3.2　圆心角 同步练习 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 以圆心角定理及逆定理为核心，分层设计基础认知、定理应用、综合推理三阶练习，通过图形辨析、动态情境及跨知识整合，培养几何直观与推理能力，适配新授课分层巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|圆心角概念辨析、简单弧长计算|图形选项直观辨析定义（如第1题），结合量角器情境巩固定理（如第6题）| |定理应用|圆心角与弧、弦关系证明|通过平行（第5题）、旋转（第9题）等情境直接应用定理，强化逻辑表达| |综合推理|多知识点整合及推理能力|融入对称（第15题）、四边形（第12题）等知识，设计动态折叠（第10题）、尺规作图（第11题）等探究性问题，发展创新意识|

3.2 圆心角 分值：73分 第1课时 圆心角定理 选择题每小题3分 A 基础对点练 1.下列图形中的∠ACB,属于圆心角的是() B B. C.D. 2.下列说法中，正确的是() A.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 B.相等的弦所对的圆心角相等 C.长度相等的两条弧相等 D.圆是轴对称图形，它只有一条对称轴，就是它的直径 3.已知弦AB把圆周分成1：3的两部分，则劣弧AB所对应的圆心角的度数为( ) A.45° B.45°或135 C.90° D.90°或270° 4.如图，AB, CD是oO的直径，若∠A0C-55,则AD的度数为) A.55o B.110° C.125° D.135° 5.如图，AB,CD是⊙O的直径，过点A作AE∥CD,交⊙O于点E。若 ∠AOC-70°，则的度数为() AE A.70° B.60° C.50° D.40° D B 第5题图 6.(3分)将等腰直角三角尺与量角器按如图所示的方式摆放，若三角尺的直角顶 点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧相交于 A,B两点， 则AB的度数为 7.3分)如图，AB是o0的直径，如果∠COA=∠D0B60,那么与AC相等的弧 有 ,与线段OA相等的弦有 CD DB D ⊙ 0 8.(6分)如图，EF,CD是⊙O的两条直径，∠COF=32°，若∠ADC=53°，求证： AD=AF° 0 E D 第8题图 9.(8分)如图，AB为⊙O的直径，∠DOC-90°，将∠DOC绕点O旋 转，D,C两点在直径AB上方，且不与点A,B重合。 (1)(4分)求证：AD+BC=CD° (2)(4分)AD+BC=CD成立吗？请说明理由。 D A 第9题图 B综合提升练 10.把一张圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕， 则的度数为() BC ⊙-- B A.120° B.135° C.150° D.165° 11.(3分)下面是“作已知圆的内接正方形”的尺规作图过程。 (I)如图，作⊙O的直径AB: ②)分别以点A,B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点M, N; (3)作直线N,与⊙O相交于C,D两点，顺次连结A,C,B,D,则四边形 ACBD为所求作的圆内接正方形： 该尺规作图的依据是 (填序号)。 ①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 ②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。 ③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等。 ④对角线相等的菱形是正方形。 12.(8分)如图，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A,分别交BC,AD 于E,F两点，交BA的延长线于点G。判断和是否相等，并说明理由。 EF FG A 第12题图 13.(8分)如图，AB是⊙O的弦，C,D是弦AB上的两点，且OC-OD,延长 OC,OD,分别交⊙0于点E,P,连结OA,OB。求证：AE=BF ○ 14.(8分)如图，在△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，以点B为圆心， AB长为半径画圆，交AC于点D,交BC于点E。求证： (14分)AD2ED° (2)(4分)D是AC的中点。 B 第14题图 *挑战备选练（选做) 15.(8分)[推理能力]如图，N是⊙O的直径，A是半圆的一个三等分点，B是 AN上一点，若OB平分∠AON,B"是点B关于N的对称点，O0的半径为1， 求AB的长。 B M 第15题图 第2课时 圆心角定理的逆 分值：67分 定理 选择题每小题3分 A 基础对点练 1.有下列命题： ①在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等： ②在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等： ③在同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等： ④在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等。 