4.2 指数函数讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦指数函数核心知识点，系统梳理从概念（y=aˣ,a>0且a≠1）到图像性质（分a>1与0<a<1讨论定义域、值域、定点、单调性等），再到幂值比较、指数型复合函数单调性的递进脉络，构建完整学习支架。 资料通过题型分层设计（例题+跟踪训练）强化应用，如图像分析培养几何直观，复合函数单调性判断发展推理意识，助力教师课堂教学，学生可课后通过练习巩固，查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

4.2 指数函数 知识点一、指数函数 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 知识点二、指数函数的图像和性质 1.指数函数图像和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1. 函数值的变化 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1. 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1. 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 2.底数a对指数函数图像的影响 （1）规律：当a>1时，指数函数的图像是“上升的”，且当x>0时，底数a的值越大，函数的图像越陡峭，说明函数值增长得越快. 当0<a<1时，指数函数的图像是“下降的”，且当x<0时，底数a的值越小，函数图像越陡峭，说明函数值减小的越快. （2）在y轴的右侧，图像从上到下相应的底数由大变小（底大图高）；在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小（底大图低）. 知识点三、利用指数函数比较幂值的大小 1.对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断． 2.对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断． 3.对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断． 知识点四、指数型函数的单调性 一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质 （1）函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域． （2）当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反．（复合函数同增异减） 题型一：指数函数的概念 例1.下列函数中是指数函数的是　　 （填序号）． ①y＝4x；②y＝x4；③y＝﹣4x；④；⑤y＝2﹣x；⑥y＝2x﹣1． 解：对于②，y＝x4为幂函数；根据指数函数的定义知：①y＝4x，④y，⑤y＝2﹣x都是指数函数；对于③y＝﹣4x，⑥y＝2x﹣1不是指数函数． 故答案为：①④⑤． 例2.函数y＝（a2﹣3a﹣3）ax是指数函数，则有（　　） A．a＝﹣1或a＝4 B．a＝4 C．a＝﹣1 D．a＞0或a≠1 解：∵y＝（a2﹣3a﹣3）ax是指数函数，∴a2﹣3a﹣3＝1，即a2﹣3a﹣4＝0， ∴a＝4或a＝﹣1，∵a＞0且a≠1，∴a＝4，故选：B． 跟踪训练： 1.给出下列函数： ①y＝2﹣x；②y＝2x+1；③y＝3•2x；④y＝﹣2x；⑤y＝（﹣2）x；⑥y＝x2；⑦y＝πx； ⑧y＝（a﹣1）x（a＞1且a≠2）． 其中是指数函数的是　　 （填序号）. 解：根据指数函数的定义可知，形如y＝ax（a＞0且a≠1）的函数叫做指数函数. 故答案为：①⑦⑧． 2.若函数y＝（m2﹣m﹣1）•mx是指数函数，则m等于（　　） A．﹣1或2 B．﹣1 C．2 D． 解：根据题意可得，，得m＝2.故选：C． 3.若函数y＝（a2﹣3a+3）•ax是指数函数，则实数a的值为 ． 解：∵函数y＝（a2﹣3a+3）•ax是指数函数，∴a2﹣3a+3＝1且a＞0且a≠1， 即a2﹣3a+2＝0，解得a＝1（舍）或a＝2．故答案为：a＝2． 题型二：求指数函数的解析式或函数值 例1.函数y＝（a2﹣a﹣1）ax是指数函数， （1）求函数的解析式； （2）若f（x）＝3，求x的值． 解：（1）∵函数y＝（a2﹣a﹣1）ax是指数函数，故有 a2﹣a﹣1＝1， 解得a＝﹣1，或 a＝2．再由 a＞0，且a≠1可得 a＝2，故函数的解析式为y＝2x． （2）若f（x）＝3，则 2x＝3，∴x＝log23． 例2.若指数函数f（x）的图象经过点（2，9），求f（x）的解析式及f（﹣1）的值． 解：设指数函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）， ∵指数函数f（x）的图象经过点（2，9），∴a2＝9，∵a＞0且a≠1， ∴a＝3，∴f（x）＝3x，∴．综上所述，f（x）＝3x，． 跟踪训练： 1.指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），函数图像经过点（4，16），求该函数的解析式和 f（0）的值． 解：因为函数f（x）＝ax的图像过点（4，16），所以a4＝16，又因为a＞0，所以a＝2， 所以函数的解析式为f（x）＝2x，所以f（0）＝20＝1． 2.已知指数函数f（x）的图像过点（﹣3，），求这个指数函数的解析式，并求f（2）的值． 解：设指数函数f（x）＝ax，∵指数函数f（x）的图像过点（﹣3，）， ∴，解得a＝2，故f（x）＝2x，f（2）＝22＝4． 3.指数函数y＝f(x)的图象经过点，那么f(4)f(2)等于(　　) A．8 B．16 C．32 D．64 解：由指数函数y＝f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点，可得a－2＝，解得a＝2，函数的解析式为y＝2x，f(4)f(2)＝24·22＝64.故选：D. 题型三：指数函数的定义域和值域 例1.求下列函数的定义域和值域： （1）y＝； （2）y＝； （3）y＝4x－2x＋1. 解：（1）定义域为R.∵|x|≥0，∴y＝＝≥＝1， ∴此函数的值域为[1，＋∞)． （2）由题意知1－≥0，∴≤1＝，∴x≥0，∴定义域为[0，＋∞)． ∵x≥0，∴≤1.又∵>0，∴0<≤1.∴0≤1－<1， ∴0≤y<1，∴此函数的值域为[0,1)． （3）函数的定义域为R. y＝(2x)2－2x＋1＝， ∵2x>0，∴当2x＝，即x＝－1时，y取最小值，∴函数的值域为. 跟踪训练： 1.求下列函数的定义域、值域： （1）y＝； （2）y＝； （3）y＝； 解：（1）函数的定义域为R. ∵y＝， 又∵3x>0，∴1＋3x>1，∴0<<1，∴－1<<0， ∴0<<1，∴函数的值域为(0,1)． （2）x应满足x－4≠0，∴x≠4， ∴定义域为{x|x≠4，x∈R}． ∵≠0，∴≠1， ∴y＝的值域为{y|y>0，且y≠1}． （3）由x2－2x≥0，解得：x≤0或x≥2，∴定义域为（－∞，0]∪[2，+∞）. ∵，∴.∴函数的值域为[1，+∞）. 题型四：指数函数的图像及应用 例1.如图是指数函数①y＝ax（a＞0，且a≠1），②y＝bx（b＞0，且b≠1），③y＝cx（c＞0，且c≠1），④y＝dx（d＞0，且d≠1）的图像，则a，b，c，d与1的大小关系为（　　） A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c 解：结合指数函数的性质可知，c＞d＞1＞a＞b＞0．故选：B． 例2.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 解：从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0<a<1；从曲线位置看，是由函数y＝ax(0<a<1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b>0，即b<0.故选：D. 例3.已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到y＝＋2的图象？并画出相应图象． 解：y＝＋2＝3－(x＋1)＋2.作函数y＝3x关于y轴的对称图象得函数y＝3－x的图象，再向左平移1个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)的图象，最后再向上平移2个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)＋2＝＋2的图象，如图所示． 例4.函数f（x）＝ax﹣1+5（a＞0且a≠1）的图象恒过定点　 ． 解：函数f（x）＝ax﹣1+5（a＞0且a≠1），则当x﹣1＝0时，即x＝1时，f（1）＝6， 则函数f（x）的图象恒过定点（1，6）．故答案为：（1，6）． 跟踪训练： 1.函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四 个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 解：直线x＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，由， 故选：C． 