4.4 对数函数讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题4.4 对数函数 【知识点一、对数函数】 对数函数的定义：函数 且叫做对数函数． 对数函数的图象 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 【知识点二、对数函数的常用技巧】 对数函数常用技巧 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) 重难点题型1 对数函数的判定与求值 1．（多选题）下列给出的函数，其中是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【分析】根据对数函数的定义判断即可. 【详解】形如（且）的函数叫对数函数，其中底数为常数，真数只有自变量. 对于A，真数是，不符合定义. 对于B，底数为，为常数，真数为，满足定义. 对于C，底数为变量，不是常数，不符合定义. 对于D，底数为常数，且大于0不等于1，真数是，满足定义. 2．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）若是周期为的函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】对数函数的概念判断与求值、由函数的周期性求函数值 【详解】因为是周期为的函数，且当时，， 所以. 3．（多选题）下列函数是对数函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【详解】只有与符合对数函数的定义． 4．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数，则______，＝______． 【答案】 / 【难度】0.95 【知识点】对数的运算、对数函数的概念判断与求值 【详解】； . 5．（25-26高一上·山东日照·期末）已知函数，则________. 【答案】18 【难度】0.94 【知识点】求函数值、对数的运算 【分析】直接计算即可得解. 【详解】因为函数， 所以. 故答案为： 重难点题型2 求对数函数的解析式 1．（24-25高一上·全国·课前预习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为________． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求对数函数的解析式 【分析】设出函数解析式，再结合图象所过点求出参数即可. 【详解】设函数解析式为，且， 由函数的图象过点，得，即，解得， 所以该对数函数的解析式为为. 故答案为： 2．（24-25高一上·广东珠海·阶段检测）函数（，且）是对数函数，且过点，则________． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】对数函数的概念判断与求值、求对数函数的解析式 【分析】根据函数为对数函数及所过的点列方程求参数，进而求对应函数值. 【详解】由题设，可得，故， 所以. 故答案为：1 3．（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）已知函数（且）图象过点． (1)求的值； (2)若，判断函数的奇偶性． 【答案】(1) (2)为偶函数． 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数的运算、求对数函数的解析式 【分析】（1）代入点，即得答案. （2）代入，得到的解析式，由奇偶性的定义即可得到答案. 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点， 所以，所以． （2）根据（1）可得， 所以， 则． 由解得， 所以的定义域为，显然定义域关于原点对称， 又，所以为偶函数． 4．已知（且）的图象过点. (1)求的值； (2)若，求的解析式及判断奇偶性. 【答案】(1) (2)；是偶函数 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求对数函数的解析式 【分析】（1）根据点求得. （2）结合对数运算求得的表达式并求得其定义域，根据奇偶性的定义对的奇偶性进行判断. 【详解】（1）∵（且）的图象过点， ∴，∴， 又且，所以. （2）由（1）得， 其中且 所以的定义域为. 所以. ，所以是偶函数. 重难点题型3 对数函数的图像 1．（26-27高三上·重庆·开学考试）在同一平面直角坐标系内，函数 （，且），的图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数图像的识别、一次函数的图像和性质、判断对数型函数的图象形状、对数函数图象的应用 【分析】分别根据图象确定参数的取值范围，再判断选项. 【详解】A.由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故A错误； B. 由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故B错误； C. 由可知，，，由的图象可知，，，参数取值一致，故C正确； D. 由可知，，，由的图象可知，，，参数取值不一致，故D错误； 2．（26-27高一上·全国）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ） A．B．C．D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数图像的识别、判断指数型函数的图象形状、判断对数型函数的图象形状、对数型函数图象过定点问题 【分析】通过讨论的不同取值情况，再结合选项，即可判断. 【详解】当时，函数过定点且单调递减， 则函数过定点且单调递增， 函数过定点且单调递减，D选项符合； 当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减， 函数过定点且单调递增，各选项均不符合. 综上，ABC不可能，D可能. 3．（26-27高三·全国·一轮复习）函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别、对数型复合函数的单调性 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 又由，所以函数为偶函数，图象关于轴对称， 当时，，由对数函数的性质得在单调递减，且， 所以选项D符合题意. 