4.3 对数讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

对数 专题4.3对数 知识导图 知识导图 一、 对数的定义 警知识点精讲 二、常见的对数 三、对数的性质与运算法则 1.对数的概念判断与求值 2指数式与对数式互化】 3.对数的计算 重点题型 4对数运算性质的应用 5.运用换底公式化简计算 6.运用换底公式证明恒等式 女限时提升练 1 知识点精讲 【知识点一、对数的定义】 对数的定义：一般地，如果=Na>0且D,那么数”叫做以“为底Y的对数，记作=og,V, 且 读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 【知识点二、常见的对数】 ①一般对数：以a>0 为底，记为 为g,读作以“为底V的对数 10 IgN ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以e为底，记为nN: 【知识点三、对数的性质与运算法则】 o1og。=0.1log=1 其中a>0且a1； @=N供中a>0且a1,N>0, ③对数换底公式：log,b=1og.b log a; log (MN)=log M+log N. ⑤log.W=log,M-1log,N； M ⑥logb-2 log.b(m,n∈R: m ⑦a,b=b和log a°=b； ⑧l1og。b= 1 log,a: 0百) 重点题型 重难点题型1对数的概念判断与求值 1.对数式 ogo-(6-a）中实数a的取值范围是（） A.（-∞，6) B.(16) c层小。层 2.下列选项中可以求对数的是() A.-e2 ®子 C.0 D.5 3.(多选题)对数8e(5-a 中实数a的取值范围是() A.（0,5) 8.（35) c.（-3,-2u(-2,5)0.（-3t) 0g2a-2(10-4a 4.(多选题)使对数式 有意义的a的值可能是() 3 > A.2 B.2 C.4 D.4 og3a（-2a+l) 5.(24-25高一上·上海)若对数 有意义，则”的取值范围是 1 6.已知1og:164,则x= 4 重难点题型2指数式与对数式互化 1.3=2026化为对数式是() A.1og3=2026 B 10g32026=b 10g2026b=3 C. D.1og20263=b 2.(25-26高一上浙江宁波期末)己知g2=a,1g3=b，则10-=() 3 3 C.2 3.(多选题)下列指数式与对数式互化正确的是() 11 A.e°=1与loge1=0 B.85-2与l1og82-3 5 C.1og39=2与92=3 4.(多选题)下列命题正确的是() A若18Gx=3 则x=2V2 12 B.若l1og16=3,则x=64 C.若x- =4,则x=4 0.若og,6=1 ,则a=b D.10g,7=1与7=7 6 重难点题型3对数的计算 1.(24-25高三上湖南阶段检测)hl+lh2+h8=(） A.In10 B.Inl1 c.41n2 D.2In5 2.(您2+(g5+31g2-g5的值为（) A.4 B.1 C.6 D.3 3.(25-26高二下河南南阳·期末)（多选题)下列命题正确的有() A.若2x4-1=15,则x=16 B.若a+a=3,则a2-a-1 C.log,9xlog,32=5 D.lg25+lg2lg50+(1g2)2=2 4.(2026·黑龙江哈尔滨·二模)（多选题）以下运算正确的是() A.(-0.1)°=0.1 B.(g2'+lg2lg25+(1g5)2=1 c.(m D.e2+n2=2e2 5.(2627肩=上北京开学考试2g,3-10g}+10g,5=一 反.(25,26商二下黑龙江哈尔滨期末)5-21be,30g8+分g,16+4lbg,5= 重难点题型4对数运算性质的应用 1.(26-27高一上全国课堂例题)计算： (121og32-log, 32+1og,8-253 2)1g14-2g3+g7-lg18. 2.(23-24高一上海南海口阶段检测)已知 O=2l0g:27+1g25+1g4 (1)求Q的值： g-5m时60，东m 71oe12+(-9.8)° 8 3.(25-26高一下江苏盐城阶段检测)计算： a2g-25--（29)+02s (+o-o+og3 4.(25-26高一下·江西九江开学考试)化简与计算 ao12+3-+0-: 27 (g3)(log,2+log,2)+(1-lg5)+le5xlg20+log 9 重难点题型5运用换底公式化简计算 15 1.(2025陕西西安模拟预测)己知loga1og.276,则a=() 1 A.81 B.号或81 c36 D.81 2.(25-26高三下天津·期末)已知3=12,9- 9=16,则x+y=() A.2 B.3 C.4 D.52 l0gis9=a 18=5 log45= 3.已知 ,则 .(用“，b表示). 1+2 4.(25-26高一上河南南阳期末)若10ga1og。3，则a= 5.(26-27高三上重庆九龙坡开学考试) (8 +l0g2,9+3o8,5= 11 6.(24-25高=下上海静安期中)若3”=2°=6：则a6一 重难点题型6运用换底公式证明恒等式 11-1 1.设3=4④=6=1>1？求证：zx2少 10 2.己知a,b,c满足3=4=6. (1)当c∈R时，试讨论0b.c三个数的大小关系； 22,1 (2)当a,b,c均为正数，求证：cab 3.已知正实数x,y,z满足3=4=6. 111 (1)求证：zx2y (2)比较3x,4y,6z的大小. 4.(1)利用关系式log,N=b一a=N证明换底公式： log N= _log N logma: 11 (2)利用(1)中的换底公式求值： (3)利用(1)中的换底公式证明： log,25.l0g,4.logs 9 loga b.log,c.loge a=1 12 限时提升练 (建议用时：60分钟) 一、单选题 1.