4.1 指数讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题4.1 指数 【知识点一、根式的定义】 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． 【知识点二、根式的性质】 ①、当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. ②、当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数. 【知识点三、指数的概念】 指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. 【知识点四、有理数指数幂的分类】 ①正整数指数幂； ②零指数幂； ③负整数指数幂，； ④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． 【知识点五、有理数指数幂的性质】 ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 重难点题型1 根式的化简求值 1．（25-26高一上·四川绵阳·期中）计算：（     ） A． B．2 C．4 D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】根式的化简求值 【分析】由根式的运算性质求解即可 【详解】. 故选：C 2．（25-26高一上·山东·期中）化简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根式的化简求值 【分析】根据给定条件，利用根式运算化简即得. 【详解】当时，. 故选：B 3．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选题）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】根式的化简求值 【分析】根据根式运算法依次验证各个选项即可得到结果. 【详解】对于A，，A正确 对于B，，B正确， 对于C，，C错误， 对于D，，D错误， 故选：AB. 4．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）（多选题）下列说法正确的是（   ） A．的运算结果是 B．16的4次方根是2 C．当n为大于1的偶数时，只有当时才有意义 D．当n为大于1的奇数时，对任意都有意义 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】根式的化简求值 【详解】对于A，偶次根式的结果只能是正数，故A错误；对于B，正数的偶次方根的结果有正有负，故B错误；对于C，D，根据指数幂的运算法则可知C，D正确． 5．（23-24高三下·安徽·自主招生）化简根式______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根式的化简求值 【分析】先求的取值范围，然后根据根式计算得到答案. 【详解】因为，所以 . 故答案为：. 6．（25-26高一上·浙江杭州·期中）__________． 【答案】 【难度】0.88 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【详解】 重难点题型2 分数指数幂与根式的互化 1．（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.77 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】利用分数指数幂的运算法则化简. 【详解】． 故选：A 2．（25-26高一上·云南红河·阶段检测）已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】利用分数指数幂的运算性质求解即可. 【详解】由题意得，故A正确. 故选：A 3．（26-27高一上·全国·课堂例题）根式化成分数指数幂是________. 【答案】 【难度】0.7 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【详解】. 4．（25-26高一上·天津·阶段检测）计算:   (式中字母均为正数)=_____________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】将根式化为分数指数幂，然后由指数幂的运算性质可得. 【详解】 . 故答案为： 重难点题型3 指数幂的化简、求值 1．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.72 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据给定条件，利用指数运算化简求解. 【详解】由，得，，则，因此， 所以. 2．（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）化简为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据指数幂的运算计算求解. 【详解】. 故选：B. 3．（24-25高一上·山西阳泉·期末）化简：____________ 【答案】 【难度】0.7 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【详解】原式. 4．（2026高一·全国·专题练习）已知，则的值为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】根据之间的关系，结合因式分解运算求解. 