4.1 指数讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦“指数”核心知识点，系统梳理有理数指数幂与根式的互化规则及化简运算性质，作为指数函数学习的基础，承接初中根式知识，通过概念规定、性质归纳构建从具体到抽象的学习支架。 资料以题型分类为特色，解题知识模块清晰呈现定义与性质，典例与变式题层次递进，培养学生抽象能力与运算能力。如典例1引导辨析互化正误，过关验收题强化应用，课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，提升数学语言表达与应用意识。

4.1 指数 内 容 导 航 题型1 有理数指数幂与根式的互化 题型2 有理数指数幂及根式化简运算求值 考 点 演 练 题型1 有理数指数幂与根式的互化 解｜题｜知｜识 根式与分数指数幂 规定：（a＞0，m，n∈N*，n＞1） （a＞0，m，n∈N*，n＞1） 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 有理数指数幂 （1）幂的有关概念： ①正分数指数幂：（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）； ②负分数指数幂：（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）； ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． （2）有理数指数幂的性质： ①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）； ②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）； ③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）． 【典例1】下列根式与分数指数幂的互化正确的是（　　） A． B．（y＞0） C．（x＞0） D．（x＞0） 【答案】BCD 【解答】解：A，∵，∴A错误， B，∵y＞0，∴，∴B正确， C，∵x＞0，∴，∴C正确， D，∵x＞0，∴，∴D正确， 故选：BCD． 【变式1】若an＝b（a＞0，n＞1，n∈N*），则下列说法中正确的是（　　） A．当n为奇数时，b的n次方根为a B．当n为奇数时，a的n次方根为b C．当n为偶数时，a的n次方根为±b D．当n为偶数时，b的n次方根为±a 【答案】AD 【解答】解：由an＝b（a＞0，n＞1，n∈N*）， 当n为奇数时，可知b的n次方根只有一个a； 当n为偶数时，由于（±a）n＝an＝b， 所以b的n次方根有两个，为±a，所以只有AD正确． 故选：AD． 【变式3】若m＝2x+1，n＝4x+2x，用含m的代数式表示n，则n＝--------- 【答案】m2﹣m． 【解答】解：因为m＝2x+1，所以2x＝m﹣1， 所以4x＝（2x）2＝（m﹣1）2， 所以n＝4x+2x＝（m﹣1）2+m﹣1＝m（m﹣1）＝m2﹣m． 故答案为：m2﹣m． 题型2 有理数指数幂及根式化简运算求值 解｜题｜知｜识 根式与分数指数幂 规定：（a＞0，m，n∈N*，n＞1） （a＞0，m，n∈N*，n＞1） 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 有理数指数幂 （1）幂的有关概念： ①正分数指数幂：（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）； ②负分数指数幂：（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）； ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． （2）有理数指数幂的性质： ①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）； ②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）； ③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）． 【典例1】下列各式中，正确的是（　　） A． B．0﹣1＝0 C． D．a0＝1（a≠0） 【答案】D 【解答】解：对于A，，故A错误； 对于B，零的负分数指数幂没有意义，故B错误； 对于C，9，故C错误； 对于D，a0＝1（a≠0），故D正确． 故选：D． 【变式1】下列各式计算正确的是（　　） A．a2•a5＝a10 B．（﹣a2）3＝a6 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣x﹣y）（﹣x+y）＝x2﹣y2 【答案】D 【解答】解：对于A，同底数幂相乘，底数不变、指数相加，a2•a5＝a2+5＝a7≠a10，故A错误； 对于B，积的乘方，每个因式分别乘方，（﹣a2）3＝（﹣1）3•（a2）3＝﹣a6，故B错误； 对于C，由完全平方公式可知（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2≠a2﹣b2，故C错误； 对于D，由平方差公式可知（﹣x﹣y）（﹣x+y）＝（﹣x）2﹣y2＝x2﹣y2，故D正确． 故选：D． 【变式2】已知，则的值为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解答】解：设，则x3＝3， 所以， 又因为x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）， 即2＝（x﹣1）（x2+x+1），所以2＝（x﹣1）•2a， 则， 故（x﹣1）3+3（x﹣1）2+3（x﹣1）＝（x﹣1）[（x﹣1）2+3（x﹣1）+3]＝（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1＝2． 