2.已知实数a满足a＞0且a≠1，则函数f（x）＝ax﹣2﹣1的图象过定点　 ． 解：由y＝ax过定点（0，1），令x﹣2＝0，得f（2）＝a0﹣1＝0， 所以f（x）的图象过定点（2，0）．故答案为：（2，0）． 3.利用指数函数f（x）＝2x的图像，作出下列各函数的图像. （1）y＝2x－1； （2）y＝2|x|； （3）y＝2x－1； （4）y＝－2x； （5）y＝|2x－1|； （6）y＝－2-x. 解：利用指数函数f（x）＝2x的图像变化作图可得各函数的图像，如图所示. （1） （2） （3） （4） （5） （6） 4.已知直线y＝2a与函数y＝|2x－2|的图象有两个公共点，求实数a的取值范围． 解：函数y＝|2x－2|的图象如图所示． 要使直线y＝2a与该图象有两个公共点，则有0<2a<2，即0<a<1，故实数a的取值范围为(0,1)． 题型五：指数函数的单调性的应用 例1.比较大小 （1）1.52.5与1.53.2；（2）0.5﹣1.2与0.5﹣1.5；（3）1.50.3与0.81.2． 解：对于（1），指数函数y＝1.5x在R上是单调增函数， 且2.5＜3.2，所以1.52.5＜1.53.2； 对于（2），指数函数y＝0.5x是R上的单调递减函数， 且﹣1.2＞﹣1.5，所以0.5﹣1.2＜0.5﹣1.5； 对于（3），由1.50.3＞1.50＝1，0.81.2＜0.80＝1，所以1.50.3＞0.81.2． 例2.如果a2x+1＞ax+7（其中a＞0，a≠1），求x的取值范围． 解：当a＞1时，函数y＝ax为增函数， ∵a2x+1＞ax+7，∴2x+1＞x+7，得出：x＞6， 当0＜a＜1时，函数y＝ax为减函数， ∵a2x+1＞ax+7，∴2x+1＜x+7，得出：x＜6， 综上：当a＞1时，x的取值范围为（6，+∞）， 当0＜a＜1时，x的取值范围为（﹣∞，6）. 跟踪训练： 1.比较下列各题中两个值的大小． （1）1.70.3，0.93.1； （2）（）﹣1.8，（）﹣2.5； （3）0.20.3，0.30.2． 解：（1）因为1.7＞1，所以y＝1.7x在R上单调递增， 因为0.3＞0，所以 1.70.3＞1.70＝1；，因为0＜0.9＜1， 所以y＝0.9x在R上单调递减，因为3.1＞0，所以0.93.1＜0.90＝1， 所以1.70.3＞0.93.1； （2）因为，所以在R上单调递减，又因为﹣1.8＞﹣2.5， 所以； （3）因为0＜0.2＜1，所以y＝0.2x在R上单调递减， 因为0.3＞0.2，所以0.20.3＜0.20.2；， 因为0.2＞0，所以y＝x0.2在（0，+∞）单调递增， 因为0.2＜0.3，所以0.20.2＜0.30.2，所以0.20.3＜0.30.2． 2.比较下列各组中两个数的大小： （1）0.20.3和0.20.2； （2）1.20.3和1.20.2； （3）0.30.1和0.3﹣0.1； （4）1.350.2和1.35﹣0.2． 解：（1）因为指数函数y＝0.2x在R上单调递减，且0.3＞0.2，所以0.20.3＜0.20.2； （2）因为指数函数y＝1.2x在R上单调递增，且0.3＞0.2，所以1.20.3＞1.20.2； （3）因为指数函数y＝0.3x在R上单调递减，且0.1＞﹣0.1，所以0.30.1＜0.3﹣0.1； （4）因为指数函数y＝1.35x在R上单调递增，且0.2＞﹣0.2，所以1.350.2＞1.35﹣0.2． 3.设，，其中若a＞0且a≠1，确定x为何值时，有： （1）y1＝y2 （2）y1＜y2． 解：，，其中若a＞0且a≠1， （1）y1＝y2，即a3x+1＝a﹣2x，可得：3x+1＝﹣2x，解得：x． ∴当x时，y1＝y2； （2）y1＜y2．即a3x+1＜a﹣2x， 当a＞1时，可得：3x+1＜﹣2x，解得：x． 当1＞a＞0时，可得：3x+1＞﹣2x，解得：x． 综上：当a＞1时，x． 当1＞a＞0时，x． 4.求不等式a2x﹣7＞a4x﹣1（a＞0，且a≠1）中x的取值范围． 解：由a2x﹣7＞a4x﹣1知需要进行分类，具体情况如下： 当a＞1时，∵y＝ax在定义域上递增，∴2x﹣7＞4x﹣1，解得x＜﹣3； 当0＜a＜1时，∵y＝ax在定义域上递减，∴2x﹣7＜4x﹣1，解得x＞﹣3； 综上得，当a＞1时，x的取值范围为（﹣∞，﹣3）； 当0＜a＜1时，x的取值范围为（﹣3，+∞）． 题型六：指数型复合函数的单调性 例1.求下列函数的单调区间： （1）； （2）； （3）. 解：（1）设， 则在上单调递增，在上单调递减. 当时，在R上是增函数， 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）函数的定义域为. 设， 则在上单调递增，在上单调递减. 