【详解】因为，则，可得， 则，可得， 又注意到， 所以. 重难点题型4 综合应用 1．化简： 【答案】 【难度】0.7 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【详解】 2．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】根据题意，利用指数幂的运算法则和运算性质，准确计算，即可求解. 【详解】（1）由指数幂的运算公式，可得： . （2）由指数幂的运算公式，可得： . 3．（25-26高一上·浙江金华·期中）化简： (1)求值：×＋＋ (2)已知，求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算 【分析】（1）利用指数的性质、运算法则直接求解； （2）利用指数的性质、运算法则和完全平方公式求解即可. 【详解】（1）原式＝ . （2）对两边平方得，所以，     再对两边平方得，所以，     所以，. 4．（25-26高一上·福建莆田·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【难度】0.85 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】（1）利用指数运算和根式运算法则得到答案； （2）由两边平方求出，再两边平方求出，最后代入求解即可. 【详解】（1）； （2）因为， 所以，； 所以 （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（25-26高一上·广西南宁·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】根式的化简求值 【分析】利用根式的运算性质即可求解. 【详解】. 故选：B. 2．（25-26高一上·山东济宁·期中）（   ） A．a B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】根式化为分数指数幂，再进行运算即可. 【详解】， 故选：D 3．（26-27高一上·全国·课后作业）的值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【详解】 4．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】指数幂的化简、求值 【详解】. 二、多选题 5．设，m，n是正整数，且，则下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】利用指数幂的运算性质即可得出 【详解】对于A，∵，m，n是正整数，且，∴，故正确； 对于B，显然，故正确； 对于C，，故不正确； 对于D，当n取偶数，；当n取奇数，，综上，，故正确， 故选：ABD 6．（多选）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】A选项：负号的位置放错；B选项在的情况下，指数可以约分；CD选项利用根式与指数幂互化的公式即可求解； 【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误． 故选：BC 三、填空题 7．（25-26高一上·上海·期中）将化成有理数指数幂的形式为___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】由根式与指数幂换算求解． 【详解】． 故答案为： 8．（25-26高一上·上海松江·期中）将写成分数指数幂的形式为___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】根据分数与根式的化简，以及分数指数幂的运算性质，即可求解. 【详解】由分数指数幂的运算公式，可得. 故答案为：. 9．（25-26高一上·广东东莞·期中）______. 【答案】. 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】根据幂的运算性质可直接求得结果. 【详解】因为. 故答案为：. 10．（25-26高一上·北京顺义·期中）根式化成分数指数幂为___________． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】根据指数幂的定义进行解答即可. 【详解】. 故答案为：. 11．（25-26高一上·河北保定·期中）计算：__________. 【答案】3 【难度】0.85 【知识点】根式的化简求值、指数幂的化简、求值 【分析】借助指数幂与根式的运算法则计算即可. 【详解】原式. 故答案为：. 12．（26-27高一上·全国·课后作业）化简下式：. 【答案】 【难度】0.7 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【详解】 四、解答题 13．（25-26高一上·重庆·阶段检测）化简求值： (1)； (2)已知，求的值. 【答案】(1)1 (2) 【难度】0.85 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】（1）由指数幂的运算性质求解即可； （2）解法1：由求出，进而求出，代入即可. 解法2：由，两边同时平方可求出，代入即可. 【详解】（1）原式. （2）解法1：由，两边同时平方可得， 所以，所以， 所以，所以原式 解法2：由，两边同时平方可得， 所以，则，解得， 所以原式 14．（25-26高一上·辽宁大连·期中）（1）求值：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】（1）利用指数的运算律化简即可； （2）将平方处理可得. 