第4章 4.4 4.4.1 对数函数的概念-（配套教参Word版）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦高中数学对数函数的概念这一核心知识点，系统梳理对数函数的定义（y=logₐx，a>0且a≠1）、定义域（0，+∞）及解析式特征，通过指数式与对数式互化建立与指数函数的联系，搭建从具体到抽象的学习支架。 该资料以考古估算黄河巨龙年代为情境引入，激发学生用数学眼光观察现实世界的兴趣。通过例题辨析对数函数形式、求定义域等训练提升数学运算素养，结合研发资金增长等实际问题培养数学建模能力。课中辅助教师引导概念理解，课后练习题帮助学生巩固知识，查漏补缺。

4．4　对数函数 4．4.1　对数函数的概念 课程标准 素养解读 1.了解函数的概念 2．根据对数函数的定义判断一个函数是否为对数函数 3．会求对数函数的定义域 1.通过对对数函数的理解培养数学直观素养 2．通过求对数函数的定义域提升数学运算素养 [情境引入] 对中科院古脊椎动物与古人类研究所的专家向外界确认，河南汝阳村李锤发现的“龙骨”实际上是一头距今已有1亿至8 000万年历史的黄河巨龙的肋骨．经过发掘、整理、还原模型，专家推断这条黄河巨龙活着的时候，体重应该在60吨左右，是迄今为止亚洲最高大、最肥胖的“亚洲龙王”． [问题]　同学们知道专家是怎样依据“龙骨”化石估算出黄河巨龙的生活年代的吗？ 提示：考古学家是通过提取附着在“龙骨”化石上的残留物，利用 (P为碳14含量)估算出黄河巨龙的生活年代t的． [知识梳理] [知识点]　对数函数的概念　 1．一般地，函数y＝　logax(a>0，且a≠1)　叫做对数函数，其中　x　是自变量，函数的定义域是　(0，＋∞)　. 2．对数函数概念的注意点 ①形式：对数函数的概念与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如y＝2log2x，y＝log5都不是对数函数，可称其为对数型函数． ②定义域：由指数式与对数式的关系知，对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)． ③底数：对数函数对底数的限制：a>0，且a≠1. 1.对数函数的定义域为什么 是(0，＋∞)? 提示：ax＝N⇔logaN＝x，真数为幂值N，而N>0，故式子logax中，x>0. 2．对数函数的解析式有何特征？ 提示：在对数函数的定义表达式y＝logax(a>0，且a≠1)中，logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数． [预习自测] 1．给出下列函数：①y＝logx2；②y＝log3(x－1)；③y＝log(x＋1)x；④y＝logex，其中是对数函数的有(　　) A．1个　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 答案：A 2．设函数f(x)＝log2(3－x)，则函数f(x)的定义域是(　　) A．{x|x＞0} B．{x|x＞3} C．{x|x＜3} D．{x|x＞2} 答案：C 3．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝　________　. 答案：5 　　　对数函数的概念 [例1] 下列函数中，哪些是对数函数？ (1)y＝loga(a＞0，且a≠1)； (2)y＝log2x＋2； (3)y＝8log2(x＋1)； (4)y＝logx6(x＞0，且x≠1)； (5)y＝log6x. [思路点拨]　利用对数函数的定义判断． [解]　(1)中真数不是自变量x，不是对数函数．(2)中对数式后加2，∴不是对数函数．(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数．(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数． 判断一个函数是否是对数函数，必须严格符合形如y＝logax(a>0且a≠1)的形式，即满足以下条件： (1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x. [变式训练] 1．指出下列函数中哪些是对数函数？ (1)y＝logax2(a>0且a≠1)； (2)y＝log2x－1； (3)y＝2log7x； (4)y＝logxa(x>0且x≠1)； (5)y＝log5x. 解：只有(5)为对数函数． (1)中真数不是自变量x，∴不是对数函数； (2)中对数式后减1，∴不是对数函数； (3)中log7x前的系数是2，而不是1， ∴不是对数函数； (4)中底数是自变量x，而非常数a，∴不是对数函数． 　　　