又在R上是增函数， 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是. （3）令，则，. 由，得. 又，所以，即，解得. 又在R上是增函数，而在上单调递增，在上单调递减. 上单调递减，所以的单调递增区间是，单调递减区间是. 跟踪训练： 1.函数y＝的单调递减区间是(　　) A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0) C．(0，＋∞) D．(－∞，0)和(0，＋∞) 解：设u＝，则y＝3u，因为u＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数， 且y＝3u在R上是增函数，所以函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)． 故选：D. 2.判断函数f(x)＝的单调性，并求其值域． 解：令u＝x2－2x，易知u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减， 在[1，＋∞)上单调递增，又0<<1，所以f(x)＝在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．因为u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， 所以y＝，u∈[－1，＋∞)，所以0<≤＝3， 所以函数f(x)的值域为(0,3]． 3.函数y＝的单调递减区间为(　　) A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(－∞，] D．[，＋∞) 解：函数y＝在R上为减函数，欲求函数y＝的的单调递减区间，只需求函数u＝x2－2的单调递增区间，而函数u＝x2－2的单调递增区间为[0，＋∞)，故所求单调递减区间为[0，＋∞)．故选：B. 4.设函数 （1）求函数的定义域； （2）求函数的单调区间． 解：（1）由4+3x﹣x2＝﹣（x+1）（x﹣4）≥0 可得﹣1≤x≤4， 故函数的定义域为[﹣1，4]． （2）由于二次函数t＝4+3x﹣x2的对称轴为x，且﹣1≤x≤4，故函数的增区间为[﹣1，]，减区间为[，4]． 5.已知函数y＝（）x﹣（）x+1的定义域为[﹣3，2]，求函数的单调区间. 解：令t，则y＝t2﹣t+1＝（t）2 当x∈[1，2]时，t是减函数，此时t，在此区间上y＝t2﹣t+1是减函数 当x∈[﹣3，1]时，t是减函数，此时t，在此区间上y＝t2﹣t+1是增函数 ∴函数的单调增区间为[1，2]，单调减区间为[﹣3，1] 1.下列各函数中，是指数函数的是(　　) A．y＝(－4)x B．y＝－4x C．y＝3x－1 D．y＝ 解：A中函数的底数不满足大于零且不等于1，故不是指数函数；B中函数式中幂值的系数不是1，故不是指数函数；C中的指数是x－1，不是指数函数．故选：D. 2.若函数y＝(m2－m－1)·mx是指数函数，则m等于(　　) A．－1或2 B．－1 C．2 D. 解：依题意，有，解得m＝2(舍m＝－1)．故选：C. 3.函数f(x)＝πx与g(x)＝的图象关于(　　) A．原点对称 B．x轴对称 C．y轴对称 D．直线y＝－x对称 解：设点(x，y)为函数f(x)＝πx的图象上任意一点，则点(－x，y)为g(x)＝π－x＝的图象上的点．因为点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)＝πx与g(x)＝的图象关于y轴对称．故选：C. 4.如图所示的是y，，，在同一平面直角坐标系中的图象，则a1，a2，a3，a4的大小关系是（　　） A．0＜a3＜a4＜1＜a1＜a2 B．0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1 C．0＜a3＜a4＜1＜a2＜a1 D．0＜a4＜a3＜1＜a1＜a2 解：结合指数函数的性质可得，a1＞a2＞1＞a3＞a4＞0．故选：B． 5.f(x)＝，x∈R，那么f(x)是(　　) A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数 B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数 C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数 D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数 解：由x∈R且f(－x)＝f(x)知f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝是减函数．