【详解】（1） ； （2）因，则， 因，则， 因，则， 则. 1 学科网（北京）股份有限公司 $指数 专题4.1指数 知识导图 知识导图 一、 根式的定义 二、根式的性质 知识点精讲 三、指数的概念 四、有理数指数幂的分类 五、有理数指数幂的性质 1根式的化简求值 2.分数指数幂与根式的互化 ⊙重点题型 3指数幂的化简、求值 4.综合应用 女限时提升练 1 知识点精讲 【知识点一、根式的定义】 一般地，如果×=0，那么叫做“的”次方根，其中>1，”GW),记为6，”称为根指数，Q 称为根底数， 【知识点二、根式的性质】 ①、当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数. ②、当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数. 【知识点三、指数的概念】 指数的概念：指数是幂运算a(a≠0)中的一个参数，a为底数，n为指数，指数位于底数的右上角， 幂运算表示指数个底数相乘. 【知识点四、有理数指数幂的分类】 个 ①正整数指数幂a”=aa·a…a(neN*): a°=1(a≠0) ②零指数幂 ®负整数指数幂a”=。a≠0，neN): ④0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 【知识点五、有理数指数幂的性质】 2 0a'a=a"(a>0.mn∈g) ②ay=a"a>0.mneg) ③ab)"=ab(a>0,b>0.m∈g) ④am=a(a>0,m,n∈Q). 0D 重点题型 重难点题型1根式的化简求值 1.(2526高一上四川绵阳期中)计算：(-4+(V=() A.2π-4 B.2 C.4 D.2π+4 2.(2526高一上山东期中)化简81yx<0,y<0)结果为（) 4.32 8.3g2 C.3xiy -3x2y D. 3.(25-26高三·全国一轮复习)（多选题)下列各式运算正确的是() A.1004=100 B.-0.)=0.1 c.V(π-4)}2=π-4 D.(x-y)°=x-y 4.(25-26高一上湖南岳阳·期中)（多选题）下列说法正确的是() A. 的运算结果是3 B.16的4次方根是2 C.当n为大于1的偶数时， 只有当a≥0。 “时才有意义 D.当n为大于1的奇数时， 对任意a∈R 都有意义 5.(23-24高三下·安徽自主招生)化简根式 4 (中雠4继丁一旱9-SZ)‘9 重难点题型2分数指数幂与根式的互化 1.(25-26高一上云南曲靖期末)已知a>0,则a后 的分数指数幂形式为() 3 A.a3 B.a2 C.as D.ai 2.(25-26高一上云南红河阶段检测)已知a>0,则aWa 的分数指数幂的形式为() 2 A.a2 B.a3 C.a3 D.a6 3.(2627高一上全国课堂例恩)根式W-“化成分数指数幂是 21 4（25-26高一上天津阶段检测)计算：（号a2b2)(-4ab)÷(ab)(式中字母均为正 数)= 重难点题型3指数幂的化简、求值 x-x-1 1.(2526高一上福建泉州期肿)己知x+x=5,则+x的值是() A B-V3 C3 D.±v6 6 1)6 2.(25-26高一上·天津蓟州阶段检测)化简2 ×4 为() A.2-5 B.22-5 C.25+π D.22m+5 3.45高上西m限3，《o(办 x-xI 4.(2026高一全国专题练习)已知x+x=3”则x+x-2的值为一 重难点题型4综合应用 a3-8ab 1.化简：2 1-2 465+230b+a 2.(25-26高一上新疆乌鲁木齐·期中)计算： (1)3-π)+(0.008)3+(3-π)°： -+05×-38+i25+25 3.(25-26高一上浙江金华期中)化简： (1)求值： 周名+gx5+xj (2)已知x2+x2=3,求x2+x2+3的值. 8 4.(25-26高一上福建莆田·期中)(1)计算： a+a+2 (2)已知a+a-3”求+a-2的值. ++25-2: 9 限时提升练 (建议用时：60分钟) 一、单选题 1.(2526高一上广西南宁期中)3-=（) A.π-3 B.3-π c.3(π-3) D.π+3 2.(25-26高一上山东济宁期中)（匠-园）匠=（) A.a c.Vata D.6-a 2+2 4 3.(26-27高一上全国课后作业) 25 的值为() 1 A.4 B.2 C.1 D.4 4.(25-26高一上·浙江杭州·期中) 2 3 A.3 B.8 D.3 二、多选题 5.设a>0,,n是正整数，且n>1,则下列各式中，正确的是() A.a=am B.a°=1 C.an=-am D.Ya"=a 6.(多选)下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是() 10 A.-VF=(-x)(x>0) B.=y(心y>0) c Vx>0,y>0) D.x3=-x(x>0) 三、填空题 7.(25-26高一上~上海期中)将Vaa(a>0)化成有理数指数系的形式为. x 8.(25-26高一上·上海松江·期中)将xx写成分数指数幂的形式为 16 9.(25-26高一上广东东莞·期中) = 10,(25-26高一上北京顺义期中)根式Vm:m 化成分数指数幂为 11.(25-26高一上河北保定期中)计算： )xs- 12.(26-27高一上·全国课后作业)化简下式： (ga 四、解答题 13.(25-26高一上重庆·阶段检测)化简求值： 到-x-e a2+a2+2 (2)已知a2+a2=2,求a+a-3的值. 11 14.(2526高-上辽宁大连期中)4)求位：（图）+9-[-3门+(6×6。 (2)已知x+x=2,求x+x2-3的值. 12