其中真命题是() A.①② B.②④ c.①③④ D.②③④ 2如图，在O0中，AB=AC:∠A=30,则∠B的度数为) A.150° B.75° C.60° D.15° B 第2题图 第3题图 3如图，在o0中，C是AB的中点，∠A=50,则∠B0C(） A.40 B.45° C.50° D.609 43分)如图，圆心角∠A020°，将AB旋转r得到CD则CD的度数为_ 00 E D 0 B B 第4题图 第5题图 5.(3分)如图，己知AB是⊙0的直径， BC=CD=DE'∠B0C-42,则AE的度数 为 6.(3分)如图，在⊙0中，AC=BD,若∠AOC=110°，OC⊥BD,则∠C0D- 7.(3分)如图，PO是⊙O的直径所在的直线，且PO平分∠BPD,OE⊥AB于点 E,OFLCD于点E,有下列结论：①AB=CD:②AB=CD:③PO=PE: ④PB=PD。其中正确的是 (填序号)。 B 8.(6分)如图，MB,MD是⊙O的两条弦，点A,C分别在，m MB,MD 上，且AB-CD,M是的中点。求证：MB=MD。 AC A D 9(8分)如图，4B是C0的直径，C是O0上一点，AC=BC取AC的中点B, 过点E作ED∥AB,交OC于点D。求证：OD=ED。 C E D B B综合提升练 10.如图，在o0中，已知AB2CD则() C D 0 B AAB-2CD BAB<2CD C.AB>2CD DAB与2CD的大小不能确定 11.(3分)如图，在一根横截面半径为12cm圆柱体零件的正中位置打 一个正三角形孔，正三角形顶点离圆柱边缘不少于2c,则这个正三角形边长 最大为 cm. 0 128分)如图，AB,4C是O0的两条弦，且AB=AC (1)(4分)求证：AO平分∠BAC。 (2)(4分)若AB-45,BC-8,求半径OA的长。 0 13.(8分)如图，在⊙O中，C,D是直径AB上的两点，作EG LAB于点C, H⊥AB于点D,点E,G,下，H在O0上，且AE=BF (1)(4分)若EG-8,AC-2,求⊙O的半径。 (2)(4分)求证：AC=BD。 E B 0 G H 第13题图 桃战备选练（选做) 14.(10分)[推理能力]如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上的一点（不与点A, B重合)，过点A作AD∥OC,交半圆于点D,E是直径AB上的一点，且 AE=AD,连结CE,CD。 (1)(4分)求证：CD-CE。 (②6分)延长C,AD相交于点F,连结OD,若AD3CD求证：四边形 OCFD是菱形。 D 0 3.2　圆心角 第1课时　圆心角定理 分值：73分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.下列图形中的∠ACB，属于圆心角的是(　B　) A. B. C. D. 2.下列说法中，正确的是(　A　) A.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 B.相等的弦所对的圆心角相等 C.长度相等的两条弧相等 D.圆是轴对称图形，它只有一条对称轴，就是它的直径 3.已知弦AB把圆周分成1∶3的两部分，则劣弧AB所对应的圆心角的度数为(　C　) A.45° B.45°或135° C.90° D.90°或270° 4.如图，AB，CD是☉O的直径，若∠AOC=55°，则的度数为(　C　) A.55° B.110° C.125° D.135° 【解析】 ∵∠AOC=55°， ∴∠AOD=180°－55°=125°， ∴的度数为125°。 5.如图，AB，CD是☉O的直径，过点A作AE∥CD，交☉O于点E。若∠AOC=70°，则的度数为(　D　) A.70° B.60° C.50° D.40° 第5题图 第5题答图 【解析】 如答图，连结OE。 ∵∠AOC=70°，AE∥CD， ∴∠EAO=∠AOC=70°。 又∵AO=EO，∴∠AEO=∠EAO=70°， ∴∠AOE=180°－2×70°=40°， ∴的度数为40°。 6.(3分)将等腰直角三角尺与量角器按如图所示的方式摆放，若三角尺的直角顶点与量角器的中心O重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧相交于A，B两点，则的度数为　90　°。  7.(3分)如图，AB是☉O的直径，如果∠COA=∠DOB=60°，那么与相等的弧有 　，与线段OA相等的弦有　AC，CD，DB　。  8.(6分)如图，EF，CD是☉O的两条直径，∠COF=32°，若∠ADC=53°，求证：。 第8题图 第8题答图 解：如答图，连结OA。 ∵∠COF=32°， ∴∠DOF=180°－∠COF =148°。 ∵OD=OA，∴∠OAD=∠ADC=53°， ∴∠DOA=180°－∠OAD－∠ADO=74°， ∴∠AOF=∠DOF－∠DOA=74°， ∴∠AOF=∠DOA，∴。 9.(8分)如图，AB为☉O的直径，∠DOC=90°，将∠DOC绕点O旋转，D，C两点在直径AB上方，且不与点A，B重合。 (1)(4分)求证：。 (2)(4分)AD＋BC=CD成立吗？请说明理由。 第9题图 第9题答图 解：(1)∵AB为☉O的直径，∠DOC=90°， ∴∠AOD＋∠BOC=180°－∠DOC=90°=∠DOC， ∴。 (2)不成立，理由如下： 如答图，作∠EOD=∠AOD，交☉O于点E，连结DE，CE， 则∠EOC=∠COD－∠EOD=90°－∠AOD=∠BOC， ∴DE=AD，EC=BC。 