4．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.92 【知识点】判断对数型函数的图象形状 【详解】由对数函数的图象性质可知，底数，则此对数函数是上的单调递增函数， 则选C正确． 5．（2026高三·全国·专题练习）给出四个函数分别满足：①；②；③；④．与下列函数图象相对应的是（   ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】函数图像的识别、对数函数图象的应用、幂函数图象的判断及应用、指数函数图像应用 【分析】分别判断各图象对应的解析式类型，进而作出判断. 【详解】对于，为指数函数，设为， 由于，满足，即②； 对于，为对数函数，设为， 由于，满足，即③； 对于，为二次函数，设为，将代入得，所以， 由于，满足，即④； 对于，为正比例函数，设为， 由于，满足，即①. 6．（25-26高二下·四川资阳·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别、求对数型复合函数的值域 【分析】根据函数的奇偶性以及对数函数的值域求解即可. 【详解】的定义域为. 因为，所以函数关于原点对称，排除选项AC. 当时，，，因此，故排除D，选B. 重难点题型4 定点问题 1．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）函数（且）的图像过定点（   ） A．（2，3） B．（2，1） C．（2，0） D．（1，0） 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】令，代入计算可求定点坐标. 【详解】令，得， 所以函数（且）的图像过定点（2，0）. 故选：C. 2．（25-26高一上·河南·期末）若函数（，）的图象恒过点，则实数（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】根据求出的值. 【详解】由题意得，，则，解得． 故选：C 3．（25-26高一上·广西钦州·期末）已知函数的图象恒过点A，若点A在函数的图象上，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】由题意得真数时有定点，求出定点的坐标后代入到即可求. 【详解】若过定点，则有，即， 又，故，点在函数的图象上， 则有，解得. 故选：C. 4．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________. 【答案】 【难度】0.88 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【详解】因为，所以，即， 所以函数的图象恒过定点. 5．（25-26高一上·上海·期中）已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标是________． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】求指数函数解析式、求对数函数的解析式、对数型函数图象过定点问题 【分析】先根据指数函数的定义，确定的值，再依据对数函数的性质，令中真数为1求出定点横坐标，进而得出定点坐标. 【详解】因为为指数函数，所以， 且底数，，求解可得：， ，根据对数函数恒有， 所以令，求解得， 所以， 因此的图像经过定点． 重难点题型5 对数型复函数-求定义域与值域 1．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】补集的概念及运算、交并补混合运算、具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】先求出集合，，再应用补集及交集定义计算求解即可. 【详解】对于，由得，故，， 对于，由得，故， 则，故D正确. 2．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的定义域、求对数型复合函数的值域、对数型复合函数的单调性 【分析】求出函数定义域，根据对数运算，再由函数单调性求值域. 【详解】由，解得， 则， 则为增函数，所以． 3．（2026·山西运城·二模）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】对数的运算性质的应用、求对数型复合函数的值域 【详解】由，得函数的定义域为， 所以， 所以为增函数，因此， 所以函数的值域为，故C正确. 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的定义域为________ 【答案】 【难度】0.83 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】由函数有意义的条件进行求解． 【详解】解析：由题意可得，解得， 故定义域为． 5．（25-26高一上·上海·期末）函数，的最小值为_________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、求对数型复合函数的值域 【分析】利用换元法结合对数运算、对数函数性质、二次函数性质求值即可. 【详解】设，则. . 函数是开口向上的二次函数，对称轴为. 所以. 故答案为：. 重难点题型6 对数型复函数-求单调性与最值 1．(1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的值域. 【答案】(1)单调递增区间，单调递减区间 (2) 【难度】0.65 【知识点】求指数型复合函数的值域、对数型复合函数的单调性 【分析】（1）先求出定义域，通过换元法，结合二次函数的图像和性质，对数函数的图像和性质求解； （2）通过换元法，设，利用定义域求出的范围，利用二次函数的图像和性质求出值域. 【详解】（1）令， 则定义域为； 设， 则在上为单调递增函数，在上为单调递减函数； 又函数在上为单调递增函数. 由复合函数的单调性可知的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）设，由得， 则可化为， 该二次函数开口向上，对称轴为，在上为减函数，在上为增函数， 当时，；当，；，. 