5.4 二次函数与一元二次方程 课时作业 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第五章 二次函数 4 二次函数与一元二次方程 课时作业 北师大版 九年级上册　　班级：__________　姓名：__________　得分：__________ 一、知识梳理 知识点1 二次函数与一元二次方程的关系 抛物线 与 轴交点的横坐标，就是一元二次方程 的根；反过来，方程的根就是抛物线与 轴交点的横坐标。 因此，抛物线与 轴有几个交点，对应的一元二次方程就有几个实数根。求交点坐标的方法是：令 ，解方程 。 知识点2 交点个数与判别式 图1　抛物线与 轴的三种位置关系（以开口向上为例） 抛物线与 轴的交点 方程 的根 有两个交点 有两个不相等的实数根 有一个交点（顶点在 轴上） 有两个相等的实数根 没有交点 没有实数根 特别说明：“抛物线与 轴有交点”包含 和 两种情况，即 ，这一点最容易出错。 知识点3 用图象法求一元二次方程的近似根 图2　用图象估计 的根 步骤：①画出 的图象；②观察图象与 轴交点的大致位置，确定根所在的两个相邻整数之间；③列表计算，找出使函数值由正变负（或由负变正）的相邻两个 值，逐步缩小范围，得到近似根。 一元二次方程的求根公式为 （），可用它检验图象法所得近似根是否合理。 知识点4 利用图象解决相关问题 （1）方程 的根，就是抛物线 与直线 交点的横坐标； （2）由图象可直接看出函数值的正负：图象在 轴上方的部分对应 ，在 轴下方的部分对应 ； （3）若抛物线与 轴交于 、，则对称轴是直线 ，两交点间的距离为 。 二、典型例题 例1 求抛物线与坐标轴的交点 求抛物线 与 轴、 轴的交点坐标。 【解】令 ，得 ，因式分解得 ， 解得 ，，故与 轴的交点为 和 。 令 ，得 ，故与 轴的交点为 。 【点拨】求与 轴交点令 ，求与 轴交点令 。 例2 由交点个数确定字母的取值范围 已知抛物线 与 轴有两个不同的交点，求 的取值范围。 【解】由题意得 ， 解得 。 【点拨】“有两个不同的交点”对应 ；“只有一个交点”对应 ；“有交点”则对应 。 例3 用图象法估计方程的根 利用图象估计方程 的一个正数根（精确到 0.1）。 【解】作出 的图象（见图2），可知正数根在 2 与 3 之间。列表计算： 2 2.3 2.4 2.5 0.25 因为当 从 2.4 变到 2.5 时， 由负变正，所以根在 2.4 与 2.5 之间，且更接近 2.4， 所以方程的正数根约为 2.4。 【点拨】用求根公式验证：，而 ，与估计结果一致。 三、基础过关（选择题，每小题 3 分，共 24 分） 1．抛物线 与 轴的交点坐标是（　　） A．，　　B．， C．　　D．， 2．抛物线 与 轴的交点个数是（　　） A．0 个　　B．1 个　　C．2 个　　D．无法确定 3．若抛物线 与 轴有两个不同的交点，则 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4．已知抛物线 与 轴交于点 和 ，则它的对称轴是直线（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5．二次函数 的图象如图所示，则方程 的根是（　　） （第 5、6 题图） A．，　　B．， C．，　　D．方程没有实数根 6．根据上图，当 时，自变量 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 或 7．抛物线 与 轴的交点个数是（　　） A．0 个　　B．1 个　　C．2 个　　D．3 个 8．若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则抛物线 的顶点（　　） A．在 轴上方　　B．在 轴上　　C．在 轴下方　　D．位置不确定 四、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 9．抛物线 与 轴的交点坐标是＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿． 10．若抛物线 与 轴只有一个公共点，则 ＿＿＿＿＿＿． 11．已知一元二次方程 的两根分别是 和 1，则抛物线 的对称轴是直线＿＿＿＿＿＿． 12．抛物线 与 轴的交点坐标是＿＿＿＿＿＿，与 轴的交点坐标是＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿． 13．若抛物线 与直线 有两个不同的交点，则 的取值范围是＿＿＿＿＿＿． 14．用图象法求得方程 的两个根约为＿＿＿＿和＿＿＿＿（精确到 0.1）． 五、解答题（共 42 分） 15．（6 分）不画图象，判断下列抛物线与 轴的交点个数，并说明理由． （1）；　（2）；　（3）． 16．（7 分）已知二次函数 ． （1）求它的图象与 轴、 轴的交点坐标； （2）求它的顶点坐标，并画出函数的大致图象； （3）根据图象写出当 时 的取值范围． 17．（7 分）利用下表和图象，求方程 的两个近似根（精确到 0.1）． 2.3 2.4 2.5 0.25 0.25 （第 17 题图） 18．（7 分）已知抛物线 经过点 和 ． （1）求 、 的值； （2）求这条抛物线的顶点坐标； （3）当 取何值时，？ 19．（7 分）已知抛物线 与 轴有两个不同的交点． （1）求 的取值范围； （2）当 时，求抛物线与 轴两交点间的距离． 20．