又∵在△DEC中，DE＋EC＞DC。 10.把一张圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数为(　C　) A.120° B.135° C.150° D.165° 【解析】 如答图，连结BO，过点O作OE⊥AB于点E。 第10题答图 由题意，得EO=BO，AB∥DC，∴∠EBO=30°， ∴∠BOD=∠EBO=30°， ∴∠BOC=150°， ∴的度数为150°。 11.(3分)下面是“作已知圆的内接正方形”的尺规作图过程。 (1)如图，作☉O的直径AB； (2)分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N； (3)作直线MN，与☉O相交于C，D两点，顺次连结A，C，B，D，则四边形ACBD为所求作的圆内接正方形。 该尺规作图的依据是　③④　(填序号)。  ①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 ②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。 ③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等。 ④对角线相等的菱形是正方形。 12.(8分)如图，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作☉A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于点G。判断和是否相等，并说明理由。 第12题图 第12题答图 解：。理由如下： 如答图，连结AE。 ∵AB=AE，∴∠ABE=∠AEB。 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ABE=∠GAF，∠FAE=∠AEB， ∴∠GAF=∠FAE，∴。 13.(8分)如图，AB是☉O的弦，C，D是弦AB上的两点，且OC=OD，延长OC，OD，分别交☉O于点E，F，连结OA，OB。求证：。 证明：∵OC=OD， ∴∠OCG=∠ODG。 ∵OA=OB， ∴∠OAG=∠OBG， ∴∠AOE=∠BOF， ∴。 14.(8分)如图，在△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，以点B为圆心，AB长为半径画圆，交AC于点D，交BC于点E。求证： (1)(4分)=2。 (2)(4分)D是AC的中点。 第14题图　　 第14题答图 证明：(1)如答图，连结BD。 ∵∠A=60°，BA=BD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ABD=60°，即的度数为60°。 ∵∠ABC=90°，∴∠DBE=30°， 即的度数为30°，∴=2。 (2)∵∠C=90°－∠A=30°， ∴∠DBC=∠C，∴DC=DB。 由(1)，得△ABD为等边三角形， ∴DB=AD， ∴DC=AD，即D是AC的中点。 15.(8分)[推理能力]如图，MN是☉O的直径，A是半圆的一个三等分点，B是上一点，若OB平分∠AON，B'是点B关于MN的对称点，☉O的半径为1，求AB'的长。 第15题图　 第15题答图 解：如答图，连结OB，OB'。 ∵A是半圆的一个三等分点， ∴∠AON=60°。 又∵OB平分∠AON， ∴∠BON=30°。 ∵B'是点B关于MN的对称点， ∴∠B'ON=30°，∴∠AOB'=90°， ∴AB'=。 第2课时　圆心角定理的逆定理 分值：67分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.有下列命题： ①在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等； ②在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等； ③在同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等； ④在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等。 其中真命题是(　D　) A.①② B.②④ C.①③④ D.②③④ 【解析】 弦所对的弧有优弧和劣弧两条，故①是假命题，其余命题都是真命题。 2.如图，在☉O中，，∠A=30°，则∠B的度数为(　B　) A.150° B.75° C.60° D.15° 第2题图　　 　第3题图 3.如图，在☉O中，C是的中点，∠A=50°，则∠BOC=(　A　) A.40° B.45° C.50° D.60° 4.(3分)如图，圆心角∠AOB=20°，将旋转n°得到，则的度数为　20　°。  第4题图 第5题图 5.(3分)如图，已知AB是☉O的直径，，∠BOC=42°，则的度数为　54　°。  6.(3分)如图，在☉O中，AC=BD，若∠AOC=110°，OC⊥BD，则∠COD=　55　°。  7.(3分)如图，PO是☉O的直径所在的直线，且PO平分∠BPD，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，有下列结论：①AB=CD；②；③PO=PE；④PB=PD。