故选：D. 6.函数y＝的单调递增区间为(　　) A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0,1) 解：定义域为R.设u＝1－x，则y＝. ∵u＝1－x在(－∞，＋∞)上为减函数，y＝在(－∞，＋∞)上为减函数， ∴y＝在(－∞，＋∞)上是增函数．故选：A. 7.函数f（x）＝（2x﹣3）a﹣2的图象过定点　 　． 解：幂函数图象恒过定点（1，1），令2x﹣3＝1，解得x＝2， 代入函数f（x）＝（2x﹣3）a﹣2，得f（2）＝1a﹣2＝1﹣2＝﹣1， 所以函数f（x）图象恒过定点（2，﹣1）．故答案为：（2，﹣1）． 8.不等式的解集为　 　． 解：由于y＝是减函数，且，所以x2－2x－2<x－4，即x2－3x＋2<0，解得1<x<2.故答案为：(1,2). 1.函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，则f(1)等于(　　) A．8 B. C．4 D．2 解：∵函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，∴2a－3＝1，解得a＝2. ∴f(x)＝2x，∴f(1)＝2.故选：D. 2.函数y＝的值域是(　　) A．[0，＋∞) B．[0,4] C．[0,4) D．(0,4) 解：要使函数有意义，须满足16－4x≥0.又因为4x>0，所以0≤16－4x<16， 即函数y＝的值域为[0,4)．故选：C. 3.若，则实数a的取值范围是(　　) A. B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D. 解：函数y＝在R上为减函数，所以2a＋1>8－2a，所以a>.故选：A. 4.函数y＝2x＋1的图象是(　　) 解：当x＝0时，y＝2，且函数单调递增．故选：A. 5.如图，曲线①②③④分别是指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图象，则实数a、b、 c、d的大小关系为（　　） A．a＜b＜c＜d B．b＜a＜d＜c C．d＜c＜b＜a D．c＜d＜a＜b 解：根据函数图象可知函数①y＝ax；②y＝bx为减函数， 且x＝1时，b1＜a1，所以0＜b＜a＜1， 根据函数图象可知函数③y＝cx；④y＝dx为增函数，且x＝1时，c1＞d1，所以c＞d＞1， 所以b＜a＜d＜c．故选：B． 6.若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为（　　） A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c 解：由y＝1.01x在R上递增，则a＝1.010.5＜b＝1.010.6， 由y＝x0.5在[0，+∞）上递增，则a＝1.010.5＞c＝0.60.5．所以b＞a＞c．故选：D． 7.函数f(x)＝的图象大致为(　　) 解：f(x)＝，由指数函数的图象知B正确．故选：B. 8.下列函数中是指数函数的是 ．(填序号) ①y＝2·；②y＝2x－1；③y＝；④y＝；⑤y＝. 解：①中指数式的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1，指数位置不是x，故不是指数函数；④中指数不是x，故不是指数函数；⑤中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故答案为：③. 9.f(x)为指数函数，若f(x)过点(－2,4)，则f(f(－1))＝ ． 解：设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，由f(－2)＝4，得a－2＝4，解得a＝，所以f(x)＝， 所以f(－1)＝＝2，所以f(f(－1))＝f(2)＝＝.故答案为：. 10.若函数y＝在[－2，－1]上的最大值为m，最小值为n，则m＋n＝ ． 解：由指数函数y＝的图象可知在x＝－1处取最小值为2，在x＝－2处取最大值为4.∴m＋n＝6.故答案为：6. 11.已知函数f(x)＝为奇函数，则n的值为 ． 解：因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝＝0，解得n＝2.故答案为：2. 12.函数y＝在(－∞，1)内单调递增，则a的取值范围是 ． 解：由复合函数的单调性知，y＝－x2＋ax的对称轴x＝≥1，即a≥2.故答案为：[2，＋∞). 13.已知函数f(x)＝，则f(x)的单调递增区间为 ，值域为 ． 