对数函数式与求值 [例2] (1)已知对数函数f(x)＝(m2－3m＋3)logmx，则m＝　________　. (2)已知f(x)为对数函数，f＝－2，则f()＝　________　. [思路点拨]　根据对数函数的形式方程求解． [解析]　(1)由对数函数的定义，可得m2－3m＋3＝1，解得m＝2或m＝1(舍去)． (2)设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，则loga＝－2， ∴＝，即a＝，∴f(x)＝logx， [答案]　(1)2　(2) 求对数函数函数值与解析式的方法 (1)求函数值：设出对数函数解析式，代入已知点求解． (2)求解析式：利用已知条件如函数经过的点或单调性求解． [变式训练] 2．已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝(　　) A．－　 B．－　 C．－　 D．－ 解析：A　[因为f(x) ＝f(a)＝－3， 所以或 解得a＝7， 所以f(6－a)＝f(－1)＝2(－1－1)－2＝－.] 　　对数函数的定义域 [例3] 求下列函数的定义域． ①y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)； ②y＝log2(16－4x)． [思路点拨]　利用对数函数的定义域判断． [解]　①由得－3<x<3， 所以函数的定义域是{x|－3<x<3}． ②由16－4x>0，得4x<16＝42， 由指数函数的单调性得x<2， 所以函数y＝log2(16－4x)的定义域为{x|x<2}． 求对数型函数定义域的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. [变式训练] 3．函数f(x)＝＋lg(10－x)的定义域为　________　. 解析：由题意可得，解得1<x<10，故定义域为{x|1<x<10}． 答案：(1,10) 　　　对数函数在实际问题中的应用 [例4] 某企业2022年全年投入研发资金1亿元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过亿元的年份是(　　) (参考数据：lg 1.08≈0.033，lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) A．2 023 B．2 024 C．2 025 D．2 026 [思路点拨]　列出指数关系式，转化为对数函数求解． [解析]　设经过x年全年投入的研发资金开始超过亿元，则(1＋8%)x＝， ∴x＝log1.08＝≈≈4. 2 022＋4＝2 026. 即该企业全年投入的研发资金开始超过亿元的年份是2 026. [答案]　D 利用指数、对数函数解决应用问题 (1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围； (2)利用指、对互化转化为对数函数y＝logax； (3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算． [变式训练] 4．某化工厂生产一种溶液，初时含杂质1，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到市场要求，杂质含量不能超过，则至少应过滤的次数为(已知：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.477 1)(　　) A．8　　 B．9　　　 C．10　　 D．11 解析：D　[设至少需要过n次，则n＝. 所以nlg ≤－lg 20. 即n≥≈≈10.42. 又n∈N，所以n≥11.] 1．(多选)下列给出的函数，其中是对数函数的是(　　) 答案：BD 2．下列各组函数中，定义域相同的一组是(　　) A．y＝ax与y＝logax(a>0，且a≠1) B．y＝2ln x与y＝ln x2 C．y＝lg x与y＝lg D．y＝x2与y＝lg x2 答案：C 3．f(x)＝，则f[f(2)]的值为　________　. 答案：2 4．函数f(x)＝lg(x2－1)的定义域为　________　. 答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞) 5．已知f(x)＝log3. (1)求f，f； (2)求f＋f； (3)求f(a)＋f(－a)的值，a∈(－1,1)． 解：(1)f＝log3＝log3＝－1. f＝log3＝log33＝1. (2)f＝log3＝log3， f＝log3＝log3， ∴f＋f＝log3＋log3 ＝log31＝0. (3)f(a)＋f(－a)＝log3＋log3 ＝log3＝0. 1．下列函数是对数函数的是(　　) A．y＝loga(2x)　　　　 B．y＝lg 5 C．y＝log2(x2＋x) D．y＝ln x 答案：D 2．函数f(x)＝＋的定义域为(　　) A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2] C．[－2,2] D．(－1,2] 答案：B 3．函数f(x)＝(a2＋a－5)logax为对数函数，则f＝(　　) A．3 B．－3 C．－log36 D．－log38 答案：B 4．已知对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象过点，则log4a＝(　　) A. B. C．2 D．4 答案：C 5．(多选)设集合A＝{x|y＝lg x}，B＝{y|y＝lg x}，则下列关系中不正确的有(　　) A．A∪B＝B B．A∩B＝∅ C．A＝B D．A⊆B 解析：BC　[A＝{x|y＝lg x)}＝{x|x>0} B＝{y|y＝lg x}＝R，∴A∪B＝B，A∩B＝A， ∴A⊆B.综上所述，故答案选BC.] 6．方程lg(－2x－1)＝lg(x2－9)的根为(　　) A．2或－4 B．－4 C．2 D．－2或4 解析：B　[由已知，得－2x－1＝x2－9，即x2＋2x－8＝0，解得x＝－4或x＝2.经检验当x＝2时，－2x－1＝x2－9＝－5＜0，舍去，所以原方程的根为x＝－4，故选B.] 7．设g(x)＝则g＝　________　. 解析：由＞0，g＝ln ＜0知g＝＝. 答案： 8．函数f(x)＝＋ln x的定义域是　________　. 解析：要使函数有意义，需满足 即x>0且x≠－1.所以函数的定义域为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞) 9．已知函数f(x)＝log3x，则f()＝　________　，f＝　________　. 解析：∵f(x)＝log3x，∴f()＝log3＝log33＝，f＝log3＝log33－1＝－1. 答案：　－1 10．下列函数中，哪些是对数函数？ (1)y＝log4； (2)y＝log2x＋3； (3)y＝8logx(x＋1)； (4)y＝log8x(x＞0，且x≠1)． 解：(1)中真数为，不是对数函数．(2)中对数式后加3，∴不是对数函数．(3)中真数为x＋1，且系数不为1，故不是对数函数．(4)中底数是8，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数． 11．求下列函数的定义域： (1)f(x)＝lg(x－2)＋； (2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)． 解：(1)要使函数有意义，需满足解之得x＞2且x≠3，∴函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． (2)要使函数有意义，需满足 解之得－1＜x＜0或0＜x＜4. ∴函数定义域为(－1,0)∪(0,4)． 12．已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)，其中a＞0且a≠1. (1)求函数f(x)－g(x)的定义域； (2)判断f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由； 解：(1)f(x)－g(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，若要上式有意义，则即－1＜x＜1， 所以所求函数的定义域为{x|－1＜x＜1}． (2)设F(x)＝f(x)－g(x)，则由(1)可知，F(x)的定义域(－1,1)关于原点对称，又F(－x)＝f(－x)－g(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－F(x)，所以f(x)－g(x)是奇函数． 13．分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声级组来描述声音的大小：把一根小的声压p0＝2×10－5Pa(帕)作为参考声压，把所要测量的声压P与参考声压p0的比值取常用对数后乘20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是dB(分贝)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区． (1)试列出分贝值y与声压p的函数关系式； (2)某地声压p＝0.002 Pa，则该地为以上所说的什么区？声音环境是否优良？ (3)2008年奥运会开幕式上，精彩的文艺节目引起了观众多次响亮的掌声，某记者用仪器测得一次音量达到了90 dB，试求此时鸟巢内的声压是多少． 解：(1)由已知得y＝20lg(其中p0＝2×10－5)． (2)当p＝0.002时， y＝20lg＝20lg 102＝40(dB)． 由已知条件知40 dB小于60 dB，所以此地为噪音无害区，环境优良． (3)由题意，得90＝20lg，则＝104.5， 所以p＝104.5P0＝104.5×2×10－5 ＝2×10－0.5≈0.63(Pa)， 即此时鸟巢内的声压约是0.63 Pa. 学科网（北京）股份有限公司 $