC平面AEF, 所以BD∥平面AEF.…7分 (2)因为DE⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形，以点D为坐标原点， DA、DC、DE所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的坐标系， ZA 因为AB=CF=2DE=2,所以D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0), E E(0,0,1),F(0,2,2),G1,1,1),BG=(-1,-1,1),AE=(-2,0,1), G AF=(-2,2,2),设平面AEF的一个法向量为i=(x,y,), A 元.AE=-2x+:=0 则 取x=1,可得i=(1,-1,2), i.A℉=-2x+2y+2==0' 设直线BG与平面AEF所成角为O,则直线BG与平面AEF所成角的正弦值为 sn0=kos(aG,外 BG.2迈 12分 BG:园3xV63 (3)由(2)可知平面AEF的一个法向量为i=(1,-1,2),又AC=(-2,2,0), 所以点C到平面AEF的距离d= 4C.升426 。。。。。。。。。。。。。。。 网63 …15分 10a=9-得” f伊母 所以，对任意的正整数s,t. 2 s+t P(X>s+ilX>s)= P(X>s+t) 3 2 =P(X>t).…7分 P(X>s) 2 (2)由(1)知，PY>4)=P(X-1>4X>1)=P(X>5X>1)=P(X>4), 平台需要支付该用户的优惠券金额5的所有可能取值为0,3， 则P(5=3)=P>4)=P(X>4)= 81 m5=3×货0：G=0- 271 16 即平台需要赠送的优惠券金额的期望 27元. .…15分 18()设椭圆么+。1a>b>0)的焦距为2c,则下顶点坐标为0，b),左焦点-c0)到下顶点(Q,-b)的距 离为a,肉因为稀圆云号若=a>6>0)的下顶点为40-，本共点到A的瓶疼为5，所以61a-5,c5. 所以精圆的方程为号护-1：背心率为：=三-治=5 …5分 a3 3 (2)由题意知，直线AD的斜率存在且不为零， 设直线AD方程为y=红-1，令=0得x=是故M0 (y=kx-1 联立方程￡=1得+3论)r产6=0，解得x=0或r 6k 3 1+3k2, 所以xD= +3浓，代入=-1得0=k,6经 6k 1+32~1= 3k2-1 1+3k2’ 1-3k2 6k 3k2-1 所以D E小 6k1-3k2 1+3k21+3k2 1+3k2'1+3k2 所以长，=注深()21 1+3k-06k3k 6k 所以直线AB的方程为y= x-1, 3k 3k2-1 因为DN的方程为y= 1+3k2 3k2-1 y= 所以 1+3k2 得N 18k33k2-1 1 1+3k2'1+3k2 y=-1 所以.DN 12(3k2-118e 6k/ 632-12 21+3k2 1+3R1+3水- (1+3k2)月 因为AE到= 12 6k2W1+9k2 h+3+3 1+3k2 3 1-3k2 点M公0到直线B的证离为4 3k2 3k2 1-32到 2 1 V1+92 +9 1+3 所以Sw=ABd=12M+9E1-3叫 1-3k2 2 21+3k2 +92 01+32)' 因为S△DEN=3S△ABM,所 6网32-123-3| (1+3k2)月 1+39)1 即2-」-1， 1+3k 设椭圆的右顶点为C(5,0）, 因为经过点A的直线与椭圆的另一个交点为D(位于x轴上方)， 以c号10， 所以2k2(3k2-1)=1+3k2,，令t=k2,则2t(3t-1)=1+3t,即6t2-5t-1=0, 所以6-5t-1=(6t+1)t-1)=0,解得t=1或t=-1(舍去)，则k2=1, 6 所以k=士1，即直线AD的斜率为士1.…17分 19(1)当a=1时，f(四-=血(x+2)-c>-2),则f(y=1,1=. x+2x+2 由f'(x)=0,得x=-1, 所以当-2<<-1时，f'(x)>0,f(x)单调递增 当x>-1时，f'(x)<0,f(x)单调递减 所以函数f(x)的单调递增区间为(-2,1)，单调递减区间为(-1，+∞).…5分 (2)因为f)=1a=a-20+(r>-2a. x+2a x+2a 当a=0时，f)子心在定义威@+)上单调造地，合去： 当a<0时，由f'(x)=0,得x=1-2a<-2a, a 所以∫(x)在定义域(-2a,+o)上单调递增，舍去： 当a>0时，由f'(x)=0,得x=1-2a, 所以在(2a日2女上单调递湘，在[日2a+ 上单调递减， 且x→-2a时，f(x)→-0：x→+n时，f(x)→-0， 所以f(x)在x=】-2a处取得最大值， 由版意知，必须r[日2n-hgaa-2a2-a-10 设h(@)=2a2-lha-l,则h(a=4a-14a-1 aa 由(@)-0，得a=分当a∈0，宁时，(a<0,h(a单调递减， 当ae+)时.(a>0,h(网单调递增，故h(a在a=2 取得最小值， 即h@A兮)h2-分0，即(0)式恒成立， 所以，所求实数a的取值范围是(0，+o∞)… …11分 当a≥1时.由2知f作(-a片上年增，在日2a）上单减，四有两个零点，且-2气2： 当x>2a时，g(s)-f(x+x2x>2a>5, 当6<x<-2a时，fm)>0,则g()=/(x+x=了)+x, 白于西数时纠和y=x4(二分20上都单润递增， 所以在（飞日2如上年词通： 当-2a<x<x时，f(x)<0, 则g(x)=f(x)+x=-f(x)+x=-h(x+2a)+(a+1)x, 由于0<x+2a<6+2a,则g()=-,1+a+1K-,1才a+1, x+2a x0+2a 下证：一 1 1-2a. +2 +a+1<0,只要证：< a+1 即证：)品2a小即证 1-2>0(*), 因为当a1时，(a=小ka,a41 则/2刘(a02i品>a2i1(2a0a)>t 即(*)一定成立， 所以8()<-1 +2a+a+1<0,即g(y)在(-2a)上单调递减。 综上所述，g(x)m=g()=/(+=6,原命题得证.…17分