解：令x2－2x≥0，解得x≥2或x≤0，∴f(x)的定义域为(－∞，0]∪[2，＋∞)， 令t＝，则其在(－∞，0]上递减，在[2，＋∞)上递增， 又y＝为减函数，故f(x)的增区间为(－∞，0]． ∵t＝≥－1，∴∈(0,2]．故f(x)的值域为(0,2]． 故答案为：(－∞，0]，(0,2]. 14.比较下列各组数的大小： （1）1.52.5和1.53.2； （2）0.6－1.2和0.6－1.5； （3）1.50.3和0.81.2. 解：（1）∵函数y＝1.5x在R上是增函数，2.5<3.2，∴1.52.5<1.53.2. （2）∵函数y＝0.6x在R上是减函数，－1.2>－1.5，∴0.6－1.2<0.6－1.5. （3）由指数函数的性质知1.50.3>1.50＝1，而0.81.2<0.80＝1，∴1.50.3>0.81.2. 15.已知函数f（x）， （1）若a＝﹣1，求f（x）的单调区间； （2）若f（x）有最大值3，求a的值． （3）若f（x）的值域是（0，+∞），求a的取值范围． 解：（1）当a＝﹣1时，f（x），令g（x）＝﹣x2﹣4x+3， 由于g（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，+∞）上单调递减， 而y＝（）t在R上单调递减， 所以f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上 单调递增， 即函数f（x）的递增区间是（﹣2，+∞），递减区间是（﹣∞，﹣2 ）． （2）令h（x）＝ax2﹣4x+3，y＝（）h（x），由于f（x）有最大值3， 所以 h（x）应有最小值﹣1，因此1，解得a＝1． 即当f（x）有最大值3时，a的值等于1． （3）由指数函数的性质知，要使y＝h（x）的值域为（0，+∞）． 应使h（x）＝ax2﹣4x+3的值域为R，因此只能有a＝0． 因为若a≠0，则h（x）为二次函数，其值域不可能为R．故a的取值范围是{0}． 16.设函数f(x)＝(e为无理数，且e≈2.718 28…)是R上的偶函数且a>0. （1）求a的值； （2）判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性． 解：（1）∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－1)＝f(1)， ∴，即.∴， ∴＝0，∴a2＝1， 又a>0，∴a＝1. (2)f(x)＝ex＋e－x.设x1，x2>0，且x1<x2， f(x2)－f(x1)＝ ＝－+－ ＝. ∵x1，x2>0，x1<x2， ∴>且>1， ∴>0，即f(x2)>f(x1)， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 17.已知函数。 （1）判断函数的奇偶性； （2）讨论的单调性； （3）求的值域。 解：（1）函数的定义域为， 因为，所以是奇函数。 （2），根据复合函数“同增异减”的单调性法则可知， 当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递减。 （3）令，则， 结合(2)知原函数等价于， 易知在区间上单调递增， 所以，故的值域为。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2 指数函数 知识点一、指数函数 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 知识点二、指数函数的图像和性质 1.指数函数图像和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1. 函数值的变化 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1. 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1. 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 2.底数a对指数函数图像的影响 （1）规律：当a>1时，指数函数的图像是“上升的”，且当x>0时，底数a的值越大，函数的图像越陡峭，说明函数值增长得越快. 当0<a<1时，指数函数的图像是“下降的”，且当x<0时，底数a的值越小，函数图像越陡峭，说明函数值减小的越快. （2）在y轴的右侧，图像从上到下相应的底数由大变小（底大图高）；在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小（底大图低）. 知识点三、利用指数函数比较幂值的大小 1.对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断． 2.