则的值域为. 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）（1）求函数的单调区间． （2）求函数的单调区间． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）单调递增区间为，单调递减区间为. 【难度】0.72 【知识点】对数型复合函数的单调性 【详解】（1）设，令，解得或， ∴函数的定义域为， 的对称轴为且开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 又在定义域内单调递减， ∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）令，解得， ∴函数的定义域为， 又的图象开口向下且对称轴为， ∴在上单调递增，在上单调递减， 又∵在定义域上单调递增， ∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 3．（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)求的单调区间及值域. （注：复合函数单调性的判断可由复合函数性质说明，不需要用单调性的定义证明.） 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为.值域为. 【难度】0.65 【知识点】求对数型复合函数的定义域、求对数型复合函数的值域、对数型复合函数的单调性 【分析】（1）解不等式，可得的定义域； （2）设，则.判断两个函数的单调性，由复合函数单调性同增异减的法则得到的单调区间，并得到其值域. 【详解】（1）由题可得，即，. 解得. 所以函数的定义域为. （2）设， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最大值，最大值为，所以. 因为是减函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，且在，即处取得最小值，最小值为. 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 值域为. 4．（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）设，且． (1)求的值及的定义域； (2)求的单调区间； (3)求在区间上的最值. 【答案】(1)，的定义域为； (2)的单调递增区间为，的单调递减区间为； (3)在区间的最小值为，最大值. 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性 【分析】（1）根据代入求解出的值，即可得到的解析式，再根据对数的真数大于0得到不等式组，求解即可. （2）根据对数运算法则化简函数，再分析内层函数和外侧函数的单调性，根据复合函数“同增异减”确定函数的单调区间. （3）先判断函数在区间上的单调性，再根据单调性求出该区间上的最值. 【详解】（1）因为，所以将代入可得： ，即， 根据对数的定义得出， 要使对数函数和有意义，则真数必须大于0， 所以得出不等式组，解得， 所以的定义域为. （2）由（1）可知，，所以， 令，则， 又因为，抛物线开口向下，对称轴为， 结合的定义域可得，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 又因为函数在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）由（2）可知，在区间上单调递增，而， 所以在区间上单调递增， 即在区间的最小值为，最大值为， 其中，， ， 所以在区间的最小值为，最大值. 重难点题型7 对数型复函数的应用-比较大小 1．（26-27高二上·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知，，，则 的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、由幂函数的单调性比较大小、比较函数值的大小关系 【详解】因为是增函数，是增函数，在区间上单调递增， 所以，，， 则. 2．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】根据对数、指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为，，， 所以. 3．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】比较对数式的大小 【分析】分别判断出、、的范围,比较大小即可. 【详解】由，即； 由，即， 所以. 4．（25-26高二下·天津·期末）函数，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.7 【知识点】指数幂的运算、比较指数幂的大小、对数的运算、比较对数式的大小 【分析】先判断出函数为偶函数，再判断出函数的单调性，结合偶函数的性质求解即可. 【详解】因为， 且， 所以函数为上的偶函数， 当时，，单调递增， 又因为， 又因为， 且， 即 所以， 即. 5．（25-26高一上·江西景德镇·期末）已知定义在上的函数是偶函数，，则的大小关系是（用“”连接）__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】先根据函数为偶函数求得并验证，判断函数在时的单调性，比较自变量的大小利用单调性即可比较函数值的大小. 【详解】因是上的偶函数，故，即， 解得，此时，满足，故， 当时，是增函数. 又，则，，， 因，则，即. 故答案为：. 6．（25-26高一上·全国·阶段检测）已知奇函数在上为增函数，，若，，，则，，的大小关系为______.（用“<”连接） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、比较指数幂的大小、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】函数为偶函数且在上为增函数，比较的大小关系，由此可得出，，的大小关系. 【详解】由题可得的定义域为关于原点对称， 又，所以是上的偶函数． 