有下列说法： ①任何实数都有对数： ②任何一个指数式都可以化成对数式： ③以e为底的对数叫做常用对数： ④以10为底的对数叫做自然对数. 其中正确的个数为() A.1 B.2 C.0 D.4 2.(25-26高三上天津·阶段检测)已知 ，计算 log。3=m,logn4=n、, Γ() A 3 B.1 C.2 D.2 3。（25-26高一下湖北武汉期中)已知20=5.1o8,3=26.则 2h,则4=（) 25 25 A.5 B.25 C. D. 1g6 Ine =3 4.(25-26高一下·江苏盐城阶段检测)下列各式：？ 3 +85-70,lg写 .1bg,3-16g,4=2®， 9 )2+V2 3/ =9 ④，其中正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 5.(25-26高三上四川广安·阶段检测)设 段a1g,5=2,则5（) 13 1 1 1 1 A.9 B.81 C.27 0. 16 1 a= 6.(25-26高二下北京期末)已知10g,3,3°=2，则36-·=（) 2 6 8 A. B.5 C.5 D.40 1 x+ =2 7.(25-26高一上云南玉溪期末)若log425,则5=() A哥 25 5 B.4 C.4 D.2 上t)=b,则a+b=（） 8.(2026江西上饶一模)已知2，°=a,2”=9”=6’且m2n 5 A.4 B.3 C.2 D.2 二、多选题 9.(24-25高一下·山西大同阶段检测)下列说法等式正确的有() A.1g(g10)=0 B.lg(Ine)=0 C.若gx=10,则x=10 D.若hx=e,则x=e2 10.下列指数式与对数式互化正确的是() A.10°=1与g1=0 B.275= =3与1og2n3 C.1og,5=1与5=5 。.v=5与N= 三、填空题 14 n(5-a） 11.(25-26高一上·上海宝山期中)若 有意义，则实数“的取值范围是 12.(25,26高-上江苏苏州阶段检测已知函数)=e+,8()血+x,若)-g(,)1,则 x+x2+2-2 的最大值为一 1,(2425高一上潮北期末)计算：令2+3= 14.计算：1o8s27-1og,8x1og9+3g125+lg2-2判- 15.(2026高三上：重庆专题练习)若g2=mh2,则(10) 四、解答题 16.(26-27高一上全国课堂例题)求值： (1)10g+2w5(V13-2V5) 7 (2)log35-216g,3+log37-l1bg,1.8. 17.(25-26高一上江苏常州期末)求下列各式的值： +(a5) 1g2+2lg3 2)1g0.36+lne+3g27 2 15 18.已知“、久C为正实数，3=4=6(abc≠0) 2,1_2 (1)若3“=4°=6(abc≠0)，求证：abc: 2)若a+6。,不等式m+2≤ 2,12 c，对任意实数a、hc均成立，求实数m的取值范围. 19.求满足下列条件的各式的值 ，求4+4 xlog,4=1 (1)若 的值； 11_1 2)设3=49=6，求证：x2y2 16 专题4.3 对数 【知识点一、对数的定义】 对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． 【知识点二、常见的对数】 ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； 【知识点三、对数的性质与运算法则】 ①；；其中且； ②(其中且，)； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧； 重难点题型1 对数的概念判断与求值 1．对数式中实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】根据对数函数的定义和性质，得到关于的不等式组，求解即可得到答案. 【详解】由对数式有意义得 解得. 故选：C. 2．下列选项中可以求对数的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】由0和负数没有对数,即可得答案. 【详解】解：因为0和负数没有对数， 又，所以D正确． 故选：D. 3．（多选题）对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】根据对数真数和底数的性质进行求解即可． 【详解】由题. 故选：C. 4．（多选题）使对数式有意义的a的值可能是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】对数的概念判断与求值 【详解】要使有意义，则解得或． 5．（24-25高一上·上海）若对数有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】利用对数的定义，列出不等式组并求解即得. 【详解】依题意，，解得且， 所以的取值范围是. 故答案为： 6．已知，则________. 【答案】 【难度】0.92 【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化 【分析】利用指数与对数的互化，以及幂的运算直接求解即可. 【详解】由，可得，又且，所以. 重难点题型2 指数式与对数式互化 1．化为对数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】利用指数与对数的互化直接求解即可. 【详解】因为，所以. 2．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化 【分析】由指数和对数互化公式和运算性质直接计算即可得解. 【详解】由题可得，所以. 故选：D 3．（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】利用指数式和对数式的互化关系逐个选项判断求解即可. 