对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断． 3.对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断． 知识点四、指数型函数的单调性 一般地，有形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质 （1）函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域． （2）当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相反．（复合函数同增异减） 题型一：指数函数的概念 例1.下列函数中是指数函数的是　　 （填序号）． ①y＝4x；②y＝x4；③y＝﹣4x；④；⑤y＝2﹣x；⑥y＝2x﹣1． 例2.函数y＝（a2﹣3a﹣3）ax是指数函数，则有（　　） A．a＝﹣1或a＝4 B．a＝4 C．a＝﹣1 D．a＞0或a≠1 跟踪训练： 1.给出下列函数： ①y＝2﹣x；②y＝2x+1；③y＝3•2x；④y＝﹣2x；⑤y＝（﹣2）x；⑥y＝x2；⑦y＝πx； ⑧y＝（a﹣1）x（a＞1且a≠2）． 其中是指数函数的是　　 （填序号）. 2.若函数y＝（m2﹣m﹣1）•mx是指数函数，则m等于（　　） A．﹣1或2 B．﹣1 C．2 D． 3.若函数y＝（a2﹣3a+3）•ax是指数函数，则实数a的值为 ． 题型二：求指数函数的解析式或函数值 例1.函数y＝（a2﹣a﹣1）ax是指数函数， （1）求函数的解析式； （2）若f（x）＝3，求x的值． 例2.若指数函数f（x）的图象经过点（2，9），求f（x）的解析式及f（﹣1）的值． 跟踪训练： 1.指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），函数图像经过点（4，16），求该函数的解析式和 f（0）的值． 2.已知指数函数f（x）的图像过点（﹣3，），求这个指数函数的解析式，并求f（2）的值． 3.指数函数y＝f(x)的图象经过点，那么f(4)f(2)等于(　　) A．8 B．16 C．32 D．64 题型三：指数函数的定义域和值域 例1.求下列函数的定义域和值域： （1）y＝； （2）y＝； （3）y＝4x－2x＋1. 跟踪训练： 1.求下列函数的定义域、值域： （1）y＝； （2）y＝； （3）y＝； 题型四：指数函数的图像及应用 例1.如图是指数函数①y＝ax（a＞0，且a≠1），②y＝bx（b＞0，且b≠1），③y＝cx（c＞0，且c≠1），④y＝dx（d＞0，且d≠1）的图像，则a，b，c，d与1的大小关系为（　　） A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c 例2.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 例3.已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到y＝＋2的图象？并画出相应图象． 例4.函数f（x）＝ax﹣1+5（a＞0且a≠1）的图象恒过定点　 ． 跟踪训练： 1.函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四 个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2.已知实数a满足a＞0且a≠1，则函数f（x）＝ax﹣2﹣1的图象过定点　 ． 3.利用指数函数f（x）＝2x的图像，作出下列各函数的图像. （1）y＝2x－1； （2）y＝2|x|； （3）y＝2x－1； （4）y＝－2x； （5）y＝|2x－1|； （6）y＝－2-x. 4.已知直线y＝2a与函数y＝|2x－2|的图象有两个公共点，求实数a的取值范围． 题型五：指数函数的单调性的应用 例1.比较大小 （1）1.52.5与1.53.2；（2）0.5﹣1.2与0.5﹣1.5；（3）1.50.3与0.81.2． 例2.如果a2x+1＞ax+7（其中a＞0，a≠1），求x的取值范围． 跟踪训练： 1.比较下列各题中两个值的大小． （1）1.70.3，0.93.1； （2）（）﹣1.8，（）﹣2.5； （3）0.20.3，0.30.2． 2.比较下列各组中两个数的大小： （1）0.20.3和0.20.2； （2）1.20.3和1.20.2； （3）0.30.1和0.3﹣0.1； （4）1.350.2和1.35﹣0.2． 3.设，，其中若a＞0且a≠1，确定x为何值时，有： （1）y1＝y2 （2）y1＜y2． 4.求不等式a2x﹣7＞a4x﹣1（a＞0，且a≠1）中x的取值范围． 