因为为奇函数且在上为增函数，所以当时，故对于有， ， 所以 ，所以， 所以为上的增函数． 因为，所以， 即． 故答案为：. 重难点题型8 对数型复函数的应用-求参数的取值范围 1．（25-26高一上·甘肃天水·期末）已知函数． (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性；并求出在的值域. (3)若对，都有对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数是奇函数； (2)单调递增，值域为； (3)或. 【难度】0.4 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、对数型复合函数的单调性、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）求出定义域，然后根据奇函数定义判断即可； （2）利用复合函数单调性判断的单调性，然后利用单调性求值域； （3）转化为对恒成立，整理后更换主元，令，转化为在上恒成立，结合一次函数性质列不等式组求解可得. 【详解】（1）函数中，，解得， 函数的定义域为， 又， 所以函数是奇函数. （2）函数， 因为函数在上单调递减，函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增. 因为在上单调递增，， 因此，在上的值域为. （3）由题意，对恒成立. 由（2）知，故： ，即对恒成立. 令（关于的一次函数），需在上恒成立， 则，即， 解得或 2．（25-26高一上·甘肃酒泉·期末）已知函数，其中， (1)求的定义域； (2)若，求a的值； (3)讨论的单调区间． 【答案】(1)； (2)4； (3)单调递增区间为，单调递减区间为. 【难度】0.65 【知识点】对数的运算、求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性 【分析】（1）根据对数函数的成立的条件建立不等式组即可求出函数的定义域； （2）把代入的解析式，即可求出a的值； （3）利用对数的运算性质化简的解析式，结合复合函数单调性的关系进行求解即可. 【详解】（1）由条件，要使函数有意义，须有： ，解得：， 故的定义域为； （2）由得 ，即，得，满足， 故若，； （3）由条件得：, 由（1）知， 令，，该函数的图象是开口向下，对称轴为的抛物线， 故的单调递增区间为，单调递减区间为， 又，可得在定义域上是单调递增的，根据复合函数单调性的关系， 可得的单调递增区间为，单调递减区间为. 3．（2025·海南儋州·模拟预测）已知函数，. (1)求函数的值域及单调区间； (2)若不等式在上有解，求实数k的取值范围. 【答案】(1)的值域为，单调递减区间为，单调递增区间为； (2). 【难度】0.4 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、对数的运算、对数型复合函数的单调性、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）化简得，利用换元法及二次函数的性质求解即可； （2）化简得在上有解，由，得，从而得，利用对勾函数的性质求解即可. 【详解】（1）， 设，， 所以， 所以即为， 又因为， 所以的值域为； 且在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以的值域为，单调递减区间为，单调递增区间为； （2）因为， 令， 则原不等式等价于在上有解， 即在上有解， 又因为，得， 所以， 由对勾函数的性质可知， 所以， 所以实数k的取值范围为. 4．（25-26高一上·陕西渭南·阶段检测）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求函数的单调区间，并求最大值. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为. 【难度】0.85 【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性、复合函数的值域 【分析】（1）根据对数的真数大于0列式求函数的定义域. （2）根据“同增异减”判断复合函数的单调区间，并根据单调性求函数的最大值. 【详解】（1）由. 故所求函数的定义域为. （2）因为函数在上单调递增，在上单调递减， 且当时，，当时，取得最大值4. 又在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”的单调性的判断方法可知函数在上单调递增，在上单调递减， 函数的最大值为，当时取等号. 因此该函数的单调递增区间为，单调递减区间为，最大值为. 重难点题型9 对数函数最值与不等式的综合问题 1．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】对数函数最值与不等式的综合问题 【分析】由指数函数的单调性，可判断，再由对数函数的单调性，求得的单调性和最大值，解不等式可得所求范围． 【详解】解：由于，，可得，， 当时，则，在不恒成立； 故， 由在单调递增， 在单调递减， 可得在单调递增， 则的最大值为， 由题意可得， 即有， 解得， 故选：． 【点睛】本题考查函数恒成立问题解法，注意运用函数的单调性，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力． 2．若不等式对任意的x∈（-∞，0]恒成立，则a的取值范围是（    ） A．（-∞，2] B．（-∞，1] C．[1，＋∞） D．[2，＋∞） 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】对数函数最值与不等式的综合问题、函数不等式恒成立问题 【详解】不等式， 即, 所以， 整理可得对任意的x∈（-∞，0]恒成立， 令， 则在上有最小值2， 所以， 故选：A 【点睛】本题考查不等式恒成立问题、函数单调性，考查转为思想，考查学生灵活运用知识解决问题的能力. 3．已知函数，对于任意的，都存在，使得成立，则实数m的取值范围为__________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、对数函数最值与不等式的综合问题 【分析】双变量问题，转化为取值范围的包含关系，列不等式组求解 【详解】， ， 由题意得 故答案为： 4．若关于的不等式且在上恒成立，则的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】对数函数最值与不等式的综合问题、由指数（型）的单调性求参数、由对数函数的单调性解不等式 【分析】依题意，令，则，对分情况讨论，结合单调性即可求解． 【详解】解：不等式，在时恒成立， 令， ， 当时，，不满足题意 当，此时在内单调递减， ， ， ， 故答案为：． 重难点题型10 综合应用 1．（25-26高一上·四川成都·期中）定义：对于函数.如果存在正常数，使得当取其定义域中任意值时，有，且成立，则称是“一致变化函数”，而这个常数就叫做函数的“一致变化系数”. (1)给出，判断函数是否为“一致变化函数”，并说明理由； (2)给出，若是“一致变化函数”，求“一致变化系数”与之和的最小值； (3)给出，证明：函数是“一致变化函数”，并求“一致变化系数”的取值范围. 【答案】(1)由函数， 对于任意，存在正常数，可得， 则， 又由，要使得，即， 因为，则，所以， 又因为，即，解得， 所以存在满足条件，所以函数是“一致变化函数”. (2) (3)证明：由函数，假设是“一致变化函数”， 存在正常数，使得，且 由， 因为，所以对恒成立， ①当时，可得，则， 可得， 当且仅当时，取等号； ②当时，可得，所以， 则， 所以， ③当时，可得，所以， 则，可得， 当时，，可得； 当时，，可得， 综上可得，， 又由存在正常数，且，所以， 可得，解得，因为，所以， 所以存在，使得， 所以函数是“一致变化函数”，且“一致变化系数”的取值范围为. 【难度】0.4 【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、对数函数最值与不等式的综合问题、函数新定义 【分析】（1）根据题意，求得，且，得到，进而求得的取值范围，进而得到答案； （2）由，且，得到，求得，得到，结合基本不等式，即可求解； （3）假设是“一致变化函数”，得到，分，和，三种情况讨论，求得，结合题意，得到，进而求得的取值范围. 【详解】（1）略 （2）解：由函数是“一致变化函数”， 则存在正常数，使得当时，，且， 由， 又由，所以，所以，即， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立，此时， 所以的最小值为. （3）略 2．（24-25高一下·河北张家口·开学考试）已知函数（为常数，），且是偶函数. (1)求的值； (2)若函数，问是否存在正实数，使关于的不等式对恒成立，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】对数函数最值与不等式的综合问题、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据偶函数的定义结合对数运算求解即可； （2）整理可得，换元令，根据对数的真数大于0可得，且，对对数的底数分类讨论，结合对数函数单调性分析求解. 【详解】（1）由题意可知：函数的定义域为， 若函数是偶函数，则， 又因为， 即，结合x的任意性可得，所以. （2）由（1）可知：， 则， 可得， 若不等式对恒成立，即， 令，可得， 可知对任意恒成立， 且，可得， 因为在内单调递增，则， 可得，且， 若，则，可得， 因为在内单调递增， 可知在内单调递增，则， 可得，即符合题意； 若，则，可得， 因为在内单调递增， 可知在内单调递增，则， 可得，无解； 综上所述：存在正实数符合题意，实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：对于对数函数问题，要先考虑对数的真数大于0，否则容易出现错误. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．下列函数是对数函数的是（    ） A．y＝loga(2x) B．y＝lg 5 C．y＝log2(x2＋x) D．y＝ln x 【答案】D 【难度】0.92 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【分析】由对数函数定义结合选项可得答案. 【详解】形如的函数为对数函数. 据此可得仅有D选项满足题意. 2．对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（    ） A．y＝log5x B．y＝ C．y＝ D．y＝log3x 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求对数函数的解析式 【分析】设对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)，将点代入即可求解. 【详解】设函数解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)． 由于对数函数的图像过点M(125，3)， 所以3＝loga125，得a＝5. 所以对数函数的解析式为y＝log5x. 故选：A. 3．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.89 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【详解】由题意可知， 令，得，代入得， 故函数的图象恒过定点. 4．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求对数型复合函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式 【详解】函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域是. 5．（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）已知，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、比较对数式的大小 【分析】由对数运算性质结合对数函数单调性可判断大小关系. 【详解】注意到，从而， ，又在上单调递增， ，则. 6．