（8 分）如图，抛物线 与直线 相交于 A、B 两点． （第 20 题图） （1）求 A、B 两点的坐标； （2）根据图象直接写出：当 取何值时，抛物线在直线的上方． 六、拓展提升（共 10 分） 21．（5 分）已知关于 的二次函数 （ 为常数）． （1）求证：无论 取何值，该抛物线与 轴总有两个不同的交点； （2）求这两个交点之间的距离． 22．（5 分）二次函数 中， 与 的部分对应值如下表： 0 1 2 0 0 （1）写出该抛物线的对称轴与顶点坐标； （2）求这个二次函数的表达式； （3）写出方程 的两根，并指出当 时 的取值范围． 七、易错辨析与变式训练（共 16 分） 【易错提醒】①把“有交点”误认为只能是 ，漏掉 ；②含字母系数时忘记二次项系数不为 0；③求交点坐标时只写横坐标，忘记写成坐标形式；④由图象写不等式解集时把“”与“”对应的区间弄反；⑤用图象法估计根时，没有找到函数值变号的区间． 23．（4 分）判断下列说法是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”． （1）抛物线与 轴交点的横坐标是对应一元二次方程的根．（　　） （2）当 时，抛物线与 轴没有交点．（　　） （3）任何抛物线与 轴一定有交点．（　　） （4）若抛物线与 轴有交点，则一定有 ．（　　） 24．（4 分）若抛物线 与 轴有交点，求 的取值范围． 25．（4 分）已知二次函数 ．判断方程 的根的情况，并求出它的根（结果保留根号）． 26．（4 分）已知抛物线 与 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 轴交于点 C． （1）求 A、B、C 三点的坐标；　（2）求 △ABC 的面积． 参考答案与解析 一、选择题 1．B　【解析】令 ，得 ，即 ，所以 ，，交点为 和 ． 2．B　【解析】，所以抛物线与 轴只有一个交点（顶点 在 轴上）． 3．A　【解析】由 ，得 ． 4．B　【解析】由对称性，对称轴为直线 ． 5．A　【解析】由图象可知抛物线与 轴的交点为 和 ，故方程的根为 ，． 6．C　【解析】 即图象在 轴上方的部分．由图象可知，当 时图象在 轴上方． 7．A　【解析】，所以抛物线与 轴没有交点． 8．B　【解析】方程有两个相等的实数根，即 ，此时抛物线与 轴只有一个公共点，这个点就是顶点，故顶点在 轴上．（此时 ，顶点为 ．） 二、填空题 9．；　【解析】由 ，得 ，所以 ，． 10．9　【解析】只有一个公共点即 ：，，． 11．　【解析】两根即两交点的横坐标，对称轴为 ． 12．；；　【解析】令 得 ；令 得 ，即 ，． 13．　【解析】配方得 ，顶点为 ，开口向上．当直线 在顶点上方时有两个交点，即 ． 14．2.4；　【解析】由列表可知，函数值在 从 2.4 到 2.5 之间、从 到 之间发生变号，故两根约为 2.4 和 （准确值为 ）． 三、解答题 15．【解】（1），所以有两个交点． （2），所以只有一个交点． （3），所以没有交点． 【点拨】计算 时注意各项系数的符号，特别是 、 同为负数时， 为负． 16．【解】（1）令 ，得 ，，所以与 轴的交点为 、； 令 ，得 ，所以与 轴的交点为 ． （2）配方得 ，顶点坐标为 ．图象为开口向上、顶点在 、过点 、、 的抛物线（作图略）． （3）由图象可知，当 时，图象在 轴下方，即 ． 17．【解】由表可知：当 从 变到 时， 由 0.25 变为 ，函数值由正变负，说明有一个根在 与 之间，且更接近 ； 当 从 2.4 变到 2.5 时， 由 变为 0.25，函数值由负变正，说明另一个根在 2.4 与 2.5 之间，且更接近 2.4． 所以方程的两个近似根为 ，． 【点拨】准确根为 ，即约 和 ，与估计结果吻合． 18．【解】（1）把 代入得 ；把 代入得 ． 两式相减，得 ，所以 ，代入得 ． （2）此时 ，顶点坐标为 ． （3）因为开口向上，与 轴交点为 、，所以当 或 时，． 19．【解】（1）由 ，得 ． （2）当 时，令 ，得 ，解得 ，． 所以两交点间的距离为 ． 20．【解】（1）联立两个函数表达式，得 ， 整理得 ，即 ，解得 ，． 当 时，；当 时，． 所以 A、B 两点的坐标分别为 和 ． （2）由图象可知，当 或 时，抛物线在直线的上方． 【点拨】求两图象的交点，就是解由两个表达式组成的方程组，本质是解一元二次方程． 四、拓展提升 21．【解】（1）证明：． 因为无论 取何值，都有 ，所以该抛物线与 轴总有两个不同的交点． （2）令 ，得 ，即 ， 所以 ，解得 ，． 故两交点间的距离为 （与 的取值无关）． 22．【解】（1）由表可知，当 和 时函数值都是 ，所以对称轴是直线 （即 轴）；顶点坐标为 ． （2）设 ，把 代入，得 ，解得 ． 所以这个二次函数的表达式为 ． （3）由表可知 、 时 ，故方程的两根为 ，； 因为开口向上，所以当 或 时，． 五、易错辨析与变式训练 23．【答案】（1）√　（2）√　（3）×　（4）× 【解析】（3）当 时没有交点；（4）有交点对应 ，包含相切（只有一个交点）的情形． 24．【解】因为 是二次函数，所以 ． 由抛物线与 轴有交点，得 ，解得 ． 所以 的取值范围是 且 ． 【点拨】两个条件缺一不可：二次项系数不为 0，判别式非负． 25．【解】方程 即 ． ，所以方程有两个不相等的实数根． 由求根公式，得 ． 即 ，． 【点拨】从图象看，这两个根就是抛物线 与直线 交点的横坐标． 26．【解】（1）令 ，得 ，即 ，， 解得 ，，所以 ，． 令 ，得 ，所以 ． （2），点 C 到 轴的距离（即 △ABC 的高）为 3， 所以 ． 学科网（北京）股份有限公司 $