题型六：指数型复合函数的单调性 例1.求下列函数的单调区间： （1）； （2）； （3）. 跟踪训练： 1.函数y＝的单调递减区间是(　　) A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0) C．(0，＋∞) D．(－∞，0)和(0，＋∞) 2.判断函数f(x)＝的单调性，并求其值域． 3.函数y＝的单调递减区间为(　　) A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(－∞，] D．[，＋∞) 4.设函数 （1）求函数的定义域； （2）求函数的单调区间． 5.已知函数y＝（）x﹣（）x+1的定义域为[﹣3，2]，求函数的单调区间. 1.下列各函数中，是指数函数的是(　　) A．y＝(－4)x B．y＝－4x C．y＝3x－1 D．y＝ 2.若函数y＝(m2－m－1)·mx是指数函数，则m等于(　　) A．－1或2 B．－1 C．2 D. 3.函数f(x)＝πx与g(x)＝的图象关于(　　) A．原点对称 B．x轴对称 C．y轴对称 D．直线y＝－x对称 4.如图所示的是y，，，在同一平面直角坐标系中的图象，则a1，a2，a3，a4的大小关系是（　　） A．0＜a3＜a4＜1＜a1＜a2 B．0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1 C．0＜a3＜a4＜1＜a2＜a1 D．0＜a4＜a3＜1＜a1＜a2 5.f(x)＝，x∈R，那么f(x)是(　　) A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数 B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数 C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数 D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数 6.函数y＝的单调递增区间为(　　) A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．(0,1) 7.函数f（x）＝（2x﹣3）a﹣2的图象过定点　 　． 8.不等式的解集为　 　． 1.函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，则f(1)等于(　　) A．8 B. C．4 D．2 2.函数y＝的值域是(　　) A．[0，＋∞) B．[0,4] C．[0,4) D．(0,4) 3.若，则实数a的取值范围是(　　) A. B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D. 4.函数y＝2x＋1的图象是(　　) 5.如图，曲线①②③④分别是指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图象，则实数a、b、 c、d的大小关系为（　　） A．a＜b＜c＜d B．b＜a＜d＜c C．d＜c＜b＜a D．c＜d＜a＜b 6.若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为（　　） A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c 7.函数f(x)＝的图象大致为(　　) 8.下列函数中是指数函数的是 ．(填序号) ①y＝2·；②y＝2x－1；③y＝；④y＝；⑤y＝. 9.f(x)为指数函数，若f(x)过点(－2,4)，则f(f(－1))＝ ． 10.若函数y＝在[－2，－1]上的最大值为m，最小值为n，则m＋n＝ ． 11.已知函数f(x)＝为奇函数，则n的值为 ． 12.函数y＝在(－∞，1)内单调递增，则a的取值范围是 ． 13.已知函数f(x)＝，则f(x)的单调递增区间为 ，值域为 ． 14.比较下列各组数的大小： （1）1.52.5和1.53.2； （2）0.6－1.2和0.6－1.5； （3）1.50.3和0.81.2. 15.已知函数f（x）， （1）若a＝﹣1，求f（x）的单调区间； （2）若f（x）有最大值3，求a的值． （3）若f（x）的值域是（0，+∞），求a的取值范围． 16.设函数f(x)＝(e为无理数，且e≈2.718 28…)是R上的偶函数且a>0. （1）求a的值； （2）判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性． 17.已知函数。 （1）判断函数的奇偶性； （2）讨论的单调性； （3）求的值域。 1 学科网（北京）股份有限公司 $