【详解】首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于A，可化为，故A正确， 对于B，可化为，故B错误， 对于C，可化为，故C错误， 对于D，可化为，故D正确. 故选：AD 4．（多选题）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的概念判断与求值、指数式与对数式的互化 【分析】对于ABC：根据对数的定义结合指数幂运算求解；对于D：举反例即可. 【详解】对于选项A：若，所有，故A正确； 对于选项B：若，则， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C错误； 对于选项D：例如，则，可得， 符合题意，但，故D错误； 故选：AB. 重难点题型3 对数的计算 1．（24-25高三上·湖南·阶段检测）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】利用对数加法运算性质合并对数，再结合对数幂的运算性质化简，匹配选项得到结果. 【详解】根据对数的运算性质： 同底对数加法法则：对任意正实数，有， 因此对原式合并得： . 对数的幂运算法则：对任意正实数和实数，有，由于， 因此： 与选项C一致，故答案为C. 2．的值为（    ） A．4 B．1 C．6 D．3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【详解】 . 3．（25-26高二下·河南南阳·期末）（多选题）下列命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】利用分数指数幂的运算即可判断A；利用完全平方公式计算即可判断B；利用换底公式计算即可判断C；根据对数的运算法则计算即可判断D． 【详解】对于A，由，则，即，所以，故A正确； 对于B，由，则，所以，故B错误； 对于C，由，故C错误； 对于D，由，故D正确． 4．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）（多选题）以下运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.62 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】根据指数幂运算和对数的计算公式逐一判断即可. 【详解】，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D正确. 5．（26-27高三上·北京·开学考试）________． 【答案】/ 【难度】0.92 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【详解】 . 6．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）___________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【详解】. 重难点题型4 对数运算性质的应用 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）计算： (1) (2). 【答案】(1) (2)0 【难度】0.89 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【详解】（1） . （2）. 2．（23-24高一上·海南海口·阶段检测）已知 (1)求的值； (2)若，且，求． 【答案】(1)4 (2) 【难度】0.83 【知识点】指数幂的化简、求值、指数式与对数式的互化、对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】（1）利用对数的运算法则计算即可； （2）利用指数与对数的互化及运算法则计算即可. 【详解】（1） （2）设，． 因为，所以． 由换底公式得，即，所以，则． 3．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）计算： (1). (2). 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】（1）分别根据指数幂的运算和指数幂与根式的转化计算即可． （2）利用对数的运算性质和换底公式计算即可. 【详解】（1） （2） . 4．（25-26高一下·江西九江·开学考试）化简与计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【详解】（1）原式； （2）原式 ． 重难点题型5 运用换底公式化简计算 1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知，则（    ） A． B． 或 81 C． D．81 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【详解】由得，则， 即，得或， 则或. 2．（25-26高二下·天津·期末）已知，，则（     ） A．2 B．3 C．4 D．52 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】运用换底公式化简计算 【详解】由，得； 由​，得 ； 所以. 3．已知，，则________．（用，表示）． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】由对数的运算法则进行求解． 【详解】由，得， 则， 因为， 所以． 4．