5.4二次函数与一元二次方程(1) 课时练习 2026--2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本练习通过基础选择填空、中档综合解答、提升情境探究的三层设计，构建从概念理解到实际应用的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求，培养运算能力、几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|顶点坐标、对称轴、x轴交点等单一知识点|以选择填空为主，如判断函数图像与x轴交点个数，夯实概念理解| |中档层|交点坐标、面积计算、根的范围等综合应用|解答题分步设问，如求交点坐标及三角形面积，提升推理能力| |提升层|拱桥截面、函数平移等实际情境与探究|结合现实问题，如建立坐标系求抛物线解析式，发展模型意识与创新意识|

【北师大版九年级数学（上）课时练习】 §5.3二次函数与一元二次方程(1) 一、选择题（每小题3分 共24分） 1．（本题3分）关于二次函数，下列描述正确的是（  ） A．该函数图象的顶点坐标为 B．该函数图象的对称轴在y轴的左侧 C．该函数图象与x轴有两个交点 D．当时，y的值随x值的增大而增大 解：A、∵， ∴该函数图象的顶点坐标为，故该选项错误，不符合题意； B、在二次函数， ∵该函数图象的对称轴为， ∴该函数图象的对称轴在y轴的右侧，故该选项错误，不符合题意； C、二次函数图象与x轴的交点，则，即， ∵，∴方程有两个不等的实数根， ∴该函数图象与x轴有两个交点，故该选项正确，符合题意； D、在二次函数， ∵，开口向上，对称轴为， ∴当时，y的值随x值的增大而减小；当时，y的值随x值的增大而增大，故该选项错误，不符合题意．故选：C． 2．（本题3分）二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，则的面积为(　 ) A．6 B．4 C．3 D．1 解：如图， 在中，当时， 解得： 当时，， 即， ∴ 故的面积为：． 故选：A． 3．（本题3分）下列函数的图象与x只有一个交点的是（  ） A． B． C． D． 解:选项A中，与x轴有2个交点； 选项B中，与x轴没有交点； 选项C中，与x轴没有交点； 选项D中，所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点， 故选：D． 4．（本题3分）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（  ） A．3 B．6 C．9 D．18 解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和线段的长为.故选：B 5．（本题3分）如表是部分二次函数的自变量x与函数值y的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y 0.04 0.59 1.16 那么方程的一个根在（　　）范围之间． A． B． C． D． 解：观察表格可知：当时；当时，， ∴方程的一个根在范围是． 故选：B． 6．（本题3分）已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（ ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 解：由函数图象可得：的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧， ∴关于x的方程即有两个同号不等实数根，故选：C 7．（本题3分）抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 解：由图象可得抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为：， 则抛物线与x轴的另一个交点坐标为：， 当时，则函数图象在x轴的上方， 所以． 故选C． 8．（本题3分）如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵时，， ∴，故④错误； ∵抛物线交x轴于，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∴时，，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有3个．故选：C 二、填空题（每小题3分 共15分） 9．（本题3分）抛物线与轴交点坐标为__________． 解：令，即， 解得 则抛物线与x轴的交点坐标为, 故答案为：． 10．（本题3分）二次函数的图象与轴交点坐标是________． 解：∵ 二次函数图象与轴相交时，交点的横坐标为， ∴ 令，代入二次函数解析式， 得， ∴ 二次函数的图象与轴交点坐标是． 11．（本题3分）已知二次函数，若点在该函数的图象上，则m的值为_____． 解：二次函数，点在该函数的图象上， ∴， 解得， 故答案为：0或2． 12．（本题3分）已知抛物线的关系式为，则该抛物线与x轴的交点情况为__________． 解：令， 则， 原方程无实数根，即该抛物线与x轴无交点， 故答案为：无交点． 13．（本题3分）二次函数的图像如图所示，其对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④； ⑤．其中，正确的是 ___________． 解：由图像可知，当时，， ， ， 则 ①不正确； 当时，与轴有两个交点，则； ②正确； 时，，即； ③正确； 对称轴， ∴， ④正确； 时，． 故⑤正确； 故答案为：②③④⑤． 三、解答题（共61分） 14．（本题6分）已知函数与的交点为A，B（A在B的右边）． (1)求点A、点B的坐标． (2)求的面积． （1）解：由题意得：， 解得：或 即交点A，B的坐标分别为； （2）连接 直线与y轴交于点，即， ． 15．（本题8分）已知二次函数，其图象与y轴交于点B， 与轴交于A，C两点 (点A在点C的左侧)． (1)求三点的坐标； (2)当取何值时，随着的增大而减小? （1）解：∵二次函数， ∴当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，x＝3或x＝1， ∴当点A在点C的左侧时，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，﹣3），点C的坐标为（3，0）； （2）对于二次函数来说， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当x＞2时，y随x的增大而减小． 16．（本题8分）已知抛物线经过点和点， (1)求这个抛物线的解析式及顶点坐标． (2)求抛物线与x轴两个交点之间的距离． （1）解：把点和点代入得： ， 解得：， ∴这个抛物线的解析式为， ∵， ∴这个抛物线的顶点坐标为； （2）解：当时，， 解得：， ∴抛物线与x轴两个交点坐标为， ∴抛物线与x轴两个交点之间的距离为． 17．（本题9分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点C的坐标为（2，3），与x轴交于A（-1，0）、B（5，0），根据图象回答下列问题： （1）写出方程ax2+bx+c=0的根； （2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集； （3）若ax2+bx+c=k有实数根，k的范围应为 ． 