其中正确的是　①②④　(填序号)。  【解析】 ∵PO平分∠BPD，OE⊥AB，OF⊥CD， ∴OE=OF，∴AB=CD，，①，②正确。 在Rt△PEO中，易知PO＞PE， ③错误。 ∵OE⊥AB，OF⊥CD，AB=CD， ∴BE=AB=CD=DF。 在Rt△PEO和Rt△PFO中， ∵ ∴Rt△PEO≌Rt△PFO(HL)， ∴PE=PF， ∴PE＋BE=PF＋DF， 即PB=PD， ④正确。 综上所述，正确的是①②④。 8.(6分)如图，MB，MD是☉O的两条弦，点A，C分别在上，且AB=CD，M是的中点。求证：MB=MD。 证明：∵AB=CD，∴。 ∵M是的中点，∴， ∴，即， ∴MB=MD。 9.(8分)如图，AB是☉O的直径，C是☉O上一点，，取的中点E，过点E作ED∥AB，交OC于点D。求证：OD=ED。 证明：如答图，连结OE。 第9题答图 ∵， ∴OC⊥AB，∴∠AOC=90°。 又∵E是的中点， ∴∠AOE=∠COE=45°。 ∵ED∥AB，∴ED⊥OC， ∴△EOD是等腰直角三角形， ∴OD=ED。 10.如图，在☉O中，已知=2，则(　B　) A.AB=2CD B.AB＜2CD C.AB＞2CD D.AB与2CD的大小不能确定 【解析】 如答图，取的中点E，连结AE，BE。 第10题答图 ∵=2=2=2， ∴，∴AE＋BE=2CD。 在△ABE中，AE＋BE＞AB， ∴AB＜2CD。 11.(3分)如图，在一根横截面半径为12 cm圆柱体零件的正中位置打一个正三角形孔，正三角形顶点离圆柱边缘不少于2 cm，则这个正三角形边长最大为　10　cm。  【解析】 如答图，若要正三角形顶点离圆柱边缘不少于2 cm，则当正三角形边长最大时，它的顶点在半径为10的圆上，且这个圆与圆柱截面有相同的圆心。设两个圆的圆心为点O，过点O作OD⊥AB于点D，连结OA，OB。 第11题答图 ∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC， ∴， ∴∠AOB=×360°=120°。 又∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°。 设这个正三角形边长为a。 ∵OD⊥AB，∴DA=a，OD=OA， ∴由勾股定理，得OA2=， ∴OA=a。 令a=10， 则a=10， ∴正三角形边长最大为10 cm。 12.(8分)如图，AB，AC是☉O的两条弦，且。 (1)(4分)求证：AO平分∠BAC。 (2)(4分)若AB=4，BC=8，求半径OA的长。 解：(1)如答图1，连结OB，OC。 ∵，∴AB=AC。 在△AOB与△AOC中，∵ ∴△AOB≌△AOC(SSS)， ∴∠1=∠2， ∴AO平分∠BAC。 图1　图2 第12题答图 (2)如答图2，延长AO，交BC于点E，连结OB。 ∵，∴BE=BC=4， ∴AE==8。 设OA=OB=x，则OE=8－x。 由勾股定理，得OB2=OE2＋BE2， ∴x2=(8－x)2＋42， 解得x=5， ∴半径OA的长为5。 13.(8分)如图，在☉O中，C，D是直径AB上的两点，作EG⊥AB于点C，FH⊥AB于点D，点E，G，F，H在☉O上，且。 (1)(4分)若EG=8，AC=2，求☉O的半径。 (2)(4分)求证：AC=BD。 第13题图 第13题答图 解：(1)如答图，连结EO。 设☉O的半径为r。 ∵EG⊥AB， ∴CE=CG=EG=4。 ∵AC=2，∴OC=r－2。 在Rt△CEO中，OE2=CE2＋OC2， ∴r2=42＋(r－2)2， 解得r=5， 即☉O的半径为5。 (2)如答图，连结OF。 ∵， ∴∠AOE=∠BOF。 ∵EG⊥AB，FH⊥AB， ∴∠ECO=∠FDO=90°。 又∵OE=OF， ∴△COE≌△DOF(AAS)， ∴CO=DO。 又∵AO=BO，∴AC=BD。 14.(10分)[推理能力]如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上的一点(不与点A，B重合)，过点A作AD∥OC，交半圆于点D，E是直径AB上的一点，且AE=AD，连结CE，CD。 (1)(4分)求证：CD=CE。 (2)(6分)延长EC，AD相交于点F，连结OD，若=3，求证：四边形OCFD是菱形。 证明：(1)如答图1，连结AC。 第14题答图1 ∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA。 ∵AD∥OC，∴∠DAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠OAC。 在△DAC和△EAC中，∵ ∴△DAC≌△EAC(SAS)， ∴CD=CE。 (2)如答图2，连结AC。 第14题答图2 ∵=3，∴∠AOD=3∠COD。 ∵AD∥OC，∴∠ADO=∠COD。 ∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA。 又∵∠AOD＋∠OAD＋∠ADO=180°， ∴5∠ADO=180°，∴∠ADO=36°， ∴∠AOD=108°，∠DOC=36°。 又∵OD=OC，∴∠ODC=72°， ∴∠ADC=108°。 由(1)，得△DAC≌△EAC， ∴∠AEC=∠ADC=108°， ∴∠AOD=∠AEC，∴OD∥CE。 又∵OC∥AD， ∴四边形OCFD是平行四边形。 又∵OD=OC， ∴▱OCFD是菱形。 学科网（北京）股份有限公司 $