（24-25高一上·安徽·阶段检测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断指数函数的单调性、对数函数最值与不等式的综合问题、由对数函数的单调性解不等式 【分析】分类讨论，当时， 令可判断原不等式不成立，当时，令函数，由函数的单调性可得当时，取得最大值，从而代入不等式可得解. 【详解】不等式，变形为， 当时， 令，则，此时原不等式不成立； 当时，令， 由在单调递增，在单调递减， 所以在单调递增， 故当时，取得最大值为， 由，解得， 所以. 故选：B. 7．若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、对数函数最值与不等式的综合问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】利用换元法将不等式转化为在有解，构造新函数，然后利用对号函数的单调性求解新函数的最小值并结合不等式有解的含义即可得出答案. 【详解】不妨设，当时，， 故不等式在区间上有解等价于在有解， 即在有解， 不妨令，则只需， 由对号函数的性质易知在上单调递增，在上单调递减， 又因为，， 所以的最小值为，即， 故实数的取值范围为. 故选：A. 二、填空题 8．（25-26高一上·广东河源·期末）已知函数，则________． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】对数函数的概念判断与求值 【分析】利用对数的运算性质计算可得所求函数值. 【详解】因为，则，故. 故答案为：. 9．若函数是对数函数，则实数a的值为________． 【答案】2 【难度】0.94 【知识点】求对数函数的解析式 【分析】根据对数函数的定义求解即可. 【详解】解：因为函数是对数函数， 所以，解得． 故答案为：2. 10．已知函数，且.则___________；___________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、求对数函数的解析式 【分析】由，得到，求得，结合对数的运算法则，即可求解. 【详解】由题意，函数，因为，即，解得， 所以， 则. 故答案为：； . 11．（25-26高二下·山东日照·期末）函数过定点________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】利用对数函数（且）的恒成立性质，即可求解. 【详解】令，解得，得， 因此函数恒过定点. 12．（26-27高三上·上海普陀·开学考试）函数的定义域为________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式 【详解】由题意得不等式组：， 解得：或， 所以函数的定义域为. 13．（25-26高一上·河北石家庄·期末）函数的值域是_____. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求对数型复合函数的值域 【分析】先分析真数的取值范围，再确定对数函数的值域即可； 【详解】因为函数，则， 所以， 即函数的值域是. 故答案为：. 14．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系，从小到大排列为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、比较指数幂的大小、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】先利用偶函数定义得函数为偶函数，将自变量取值由对称性转化至，然后由指对函数性质比较自变量取值的大小，借助函数单调性可比较大小. 【详解】因为函数的定义域为，且， 所以函数为偶函数，当时，在上单调递增， 而， 因为在内单调递增，则， 又在定义域内单调递增，则， 在上单调递增，又， 所以，即． 故答案为： 15．（24-25高一上·陕西渭南·阶段检测），，若，，使得，则实数的最大值是______． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、对数函数最值与不等式的综合问题、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】根据恒成立和能成立的思想可知，根据指数函数、对数型复合函数单调性可分别求得，由此可构造不等式求得结果. 【详解】由，，使得，可知； 因为在上单调递减，则； 又因为的定义域为， 且在上单调递增，位增函数， 所以在上单调递增，则； 可得，解得：， 所以实数的最大值为. 故答案为：. 16．已知且，当时，，则的取值范围为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】对数函数最值与不等式的综合问题 【分析】按和分类讨论可得． 【详解】当时，. 当时，成立. 当时，若成立，是减函数，是增函数，则，解得，所以. 综上，的取值范围为. 故答案为：． 三、解答题 17．（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)若， ，求的最小值. (3)的值域是全体实数R，则求实数的取值范围； 【答案】(1) (2)4 (3) 【难度】0.67 【知识点】对数的运算性质的应用、求对数型复合函数的定义域、根据对数函数的值域求参数值或范围、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用对数的性质并解分式不等式求定义域； （2）根据已知条件得，从而有，应用基本不等式求最小值； （3）根据对数复合函数的值域，结合对数的性质求参数的范围. 【详解】（1）由，则，即， 所以定义域为； （2）由题设，其中，所以， 若同号，则，得，矛盾， 所以，则， 于是，当且仅当，时等号成立. 所以最小值为. （3）由的值域为， 则可以取遍所有正实数，且的图象开口向上， 所以，可得或，即. 18．（26-27高二上·河北廊坊·开学考试）已知函数． (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)设，若对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.56 【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、由对数（型）的单调性求参数 【分析】（1）把复合函数的单调性转化为内层二次函数在区间上单调递减且恒正，由对称轴位置与端点函数值列不等式，由此求得的取值范围； （2）先由换元求出的最大值，再把“任意—任意”型恒成立转化为的最小值不小于该最大值，进而转化为关于的不等式恒成立问题，由此求得的取值范围. 