解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0）、B（5，0）， ∴方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1、x2=5； （2）由图象可知，二次函数图象的开口向下，与x轴交于A（-1，0）、B（5，0）， ∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是x＜-1或x＞5； （3）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点C的坐标为（2，3）， 当y= k≤2时，ax2+bx+c=k有实数根， 故答案为：k≤2． 18．（本题9分）已知抛物线顶点在第三象限，顶点纵坐标为． (1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标． (2)若点A是抛物线与x轴交点（在y轴右侧），点是抛物线上一点，直线AB的函数表达式为，求满足的x的取值范围． （1）解：对称轴为， 将代入抛物线得 解得或（舍去） ∴抛物线的函数表达式为，顶点坐标为． （2）解：如图， 令，解得，或（舍去） ∴ 由图象可知当时，． 19．（本题10分）如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）． (1)你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是______； (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式； (3)因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？ （1）解：分情况讨论： 选择方案一： 由题意得，; 选择方案二： 由题意得，; 选择方案三： 由对称性可知点与点关于轴对称，，， 又桥洞与水面的最大距离是，， ． （2）解：分情况讨论： 选择方案一：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为; 选择方案二：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为; 选择方案三：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为． （3）解：选择方案三中的解析式， ， 暴雨水位上升后，代入，得， 解得或， 水面宽为． 20．（本题11分）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，点B，与y轴交于点，顶点为D，连接，． (1)求该抛物线的解析式及点D的坐标； (2)求的面积； (3)①当时，求y的取值范围； ②若将该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点，则平移后的函数解析式是___________． （1）解：将点，代入二次函数得， ，解得：， 二次函数， ， 顶点D的坐标为； （2）解：令，则， 解得：，， ， ， 的面积； （3）解：①， 抛物线开口向下，在处有最大值为， 当时，；当时，， 当时，y的取值范围为； ②由①可知，抛物线开口向下，顶点坐标为， 该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点， 平移后的函数图象顶点在x轴上，即向下平移个单位长度， 平移后的函数解析式是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 【北师大版九年级数学（上）课时练习】 §5.3二次函数与一元二次方程(1) 一、选择题（每小题3分 共24分） 1．（本题3分）关于二次函数，下列描述正确的是（  ） A．该函数图象的顶点坐标为 B．该函数图象的对称轴在y轴的左侧 C．该函数图象与x轴有两个交点 D．当时，y的值随x值的增大而增大 2．（本题3分）二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，则的面积为(　 ) A．6 B．4 C．3 D．1 3．（本题3分）下列函数的图象与x只有一个交点的是（  ） A． B． C． D． 4．（本题3分）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（  ） A．3 B．6 C．9 D．18 5．（本题3分）如表是部分二次函数的自变量x与函数值y的对应值： x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y 0.04 0.59 1.16 那么方程的一个根在（　　）范围之间． A． B． C． D． 6．（本题3分）已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（ ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 7．（本题3分）抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是（ ） A． B． C． D．或 8．（本题3分）如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每小题3分 共15分） 9．（本题3分）抛物线与轴交点坐标为__________． 10．（本题3分）二次函数的图象与轴交点坐标是________． 11．（本题3分）已知二次函数，若点在该函数的图象上，则m的值为_____． 12．（本题3分）已知抛物线的关系式为，则该抛物线与x轴的交点情况为__________． 13．（本题3分）二次函数的图像如图所示，其对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④； ⑤．其中，正确的是 ___________． 三、解答题（共61分） 14．（本题6分）已知函数与的交点为A，B（A在B的右边）． (1)求点A、点B的坐标． (2)求的面积． 15．（本题8分）已知二次函数，其图象与y轴交于点B， 与轴交于A，C两点 (点A在点C的左侧)． (1)求三点的坐标； (2)当取何值时，随着的增大而减小? 16．（本题8分）已知抛物线经过点和点， (1)求这个抛物线的解析式及顶点坐标． (2)求抛物线与x轴两个交点之间的距离． 17．（本题9分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点C的坐标为（2，3），与x轴交于A（-1，0）、B（5，0），根据图象回答下列问题： （1）写出方程ax2+bx+c=0的根； （2）写出不等式ax2+bx+c＜0的解集； （3）若ax2+bx+c=k有实数根，k的范围应为 ． 18．（本题9分）已知抛物线顶点在第三象限，顶点纵坐标为． (1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标． (2)若点A是抛物线与x轴交点（在y轴右侧），点是抛物线上一点，直线AB的函数表达式为，求满足的x的取值范围． 19．（本题10分）如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）． (1)你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是______； (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式； (3)因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？ 20．（本题11分）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，点B，与y轴交于点，顶点为D，连接，． (1)求该抛物线的解析式及点D的坐标； (2)求的面积； (3)①当时，求y的取值范围； ②若将该函数图象向下平移到与x轴有唯一公共点，则平移后的函数解析式是___________． 学科网（北京）股份有限公司 $