（25-26高一上·河南南阳·期末）若，则______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】利用换底公式以及对数的运算性质可得出关于的方程，解出的值，即可得出的值. 【详解】由换底公式可得， 整理可得，解得，故，符合题意. 故答案为：. 5．（26-27高三上·重庆九龙坡·开学考试）__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值、对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】分别计算有理数乘方、对数式、含对数的指数式，再合并结果即可. 【详解】根据乘方运算法则，， 利用对数运算性质可得： ， 再化简指数：， 然后根据对数恒等式可得： ， 所以. 6．（24-25高三下·上海静安·期中）若，则______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】先将指数式化为对数式，再利用对数的运算性质即可求解. 【详解】已知，则有，， 由换底公式可知，， 所以. 重难点题型6 运用换底公式证明恒等式 1．设，求证： 【答案】证明： ，故， 故，，，， ，故. 【难度】0.65 【知识点】运用换底公式证明恒等式 【解析】变换得到，，，再利用对数的运算法则得到证明. 【详解】，故， 故，，，， ，故. 【点睛】本题考查了利用对数的运算法则证明等式，意在考查学生的计算能力和逻辑推理能力. 2．已知a，b，c满足. （1）当时，试讨论a､b､c三个数的大小关系； （2）当a，b，c均为正数，求证：. 【答案】（1）答案见解析； （2）证明见解析 【难度】0.85 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、运用换底公式证明恒等式 【解析】（1）设，得到，在同一坐标系中，分别作出和的图象，结合图象，即可求解； （2）由（1）得到，结合对数的运算公式和换底公式，即可求解. 【详解】（1）设，可得，其中， 在同一坐标系中，分别作出和的图象， 当时，如图图（1）所示，可得； 当时，如图图（2）所示，可得； 当时，如图图（3）所示，可得. （2）设，可得，其中， 可得，， 所以. 3．已知正实数x，y，z满足． (1)求证：； (2)比较的大小． 【答案】(1)令， 利用指数式和对数式的互化知，， 则，， ∴. (2). 【难度】0.4 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式证明恒等式、比较对数式的大小 【分析】（1）令，利用指数式和对数式的互化求出，再利用对数的运算即可的证得结果； （2）因为正实数x，y，z，利用作商法可证明大小关系. 【详解】（1）略 （2） 证明：因为正实数x，y，z，， 又，， 又，， ∴． 【点睛】方法点睛：本题考查指数式和对数式的互化，对数比较大小，比较大小常用：（1）作差法，和0比较；（2）作商法，保证两个数都是正数，作商与1比较,考查学生的运算能力，属于一般题. 4．（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 【答案】（1）证明: 设，则，化为， 又，所以； （2）8； （3）证明： ． 所以． 【难度】0.65 【知识点】运用换底公式化简计算、运用换底公式证明恒等式 【分析】（1）由题设条件结合对数的运算证明即可； （2）利用换底公式证明即可； （3）利用换底公式证明即可. 【详解】（1）略； （2）； （3）略. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．有下列说法： ①任何实数都有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫做常用对数； ④以10为底的对数叫做自然对数． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．4 【答案】C 【难度】0.92 【知识点】对数的概念判断与求值、指数式与对数式的互化 【详解】零和负数没有对数，命题①错误； ，不能写成对数式，命题②错误，； 以10为底的对数叫做常用对数，命题③错误； 以为底的对数叫作自然对数，命题④错误； 故正确命题个数为0. 2．（25-26高三上·天津·阶段检测）已知，计算（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】利用指数、对数的关系可得：,代入求解即可. 【详解】由题可得：,所以 故选：A 3．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】指数幂的化简、求值、指数式与对数式的互化、对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】将对数式转化为指数式，再利用幂的运算法则计算即得. 【详解】因 ， 得 ，则 ，又， . 4．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）下列各式：①，②，③，④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值、对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】根据指数幂以及对数的运算性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】， ， ， ， 故③④正确，①②错误， 其中正确的个数为2. 5．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、运用换底公式化简计算 【详解】由，得， 则有，所以. 6．