故选：B． 【变式3】3的相反数是（　　） A．﹣3 B．+3 C． D． 【答案】A 【解答】解：由相反数的定义可得： 3的相反数是﹣3． 故选：A． 过 关 验 收 1．根式运算：①若，则x的取值范围是 　 　 ；②化简　 　 ． 【答案】[3，5]；． 【解答】解：因为， 所以x﹣3≥0且5﹣x≥0， 解得3≤x≤5， 即x的取值范围是[3，5]， ． 故答案为：[3，5]；． 2．若实数x，y满足x2+4x+4y2﹣4y+5＝0，则x，y的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：因为x2+4x+4y2﹣4y+5＝0，所以（x+2）2+（2y﹣1）2＝0， 所以，解得x＝﹣2，y． 故选：B． 3．下列各式中，计算结果等于a2的是（　　） A．a2•a3 B．a5÷a3 C．a2+a3 D．a5﹣a0 【答案】B 【解答】解：对于A，a2•a3＝a2+3＝a5，故A错误； 对于B，a5÷a3＝a5﹣3＝a2，故B正确； 对于C，a2与a3不是同类项，不能合并，无法得到a2，故C错误； 对于D，a5﹣a0＝a5﹣1（a≠0），故D错误． 故选：B． 4．计算：（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题意可知，y3． 故选：C． 5．已知（x﹣2017）2+（x﹣2019）2＝34，则（x﹣2018）2的值是（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【解答】解：令t＝x﹣2018，则x＝t+2018， 原方程等价于（t+1）2+（t﹣1）2＝34， 化简得t2+2t+1+t2﹣2t+1＝2t2+2＝34， 解得t2＝16， 则（x﹣2018）2的值是16． 故选：D． 6．若1＜a＜2，则的化简结果是（　　） A．1 B．﹣1 C．3﹣2a D．2a﹣3 【答案】D 【解答】解：因为1＜a＜2， 所以1﹣a＜0，a﹣2＜0， 所以|1﹣a|+（a﹣2）＝a﹣1+a﹣2＝2a﹣3． 故选：D． 7．下列各式正确的是（　　） A． B．3﹣π C． D． 【答案】D 【解答】解：对于选项A，的x的范围为x≥0，的x的范围为x≤0， 所以两个式子中x的范围不同，故不恒等，故A错误； 对于选项B，π﹣3，故B错误； 对于选项C，仅在n为偶数时成立；当n为奇数时，，故C错误； 对于选项D，由根式性质，当有意义时，总有，故D正确． 故选：D． 8．下列各式符合代数式书写规范的是（　　） A．a9 B．x﹣3元 C． D． 【答案】C 【解答】解：对于A，数字写到前面，故应该书写为9a； 对于B，整体带单位，故应该书写为（x﹣3）元； 对于C，书写正确， 对于D，应该书写为． 故选：C． 9．下列计算正确的是（　　） A．a3÷a2＝a B．（﹣3ab2）2＝﹣9a2b4 C．（a2）3＝a5 D．a3•a2＝a6 【答案】A 【解答】解：a3÷a2＝a3﹣2＝a，（﹣3ab2）2＝9a2b4，（a2）3＝a2×3＝a6，a3•a2＝a3+2＝a5． 故选：A． 10．下列计算正确的是（　　） A．x2+x3＝2x5 B．x2•x3＝x6 C．（x2）3＝x5 D．x（x+1）＝x2+x 【答案】D 【解答】解：A：x2+x3≠2x5，故A错误； B：x2•x3＝x5，故B错误； C：（x2）3＝x6，故C错误； D：x（x+1）＝x2+x，故D正确． 故选：D． 11．（　　） A．8 B．4 C． D． 【答案】A 【解答】解：，设，则b4＝163＝（24）3＝（23）4＝84， 所以b＝8． 故选：A． 12．下列结论中，正确的是（　　） A．若a＞0，则 B．若m8＝2，则 C．若a+a﹣1＝3，则 D． 【答案】C 【解答】解：若a＞0，则，故A错误； 若m8＝2，则，故B错误； 若a+a﹣1＝3，则a+a﹣1+2＝3+2＝5， 又a＞0，则，故C正确； π﹣2，故D错误． 故选：C． 13．下列命题中正确的个数为（　　） ①②a∈R，则（a2﹣a﹣1）0＝1，③，④ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解答】解：对于①，取n＝3，a＝﹣1，则，故①错误， 对于②，当时，a2﹣a﹣1＝0，此时（a2﹣a﹣1）0无意义，故②错误； 对于③，取x＝y＝1，则，故③错误； 对于④，0，0，故④错误． 则正确命题的个数为0个． 故选：A． 14．计算：　　 ． 【答案】﹣3． 【解答】解：原式＝﹣4﹣1+0.5×22＝﹣5+2＝﹣3． 故答案为：﹣3． 15．分解因式：7m2﹣28＝　 　 ． 【答案】7（m﹣2）（m+2）． 【解答】解：由题意可知，7m2﹣28＝7（m2﹣4）＝7（m﹣2）（m+2）． 故答案为：7（m﹣2）（m+2）． 16．已知，h≠0，用S，h表示a，则a＝　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意可得，． 故答案为：． 17．如果a2+a﹣2＝0，那么代数式3a2+3a+2的值为　　 ． 【答案】8． 【解答】解：因为a2+a﹣2＝0，所以a2+a＝2， 那么代数式3a2+3a+2＝3（a2+a）+2＝3×2+2＝8． 故答案为：8． 18．计算的结果是　 　 ． 【答案】． 【解答】解：． 故答案为：． 19．已知，则　 　 ． 【答案】． 【解答】解：因为16﹣x2﹣（4﹣x2）＝12，且， 所以， 所以． 故答案为：． 20．已知，且a≠1），则a2x＝　 ． 【答案】或2． 【解答】解：因为a3x+a﹣3x＝（ax+a﹣x）（a2x﹣1+a﹣2x）， 所以， 所以， 设t＝a2x，则可化为， 即2t2﹣5t+2＝0， 解得或t＝2． 因为t＝a2x＞0，所以或a2x＝2． 故答案为：或2． 21．a，b∈R，集合，则a2024+b2025＝ 　　 ． 