【详解】（1）令，其图象开口向下、对称轴为，又在定义域上单调递增， 故在上单调递减等价于在上单调递减且恒成立. 则，且，解得， 故的取值范围为. （2）令，由得， 则， 当，即时，取最大值. 条件“对任意，都有”等价于对一切成立， 即，则， 即对一切成立. 根据对勾函数的性质可知在上单调递增， 故，所以，即的取值范围为. 19．（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）已知函数（其中为常数，且）. (1)若是奇函数，求实数的值； (2)在（1）的条件下，判断的单调性，并解关于的不等式：. 【答案】(1) (2)在上单调递减；时，解集为；时，解集为或；时，解集为或. 【难度】0.63 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式 【分析】奇函数条件，化简得到恒等式，求出； （2）利用奇函数性质移项，结合在R上单调递减，脱去f转化为二次不等式，再分类讨论两根大小. 【详解】（1）因为为奇函数，有，即， 即，所以，所以. （2）当时，， 当时，令， 函数是增函数，函数是增函数， 故是增函数，又在定义域上是减函数， 所以函数在上是减函数， 又因为函数图象是连续的，所以在R上单调递减， 不等式等价于， 由单调性可得，，， 时,，解集为， 时,，解集为或， 时,，解集为或. 20．已知函数与函数关于对称． (1)求函数的解析式； (2)，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.64 【知识点】由对称性求函数的解析式、函数对称性的应用、由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由函数关于点对称的定义求解即可； （2）分离参变量，求解，令，判断函数的单调性，对，求解恒成立问题即可. 【详解】（1）令， 因为函数与函数关于对称， 所以， 所以， 所以. （2）因为，所以， 因为， 所以，所以. 因为在上单调递增， 所以在上单调递增，所以在上单调递增， 所以在上单调递减， 同理，因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 令，则在上单调递减， 又因为对任意的，都成立， 所以，即. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.4 对数函数 【知识点一、对数函数】 对数函数的定义：函数 且叫做对数函数． 对数函数的图象 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 【知识点二、对数函数的常用技巧】 对数函数常用技巧 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) 重难点题型1 对数函数的判定与求值 1．（多选题）下列给出的函数，其中是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）若是周期为的函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选题）下列函数是对数函数的有（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·全国·课后作业）已知函数，则______，＝______． 5．（25-26高一上·山东日照·期末）已知函数，则________. 重难点题型2 求对数函数的解析式 1．（24-25高一上·全国·课前预习）若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为________． 2．（24-25高一上·广东珠海·阶段检测）函数（，且）是对数函数，且过点，则________． 3．（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）已知函数（且）图象过点． (1)求的值； (2)若，判断函数的奇偶性． 4．已知（且）的图象过点. (1)求的值； (2)若，求的解析式及判断奇偶性. 重难点题型3 对数函数的图像 1．（26-27高三上·重庆·开学考试）在同一平面直角坐标系内，函数 （，且），的图象可能是（    ） A．B． C． D． 2．（26-27高一上·全国）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ） A．B．C．D． 3．（26-27高三·全国·一轮复习）函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 5．（2026高三·全国·专题练习）给出四个函数分别满足：①；②；③；④．与下列函数图象相对应的是（   ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 6．（25-26高二下·四川资阳·期末）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 重难点题型4 定点问题 1．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）函数（且）的图像过定点（   ） A．（2，3） B．（2，1） C．（2，0） D．（1，0） 2．（25-26高一上·河南·期末）若函数（，）的图象恒过点，则实数（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（25-26高一上·广西钦州·期末）已知函数的图象恒过点A，若点A在函数的图象上，则（    ）． A． B． C． D． 4．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________. 5．（25-26高一上·上海·期中）已知函数为指数函数，则函数的图像过一定点，该定点的坐标是________． 重难点题型5 对数型复函数-求定义域与值域 1．