（25-26高二下·北京·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化、运用换底公式化简计算 【详解】因为，所以， 又因为，故. 7．（25-26高一上·云南玉溪·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、运用换底公式化简计算 【分析】化简的表达式，利用指数的运算性质化简可得结果. 【详解】，所以， 故选：D. 8．（2026·江西上饶·一模）已知，且，则（   ） A．4 B．3 C． D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】运用对数运算性质及换底公式即可求解. 【详解】，由得， 则 所以 故选：A． 二、多选题 9．（24-25高一下·山西大同·阶段检测）下列说法等式正确的有（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】根据对数的定义和运算逐项分析求解. 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：若，则，故C错误； 对于选项D：若，则，故D错误. 故选：AB. 10．下列指数式与对数式互化正确的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【难度】0.94 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】根据逐项判断即可求解. 【详解】依题意，由可得： 对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误； 故选：AC. 三、填空题 11．（25-26高一上·上海宝山·期中）若有意义，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】根据真数大于0即可得到答案. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：. 12．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知函数，，若，则的最大值为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、指数式与对数式的互化 【分析】由已知可得出，分析函数的单调性，可得出，即可得出，再结合二次函数的基本性质可求得最大值. 【详解】因为函数、均为上的增函数， 所以函数为上的增函数， ， 因为，其中， 所以， 故， 当且仅当时等号成立，故的最大值为. 故答案为：. 13．（24-25高一上·湖北·期末）计算：__________. 【答案】3 【难度】0.94 【知识点】指数幂的化简、求值、指数式与对数式的互化 【分析】直接利用分数指数幂与指对互化求解即可. 【详解】. 故答案为：3. 14．计算：______________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值、对数的运算、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【详解】原式 . 15．（2026高三上·重庆·专题练习）若，则______． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】利用换底公式求出，再代入化简即可. 【详解】因为，所以，则， 则. 故答案为： 四、解答题 16．（26-27高一上·全国·课堂例题）求值： (1)； (2). 【答案】(1) (2)2 【难度】0.86 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】（1）注意到同一对数式中底数和真数互为倒数，进而利用这一关系求解即可； （2）方法一：逆用对数运算性质，化为对数单项式即可求解；方法二：正用对数运算性质，统一真数即可求解. 【详解】（1）原式． （2）方法一：原式． 方法二：原式 ． 17．（25-26高一上·江苏常州·期末）求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2)1 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用 【分析】（1）根据指数幂运算法则计算可得结果； （2）根据对数运算法则计算可得结果. 【详解】（1）原式； （2）原式. 18．已知为正实数， (1)若，求证:； (2)若，不等式，对任意实数均成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明：令且， 则，，， 所以， ， 故成立. 由（1）知， (2) 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、运用换底公式证明恒等式、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）取对数表示，利用换底公式及对数运算法则证明即可； （2）利用均值不等式求出的最小值，解不等式即可求解. 【详解】（1）略； （2）由（1）知，，即， 所以， 当且仅当时，即时等号成立， 由恒成立知，成立， 即，解得. 19．求满足下列条件的各式的值 (1)若，求的值； (2)设，求证：. 【答案】(1) (2) 设， 则，，. 所以，，. 所以， 所以. 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式证明恒等式 【分析】（1）运用对数的运算法则即可求解； （2）运用对数的换底公式即可证明. 【详解】（1）， ， ， （2）略 1 学科网（北京）股份有限公司 $