【答案】2 【解答】解：由分母不为0可知a≠0， 所以a+b＝0，则a＝﹣b，即， 所以集合{1，0，a}＝{0，﹣1，b}， 所以a＝﹣1，b＝1， 故a2024+b2025＝（﹣1）2024+12025＝1+1＝2． 故答案为：2． 22．，则　 　 ． 【答案】﹣18． 【解答】解：由已知可得， 得，∴， ∴或， 当时，所以x2﹣x+1＝0， 此时Δ＝﹣3＜0，故舍去；∴， 所以 ． 故答案为：﹣18． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 指数 内 容 导 航 题型1 有理数指数幂与根式的互化 题型2 有理数指数幂及根式化简运算求值 考 点 演 练 题型1 有理数指数幂与根式的互化 解｜题｜知｜识 根式与分数指数幂 规定：（a＞0，m，n∈N*，n＞1） （a＞0，m，n∈N*，n＞1） 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 有理数指数幂 （1）幂的有关概念： ①正分数指数幂：（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）； ②负分数指数幂：（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）； ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． （2）有理数指数幂的性质： ①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）； ②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）； ③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）． 【典例1】下列根式与分数指数幂的互化正确的是（　　） A． B．（y＞0） C．（x＞0） D．（x＞0） 【变式1】若an＝b（a＞0，n＞1，n∈N*），则下列说法中正确的是（　　） A．当n为奇数时，b的n次方根为a B．当n为奇数时，a的n次方根为b C．当n为偶数时，a的n次方根为±b D．当n为偶数时，b的n次方根为±a 【变式3】若m＝2x+1，n＝4x+2x，用含m的代数式表示n，则n＝--------- 题型2 有理数指数幂及根式化简运算求值 解｜题｜知｜识 根式与分数指数幂 规定：（a＞0，m，n∈N*，n＞1） （a＞0，m，n∈N*，n＞1） 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 有理数指数幂 （1）幂的有关概念： ①正分数指数幂：（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）； ②负分数指数幂：（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）； ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． （2）有理数指数幂的性质： ①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）； ②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）； ③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）． 【典例1】下列各式中，正确的是（　　） A． B．0﹣1＝0 C． D．a0＝1（a≠0） 【变式1】下列各式计算正确的是（　　） A．a2•a5＝a10 B．（﹣a2）3＝a6 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（﹣x﹣y）（﹣x+y）＝x2﹣y2 【变式2】已知，则的值为（　　） A．1 B．2 C． D． 【变式3】3的相反数是（　　） A．﹣3 B．+3 C． D． 过 关 验 收 1．根式运算：①若，则x的取值范围是 　 　 ；②化简　 　 ． 2．若实数x，y满足x2+4x+4y2﹣4y+5＝0，则x，y的值为（　　） A． B． C． D． 3．下列各式中，计算结果等于a2的是（　　） A．a2•a3 B．a5÷a3 C．a2+a3 D．a5﹣a0 4．计算：（　　） A． B． C． D． 5．已知（x﹣2017）2+（x﹣2019）2＝34，则（x﹣2018）2的值是（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 6．若1＜a＜2，则的化简结果是（　　） A．1 B．﹣1 C．3﹣2a D．2a﹣3 7．下列各式正确的是（　　） A． B．3﹣π C． D． 8．下列各式符合代数式书写规范的是（　　） A．a9 B．x﹣3元 C． D． 9．下列计算正确的是（　　） A．a3÷a2＝a B．（﹣3ab2）2＝﹣9a2b4 C．（a2）3＝a5 D．a3•a2＝a6 10．下列计算正确的是（　　） A．x2+x3＝2x5 B．x2•x3＝x6 C．（x2）3＝x5 D．x（x+1）＝x2+x 11．（　　） A．8 B．4 C． D． 12．下列结论中，正确的是（　　） A．若a＞0，则 B．若m8＝2，则 C．若a+a﹣1＝3，则 D． 13．下列命题中正确的个数为（　　） ①②a∈R，则（a2﹣a﹣1）0＝1，③，④ A．0 B．1 C．2 D．3 14．计算：　　 ． 15．分解因式：7m2﹣28＝　 　 ． 16．已知，h≠0，用S，h表示a，则a＝　 ． 17．如果a2+a﹣2＝0，那么代数式3a2+3a+2的值为　　 ． 18．计算的结果是　 　 ． 19．已知，则　 　 ． 20．已知，且a≠1），则a2x＝　 ． 21．a，b∈R，集合，则a2024+b2025＝ 　　 ． 22．，则　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $