4.3 对数(讲义) -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦对数的概念、运算性质及换底公式核心知识点，通过知识回顾建立指数式与对数式的等价联系，新知导图以定义、特例、运算、换底为学习支架，帮助学生系统构建对数知识体系。 资料以“数学眼光”抽象对数结构，“数学思维”设计分层题型训练（如例1及变式题强化概念理解），“数学语言”通过方法总结墙提炼公式口诀。课中辅助教师分层教学，课后通过巩固检测和易错清单帮助学生查漏补缺。

第 12 讲 4.3 对数 ▶ 预习目标 ● 1．理解对数的概念：若 ，则 。 ● 2．掌握常用对数 、自然对数 与对数恒等式 。 ● 3．熟练运用对数运算性质：、、。 ● 4．掌握换底公式 并会化简求值。 ▶ 知识回顾 指数式 与对数式 本质等价，对数是指数的逆运算。利用对数可把“乘方”转化为“乘法”，是解决指数方程、研究增长的重要工具。 ▶ 新知导图 定义 特例 运算 积化加、商化减、幂提系数 换底 （常用 或 ） ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 对数的概念与恒等式 若 （），则 ，其中 为底数， 为真数，且 。基本恒等式：、；特殊值 、。负数与 没有对数。 ◆ 知识点 02 对数的运算性质 对 ：；；（）。注意这些性质只在真数为正时使用，且不能把 拆开。 ◆ 知识点 03 换底公式 （）。常用推论：、。换底是把不同底对数化为同底（常用 或 ）的关键。 ◆ 理解提示 真数必须为正，这是对数存在的前提；，别把对数当成线性运算。计算对数式时优先考虑化为同底或利用恒等式。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 1-1】 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 1-2】 的值为（ ） A． B． C． D．无意义 【变式 1-3】 的值为（ ） A． B． C． D． 【例 2】 等于（ ） A． B． C． D． 【变式 2-1】 计算 得（ ） A． B． C． D． 【变式 2-2】 等于（ ） A． B． C． D． 【变式 2-3】 若 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【例 3】 化简 得（ ） A． B． C． D． 【变式 3-1】 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式 3-2】 用换底公式， 可化为（ ） A． B． C． D． 【变式 3-3】 已知 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【例 4】 计算 得（ ） A． B． C． D． 【变式 4-1】 计算 得（ ） A． B． C． D． 【变式 4-2】 若 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【变式 4-3】 方程 的解为（ ） A． B． C． D． ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、基础巩固（10 题） 1． 的值为（ ） A． B． C． D． 2． 的值为（ ） A． B． C． D． 3． 的值为（ ） A． B． C． D． 4． 的值为（ ） A． B． C． D． 5． 的值为（ ） A． B． C． D． 6． 化简 得（ ） A． B． C． D．无意义 7． 的值为（ ） A． B． C． D． 8． 若 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 9． 的值为（ ） A． B． C． D．无意义 10． 的值为（ ） A． B． C． D． ◆ 二、能力提升（5 题） 11． 计算 得（ ） A． B． C． D． 12． 已知 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 13． 的值为（ ） A． B． C． D． 14． 方程 的解为（ ） A． B． C． D． 15． 若 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． ▶ 易错清单 ● 1．真数必须为正，负数与 没有对数。 ● 2．，对数不具“可加性”。 ● 3． 要求 ，提系数时注意真数范围。 ● 4．换底公式分子分母别写反； 与 互为倒数。 ▶ 方法总结墙 （1）概念：指数式与对数式互化 。（2）恒等式：、、。（3）运算：积化加、商化减、幂提系数。（4）换底：化同底再算，。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 12 讲 4.3 对数 ▶ 预习目标 ● 1．理解对数的概念：若 ，则 。 ● 2．掌握常用对数 、自然对数 与对数恒等式 。 ● 3．熟练运用对数运算性质：、、。 ● 4．掌握换底公式 并会化简求值。 ▶ 知识回顾 指数式 与对数式 本质等价，对数是指数的逆运算。利用对数可把“乘方”转化为“乘法”，是解决指数方程、研究增长的重要工具。 ▶ 新知导图 定义 特例 运算 积化加、商化减、幂提系数 换底 （常用 或 ） ▶ 知识点精讲 ◆ 知识点 01 对数的概念与恒等式 若 （），则 ，其中 为底数， 为真数，且 。基本恒等式：、；特殊值 、。负数与 没有对数。 ◆ 知识点 02 对数的运算性质 对 ：；；（）。注意这些性质只在真数为正时使用，且不能把 拆开。 ◆ 知识点 03 换底公式 （）。常用推论：、。换底是把不同底对数化为同底（常用 或 ）的关键。 ◆ 理解提示 真数必须为正，这是对数存在的前提；，别把对数当成线性运算。计算对数式时优先考虑化为同底或利用恒等式。 ▶ 题型分类训练 【例 1】 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 ，故 。 【变式 1-1】 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 ，故 。 【变式 1-2】 的值为（ ） A． B． C． D．无意义 【答案】 A 【详解】 （任意底），故 。 【变式 1-3】 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 由恒等式 ，得 。 【例 2】 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 由乘积法则 ，得 。B 为两对数之积、C 为和的对数、D 为商的对数，均不成立。 【变式 2-1】 计算 得（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【详解】 ，，差为 ；或 。 【变式 2-2】 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 由 ，。 【变式 2-3】 若 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 由 。 【例 3】 化简 得（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 由 ，故乘积为 。 【变式 3-1】 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 ；故 。 【变式 3-2】 用换底公式， 可化为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 换底公式 ，取 得 。 【变式 3-3】 已知 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 。 【例 4】 计算 得（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 ，故 。 【变式 4-1】 计算 得（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 ，，和为 。 【变式 4-2】 若 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 ，故 。 【变式 4-3】 方程 的解为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 。 ▶ 巩固检测卷 ◆ 一、基础巩固（10 题） 1． 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 ，故 。 2． 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 ，故 。 3． 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 ，，差为 ；或 。 4． 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 ，故 。 5． 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 恒等式 ，得 。 6． 化简 得（ ） A． B． C． D．无意义 【答案】 B 【详解】 ，，和为 。 7． 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 ，故 。 8． 若 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 。 9． 的值为（ ） A． B． C． D．无意义 【答案】 A 【详解】 ，故 。 10． 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【详解】 由 ，得 。 ◆ 二、能力提升（5 题） 11． 计算 得（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 。 12． 已知 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 ，故 。 13． 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 换底 。 14． 方程 的解为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 。 15． 若 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【详解】 且 ，得 。 ▶ 易错清单 ● 1．真数必须为正，负数与 没有对数。 ● 2．，对数不具“可加性”。 ● 3． 要求 ，提系数时注意真数范围。 ● 4．换底公式分子分母别写反； 与 互为倒数。 ▶ 方法总结墙 （1）概念：指数式与对数式互化 。（2）恒等式：、、。（3）运算：积化加、商化减、幂提系数。（4）换底：化同底再算，。 学科网（北京）股份有限公司 $