（25-26高三下·湖北武汉·阶段检测）已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山西运城·二模）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的定义域为________ 5．（25-26高一上·上海·期末）函数，的最小值为_________． 重难点题型6 对数型复函数-求单调性与最值 1．(1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的值域. 2．（26-27高一上·全国·课堂例题）（1）求函数的单调区间． （2）求函数的单调区间． 3．（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)求的单调区间及值域. （注：复合函数单调性的判断可由复合函数性质说明，不需要用单调性的定义证明.） 4．（25-26高一上·宁夏吴忠·期末）设，且． (1)求的值及的定义域； (2)求的单调区间； (3)求在区间上的最值. 重难点题型7 对数型复函数的应用-比较大小 1．（26-27高二上·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知，，，则 的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·天津·期末）函数，设，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江西景德镇·期末）已知定义在上的函数是偶函数，，则的大小关系是（用“”连接）__________. 6．（25-26高一上·全国·阶段检测）已知奇函数在上为增函数，，若，，，则，，的大小关系为______.（用“<”连接） 重难点题型8 对数型复函数的应用-求参数的取值范围 1．（25-26高一上·甘肃天水·期末）已知函数． (1)判断函数的奇偶性； (2)判断函数的单调性；并求出在的值域. (3)若对，都有对恒成立，求实数的取值范围． 2．（25-26高一上·甘肃酒泉·期末）已知函数，其中， (1)求的定义域； (2)若，求a的值； (3)讨论的单调区间． 3．（2025·海南儋州·模拟预测）已知函数，. (1)求函数的值域及单调区间； (2)若不等式在上有解，求实数k的取值范围. 4．（25-26高一上·陕西渭南·阶段检测）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求函数的单调区间，并求最大值. 重难点题型9 对数函数最值与不等式的综合问题 1．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若不等式对任意的x∈（-∞，0]恒成立，则a的取值范围是（    ） A．（-∞，2] B．（-∞，1] C．[1，＋∞） D．[2，＋∞） 3．已知函数，对于任意的，都存在，使得成立，则实数m的取值范围为__________． 4．若关于的不等式且在上恒成立，则的取值范围为______． 重难点题型10 综合应用 1．（25-26高一上·四川成都·期中）定义：对于函数.如果存在正常数，使得当取其定义域中任意值时，有，且成立，则称是“一致变化函数”，而这个常数就叫做函数的“一致变化系数”. (1)给出，判断函数是否为“一致变化函数”，并说明理由； (2)给出，若是“一致变化函数”，求“一致变化系数”与之和的最小值； (3)给出，证明：函数是“一致变化函数”，并求“一致变化系数”的取值范围. 2．（24-25高一下·河北张家口·开学考试）已知函数（为常数，），且是偶函数. (1)求的值； (2)若函数，问是否存在正实数，使关于的不等式对恒成立，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．下列函数是对数函数的是（    ） A．y＝loga(2x) B．y＝lg 5 C．y＝log2(x2＋x) D．y＝ln x 2．对数函数的图像过点M(125，3)，则此对数函数的解析式为（    ） A．y＝log5x B．y＝ C．y＝ D．y＝log3x 3．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·湖南衡阳·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）已知，若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·安徽·阶段检测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 二、填空题 8．（25-26高一上·广东河源·期末）已知函数，则________． 9．若函数是对数函数，则实数a的值为________． 10．已知函数，且.则___________；___________. 11．（25-26高二下·山东日照·期末）函数过定点________． 12．（26-27高三上·上海普陀·开学考试）函数的定义域为________． 13．（25-26高一上·河北石家庄·期末）函数的值域是_____. 14．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系，从小到大排列为______. 15．（24-25高一上·陕西渭南·阶段检测），，若，，使得，则实数的最大值是______． 16．已知且，当时，，则的取值范围为__________. 三、解答题 17．（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)若， ，求的最小值. (3)的值域是全体实数R，则求实数的取值范围； 18．（26-27高二上·河北廊坊·开学考试）已知函数． (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)设，若对于恒成立，求实数的取值范围． 19．（26-27高三上·广西柳州·阶段检测）已知函数（其中为常数，且）. (1)若是奇函数，求实数的值； (2)在（1）的条件下，判断的单调性，并解关于的不等式：. 20．已知函数与函数关于对称． (1)求函数的解析式； (2)，都有，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $