5.4 二次函数与一元二次方程（分层作业练题型）数学新教材北师大版九年级上册

分层作业 5.4 二次函数与一元二次方程 目 录 A组 巩固过关 题型01 二次函数与坐标轴的交点问题 题型02 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 题型03 图像法求一元二次方程的近似根 题型04 利用不等式求自变量或函数值的范围 题型05 根据交点确定不等式的解集 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )二次函数与坐标轴的交点问题 1.（2026•南岗区校级四模）抛物线y＝x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2.（2026•建邺区二模）函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．1或2 3.（2026•新城区校级模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且经过点A（1，m），B（3，m），则△AOB的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 4.（2026•雷州市模拟）关于二次函数y＝x2﹣3x﹣1的图象与x轴交点个数的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．无法判断 5.（2026•蓝田县模拟）已知二次函数y＝﹣ax2+2ax+5（a≠0）的图象不经过第三象限，则下列关于该函数的说法正确的是（　　） A．图象开口向下 B．x＞0时，y随x的增大而减小 C．图象与x轴的交点分别位于原点的两侧 D．当x＝3时，y＞0 6.（2026•花都区二模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2（a＞0）的图象如图所示，图象与x轴交点的横坐标从左到右依次为x1，x2，如果x＝m时，y＜0，则当x＝m﹣2时，函数值（　　） A．y＝2 B．y＜2 C．y＞2 D．0＜y＜2 7.（2026•高要区二模）已知二次函数y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（　　） A．顶点坐标为（1，0） B．对称轴为直线x＝1 C．函数图象与x轴有2个交点 D．当x＜1时，y随x的增大而减小 8.（2026•神木市一模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣ax2﹣4ax﹣4a+3（a为常数，且a≠0）的图象与y轴的交点在x轴下方，则该二次函数有（　　） A．最大值﹣3 B．最小值﹣3 C．最大值3 D．最小值3 9．（2026•陕西模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣4ax+4a﹣4（a为常数，且a≠0）的图象与x轴有两个交点，则下列关于该函数的结论正确的是（　　） A．图象开口向下 B．当x＝2时，y＝4 C．当﹣1＜x＜3时，函数的最大值为﹣4 D．当x＞3时，y的值随x值的增大而增大 10．（2026•栖霞区校级三模）若二次函数y＝（x+m）2+m（m为常数）的图象与x轴有两个不同的交点，则该函数图象的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ( 题型0 2 )根据二次函数图像确定相应方程根的情况 11.（2026•霸州市模拟）已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象如图所示，下列说法错误的是（　　） A．一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根 B．m＞1 C．抛物线的对称轴为直线x＝1 D．抛物线与直线y＝m只有一个交点 12.（2026•保定三模）已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a＞0，b＜0）有两个不相等的实数根，则抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13.（2026•绵阳二模）若抛物线y＝x2﹣3x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． ( 题型0 3 )图像法求一元二次方程的近似根 14.（2026•邗江区校级模拟）已知点A（0，0.3），，C（2，0.3）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则方程ax2+bx﹣0.7＝0的解为（　　） A．x1，x2 B．x1，x2 C．x1＝2，x2 D．x1，x2 15．（2026•项城市校级模拟）下列表格中是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的一些对应值，可以判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似根是（　　） x 6.7 6.8 6.9 7.0 y＝ax2+bx+c ﹣0.3 ﹣0.1 0.2 0.6 A．6.7 B．6.8 C．6.9 D．7.0 16．（2025秋•高平市期末）设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），下表列出了x与y的6对对应值： x ﹣1 0 1 2 3 4 y ﹣7 ﹣5 ﹣1 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解的大致范围是（　　） A．﹣7＜x＜﹣5 B．1＜x＜2 C．﹣5＜x＜﹣1 D．﹣1＜x＜0 17.（2025秋•上城区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的自变量与函数的部分对应值表如下，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根的取值范围为（　　） x 2.01 2.02 2.03 2.04 y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.06 A．2.01＜x＜2.02 B．2.02＜x＜2.03 C．2.03＜x＜2.04 D．x＞2.04 18．（2025秋•呈贡区期末）二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值列表如下： x … 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 … y … ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 … 则一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根的取值范围是（　　） A．1.3＜x＜1.4 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.4＜x＜1.5 19．（2025秋•贵州期末）二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程ax2﹣2ax+c＝0的较大的根的取值范围是（　　） A．0.4＜x＜0.5 B．0.5＜x＜0.6 C．2.4＜x＜2.5 D．2.5＜x＜2.6 20．（2025秋•南海区期末）观察下列表格，可得出一元二次方程x2+12x﹣15＝0的一个近似解是（　　） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 x2+12x﹣15 ﹣0.59 0.84 2.29 3.76 5.25 A．1.1＜x＜1.2 B．1.2＜x＜1.3 C．1.3＜x＜1.4 D．1.4＜x＜1.5 21．（2025秋•潮安区期末）如图，点A（2.26，﹣0.32），B（2.56，0.41）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则方程ax2+bx+c＝0的一个根的近似值可能是（　　） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 22．（2025秋•莲湖区期末）小强利用二次函数图象估计一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的近似解，下表是小强探究过程中的一些数据，根据表中数据可得，方程必有一个实数根在（　　） x 1.5 2 2.5 3 3.5 y＝x2﹣2x﹣2 ﹣2.75 ﹣2 ﹣0.75 1 3.25 A．1.5和2之间 B．2和2.5之间 C．2.5和3之间 D．3和3.5之间 23．（2025秋•惠城区期末）观察下列表格，则一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个近似解a所在的范围是（　　） x 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 x2﹣x ﹣0.24 ﹣0.09 0.24 0.75 1.44 2.3 A．0.9＜a＜1.2 B．1.2＜a＜1.5 C．1.5＜a＜1.8 D．1.8＜a＜2.1 24．（2025秋•靖边县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表所示，方程ax2+bx+c＝0的一个根的近似值可能是（　　） x … 1.2 1.3 1.4 1.5 … y … ﹣1 ﹣0.48 0.05 0.65 … A．1.12 B．1.26 C．1.38 D．1.45 ( 题型0 4 )利用不等式求自变量或函数值的范围 25．（2026•莘县校级一模）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y1＞y2；⑥a+b＞m（am+b）（m实数）．其中正确的是（　　） A．①③⑥ B．①④⑤ C．①③⑤ D．②④⑥ 26．（2026•成武县三模）小张用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象时，部分列表如表： x … ﹣1 0 1 2 … y … t 3 4 3 … 依据以上信息，判断以下结论中错误的是（　　） A．图象顶点在第一象限 B．﹣1和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两根 C．若ax2+bx+c＜2x+p恒成立，则p≥3 D．点M（m，n）在该图象上，若0＜m＜4，则﹣5＜n≤4 ( 题型0 5 )根据交点确定不等式的解集 27．（2026春•沙坪坝区校级期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与直线y＝mx+n（m≠0）有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于x的不等式ax2+（b﹣m）x+c﹣n≥0的解集为　 　 ． 28．（2026•旌阳区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论： ①abc＞0； ②3a+c＜0； ③a+b≤am2+bm（实数m≠1）； ④若方程ax2+bx+c＝n有一根为﹣2，则不等式ax2+bx+c＜n的解集是﹣2＜x＜4； ⑤若bx1bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2． 其中结论错误的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．（2026春•镇海区期末）如图，二次函数的图象经过点（0，2），且与正比例函数y2＝kx的图象交于点A（1，1）和点B． （1）求二次函数的解析式和另一交点B的坐标； （2）根据函数图象，直接写出不等式x2+bx＜kx﹣c的解集． 30．（2026•成都校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+x﹣6与x轴交于A（﹣3，0），B两点，下列说法正确的是（　　） A．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1 B．抛物线的顶点坐标为 C．A，B两点之间的距离为5 D．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小 31．（2025秋•宣城期末）如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①2a+b＝0；②方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在﹣2和﹣1之间；③b﹣a＜2；④方程一定有两个不相等的实数根；其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 32.（2026•龙海区校级模拟）在平面直角坐标系中，y＝x2﹣2x﹣3的图象交x轴于点A、B（A在B的左侧）若抛物线上有一点P，连接PA，∠PAB＝45°，则PA的长为（　　） A． B． C．或 D．或 33．（2026•建邺区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0），其中a+b＝﹣1． ①若这个函数的图象经过点（﹣1，0），则函数必有最大值； ②若0＜x＜1时，y随x的增大而减小，则必有a＞0； ③若这个函数的图象经过点（4，1），则不等式ax2+bx＞0的解集为x＜0或x＞4； ④若方程ax2+bx+1＝0（a≠0）有一根为x1，且﹣2＜x1＜﹣1，则必有a＞b． 上述四个结论中：所有正确的个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 34．（2026•盘龙区校级模拟）已知抛物线y＝x2+bx+c的最低点的坐标是（﹣2，﹣3），设r是该抛物线与x轴交点的横坐标． （1）求b和c的值； （2）记，是否存在正整数m，使得T为整数，若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 35．（2026•丹阳市二模）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B（4，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），点P在抛物线上，连接BC、BP． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P在第一象限，连接AP交BC于点D．记△DBP的面积为S1，△DCA的面积为S2．当S1＜S2时，则点P的横坐标a的取值范围是　3＜a＜4　 ； （3）如图2，直线OP交抛物线于另一点Q． ①若点P、点Q的横坐标分别是m、n，则mn＝　﹣4　 ； ②连接CP、CQ，记△PCQ的面积为S，求S的最小值． 36．（2026•齐齐哈尔）如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B（m，0）（3＜m＜4）．下列结论：①abc＞0；②3a+c＜0；③b2＝4a（c﹣n）；④若点P（t，y1），Q（3﹣t，y2）（t）都在抛物线y＝ax2+bx+c上，则y1＞y2；⑤若OA＝OB，则关于x的方程ax2+（b+1）x＝0的两根之和为c．其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 37．（2026•静安区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），点D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交于点C（5，6）． （1）求抛物线的解析式，并求出D点坐标； （2）若在x轴上有一点P，使得△ACP的三条高所在直线交于三角形外一点，设点P的横坐标为m，求m的取值范围； （3）若直角坐标平面中的点E和点A、C、D构成直角梯形，且面积为13.2，直接写出点E的坐标． 38.（2026•内蒙古）二次函数y＝x2﹣9的图象与x轴交于A，B两点，则线段AB的长是（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 39．（2026•江西）如图，观察函数y＝x2+3x﹣3的图象，可以发现方程x2+3x﹣3＝0在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当x＝0.5时，y＜0，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程x2+3x﹣3＝0另一根更接近的是（　　） A．﹣4.5 B．﹣4 C．﹣3.5 D．﹣3 40．（2026•烟台）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点C位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间，顶点为P，对称轴为直线x＝2．下列说法：①abc＜0；②4a+b＝0；③﹣1＜a；④设抛物线与x轴的另一交点为B，当∠CPB＝90°时，a．其中正确的是（　　） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.4 二次函数与一元二次方程 目 录 A组 巩固过关 题型01 二次函数与坐标轴的交点问题 题型02 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 题型03 图像法求一元二次方程的近似根 题型04 利用不等式求自变量或函数值的范围 题型05 根据交点确定不等式的解集 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )二次函数与坐标轴的交点问题 1.（2026•南岗区校级四模）抛物线y＝x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝4﹣4＝0，∴抛物线y＝x2﹣2x+1与x轴有1个交点． ∵抛物线y＝x2﹣2x+1与y轴有1个交点，∴抛物线y＝x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数为1+1＝2（个）． 2.（2026•建邺区二模）函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】D 【解析】∵函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m为常数），∴当y＝0时，0＝x2﹣（m+1）x+m，Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×1×m＝（m﹣1）2≥0，∴该方程有两个实数根，即函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是1个或2个. 3.（2026•新城区校级模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且经过点A（1，m），B（3，m），则△AOB的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【解析】由题意可得：二次函数的对称轴为直线，∵对称轴公式为，a＝1，∴，解得b＝﹣4，又∵二次函数图象与x轴只有一个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×c＝0，解得c＝4，∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x+4，将A（1，m）代入解析式，得m＝12﹣4×1+4＝1，∴A（1，1），B（3，1），∴AB＝3﹣1＝2，原点O到直线AB的距离为1，∴． 4.（2026•雷州市模拟）关于二次函数y＝x2﹣3x﹣1的图象与x轴交点个数的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．无法判断 【答案】A 【解析】令y＝0，则x2﹣3x﹣1＝0，∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝9+4＝13＞0，∴方程x2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴二次函数y＝x2﹣3x﹣1的图象与x轴有两个交点. 5.（2026•蓝田县模拟）已知二次函数y＝﹣ax2+2ax+5（a≠0）的图象不经过第三象限，则下列关于该函数的说法正确的是（　　） A．图象开口向下 B．x＞0时，y随x的增大而减小 C．图象与x轴的交点分别位于原点的两侧 D．当x＝3时，y＞0 【答案】D 【解析】∵二次函数y＝﹣ax2+2ax+5（a≠0）的图象不经过第三象限，∴抛物线开口向上，故A不正确，不符合题意；∵抛物线的对称轴为直线x1，∴x＞1时，y随x的增大而增大，故B不正确，不符合题意；∵抛物线y＝﹣ax2+2ax+5与y轴的交点为（0，5），∴图象与x轴的交点位于原点的右侧，故C不正确，不符合题意；∵抛物线开口向上，∴﹣a＞0，∴x＝3时，y＝﹣9a+6a+5＝﹣3a+5＞0，故D正确，符合题意. 6.（2026•花都区二模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+2（a＞0）的图象如图所示，图象与x轴交点的横坐标从左到右依次为x1，x2，如果x＝m时，y＜0，则当x＝m﹣2时，函数值（　　） A．y＝2 B．y＜2 C．y＞2 D．0＜y＜2 【答案】C 【解析】∵y＝ax2﹣2ax+2（a＞0），∴抛物线开口向上，对称轴为直线x1，与y轴的交点为（0，2），把x＝m代入y＝ax2﹣2ax+2（a＞0）中，得，y＝am2﹣2am+2＝am（m﹣2）+2，∵x＝m时，y＜0，∴am（m﹣2）+2＜0．∴am（m﹣2）＜0，∵a＞0，∴m（m﹣2）＜0．∴m＞0且m﹣2＜0．又由图象可知，x＜1时，y随x增大而减少，∵x＝0时，y＝2，∴x＝m﹣2时，y＞2. 7.（2026•高要区二模）已知二次函数y＝x2﹣2x+1，下列说法错误的是（　　） A．顶点坐标为（1，0） B．对称轴为直线x＝1 C．函数图象与x轴有2个交点 D．当x＜1时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，0），故选项A和B正确；∵a＝1＞0，抛物线开口向上，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项D正确；令y＝0，得（x﹣1）2＝0，∴x1＝x2＝1，∴图象与x轴有1个交点，故选项C错误. 8.（2026•神木市一模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣ax2﹣4ax﹣4a+3（a为常数，且a≠0）的图象与y轴的交点在x轴下方，则该二次函数有（　　） A．最大值﹣3 B．最小值﹣3 C．最大值3 D．最小值3 【答案】C 【解析】当x＝0时，y＝﹣4a+3，这是抛物线与y轴的交点，∵交点在x轴下方，∴﹣4a+3＜0，∴a，二次项系数为﹣a，由a0，可知﹣a＜0，∴抛物线开口向下，函数有最大值，无最小值，对原函数配方：y＝﹣ax2﹣4ax﹣4a+3，＝﹣a（x+2）2+3，抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），∵抛物线开口向下，∴顶点是最高点，函数的最大值为3，综上，该二次函数有最大值3. 9．（2026•陕西模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣4ax+4a﹣4（a为常数，且a≠0）的图象与x轴有两个交点，则下列关于该函数的结论正确的是（　　） A．图象开口向下 B．当x＝2时，y＝4 C．当﹣1＜x＜3时，函数的最大值为﹣4 D．当x＞3时，y的值随x值的增大而增大 【答案】D 【解析】由题意可得：判别式Δ＝（﹣4a）2﹣4a（4a﹣4）＝16a＞0，∴a＞0，图象开口向上，故A错误．将二次函数配方得：y＝ax2﹣4ax+4a﹣4＝a（x﹣2）2﹣4，可得对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣4），当x＝2时，y＝﹣4，故B错误．∵a＞0，开口向上，顶点（2，﹣4）在区间﹣1＜x＜3内，∴函数在﹣1＜x＜3内的最小值为﹣4，最大值大于﹣4，故C错误．∵对称轴为x＝2，a＞0，∴当x＞2时，y随x的增大而增大，∵3＞2，∴当x＞3时，y随x值的增大而增大，故D正确． 10．（2026•栖霞区校级三模）若二次函数y＝（x+m）2+m（m为常数）的图象与x轴有两个不同的交点，则该函数图象的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】由题意，∵二次函数y＝（x+m）2+m的图象与x轴有两个不同的交点，∴一元二次方程（x+m）2+m＝0有两个不相等的实数根，∴x2+2mx+m2+m＝0有两个不相等的实数根．∴Δ＞0，即（2m）2﹣4×（m2+m）＞0，∴m＜0．∴﹣m＞0，∴顶点（﹣m，m）在第四象限． ( 题型0 2 )根据二次函数图像确定相应方程根的情况 11.（2026•霸州市模拟）已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象如图所示，下列说法错误的是（　　） A．一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根 B．m＞1 C．抛物线的对称轴为直线x＝1 D．抛物线与直线y＝m只有一个交点 【答案】D 【解析】由图象可知，二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴没有交点，∴一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＜0，∴m＞1．故A，B选项正确，不符合题意；抛物线的对称轴为直线x1，故C选项正确，不符合题意；由题意可知，抛物线与直线y＝m有两个交点，故D选项不正确，符合题意． 12.（2026•保定三模）已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a＞0，b＜0）有两个不相等的实数根，则抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a＞0，b＜0）有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0， 即b2＞4ac，∵顶点的横坐标为，纵坐标为，a＞0，b＜0，∴0，0， ∴抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在第四象限. 13.（2026•绵阳二模）若抛物线y＝x2﹣3x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵抛物线y＝x2﹣3x+m与x轴没有交点，∴一元二次方程x2﹣3x+m＝0没有实数根，根据一元二次方程根的判别式性质，得Δ＝b2﹣4ac＜0，即（﹣3）2﹣4×1×m＜0，解得． ( 题型0 3 )图像法求一元二次方程的近似根 14.（2026•邗江区校级模拟）已知点A（0，0.3），，C（2，0.3）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则方程ax2+bx﹣0.7＝0的解为（　　） A．x1，x2 B．x1，x2 C．x1＝2，x2 D．x1，x2 【答案】D 【解析】已知点A（0，0.3），，C（2，0.3）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，c＝0.3，二次函数解析式为y＝ax2+bx+0.3，∵A（0，0.3），C（2，0.3）纵坐标相等，∴二次函数的对称轴为直线，方程ax2+bx﹣0.7＝0变形得ax2+bx+0.3＝1，即求二次函数y＝1时x的值，∵点在二次函数图象上，∴是方程ax2+bx﹣0.7＝0的一个解， 设方程的另一个解为m，由对称性得，解得，∴方程ax2+bx﹣0.7＝0的解为，． 15．（2026•项城市校级模拟）下列表格中是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数y的一些对应值，可以判断一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似根是（　　） x 6.7 6.8 6.9 7.0 y＝ax2+bx+c ﹣0.3 ﹣0.1 0.2 0.6 A．6.7 B．6.8 C．6.9 D．7.0 【答案】B 【解析】观察表格：当x＝6.8时，y＝﹣0.1，最接近0；当x＝6.9 时，y＝0.2，距离0比﹣0.1更远；又∵y在x＝6.8到x＝6.9之间由负变正，说明y＝0的根在6.8和6.9之间，∴x＝6.8对应的函数值更接近0，∴一元二次方程的一个近似根是6.8． 16．（2025秋•高平市期末）设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），下表列出了x与y的6对对应值： x ﹣1 0 1 2 3 4 y ﹣7 ﹣5 ﹣1 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解的大致范围是（　　） A．﹣7＜x＜﹣5 B．1＜x＜2 C．﹣5＜x＜﹣1 D．﹣1＜x＜0 【答案】B 【解析】根据二次函数图象的连续性可知当x＝1时，y＝﹣1＜0；当x＝2时，y＝5＞0； 又∵二次函数的图象是连续的抛物线；∴在1＜x＜2的区间内，存在x使得y＝0，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解的大致范围是1＜x＜2． 17.（2025秋•上城区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的自变量与函数的部分对应值表如下，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根的取值范围为（　　） x 2.01 2.02 2.03 2.04 y ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.06 A．2.01＜x＜2.02 B．2.02＜x＜2.03 C．2.03＜x＜2.04 D．x＞2.04 【答案】B 【解析】观察表格可知：当x＝2.02时，y＝﹣0.01；当x＝2.03时，y＝0.02，∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是2.02＜x＜2.03． 18．（2025秋•呈贡区期末）二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值列表如下： x … 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 … y … ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 … 则一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根的取值范围是（　　） A．1.3＜x＜1.4 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.4＜x＜1.5 【答案】C 【解析】通过观察函数值符号变化，确定方程根所在区间可知：当 x＝1.2 时，y＝﹣0.49＜0；当 x＝1.3时，y＝0.04＞0；∴在x＝1.2到x＝1.3之间函数值由负变正，故方程的一个根在 1.2＜x＜1.3范围内． 19．（2025秋•贵州期末）二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程ax2﹣2ax+c＝0的较大的根的取值范围是（　　） A．0.4＜x＜0.5 B．0.5＜x＜0.6 C．2.4＜x＜2.5 D．2.5＜x＜2.6 【答案】C 【解析】由题知，因为二次函数解析式为y＝ax2﹣2ax+c，所以抛物线的解析式为直线x．因为抛物线与x轴的一个交点坐标在﹣0.5和﹣0.4之间，则2﹣（﹣0.5）＝2.5，2﹣（﹣0.4）＝2.4，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标在2.4和2.5之间，所以关于x的方程ax2﹣2ax+c＝0的较大的根的取值范围是2.4＜x＜2.5． 20．（2025秋•南海区期末）观察下列表格，可得出一元二次方程x2+12x﹣15＝0的一个近似解是（　　） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 x2+12x﹣15 ﹣0.59 0.84 2.29 3.76 5.25 A．1.1＜x＜1.2 B．1.2＜x＜1.3 C．1.3＜x＜1.4 D．1.4＜x＜1.5 【答案】A 【解析】由表可以看出，当x取1.1与1.2之间的某个数时，y＝0，即这个数是x2+12x﹣15＝0的一个根．x2+12x﹣15＝0的一个解x的取值范围为1.1＜x＜1.2． 21．（2025秋•潮安区期末）如图，点A（2.26，﹣0.32），B（2.56，0.41）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则方程ax2+bx+c＝0的一个根的近似值可能是（　　） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 【答案】C 【解析】由题意可得：当x＝2.26时，y＝﹣0.32，当x＝2.56时，y＝0.41，∴当y＝0时，2.26＜x＜2.56，∴选项C符合， 22．（2025秋•莲湖区期末）小强利用二次函数图象估计一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的近似解，下表是小强探究过程中的一些数据，根据表中数据可得，方程必有一个实数根在（　　） x 1.5 2 2.5 3 3.5 y＝x2﹣2x﹣2 ﹣2.75 ﹣2 ﹣0.75 1 3.25 A．1.5和2之间 B．2和2.5之间 C．2.5和3之间 D．3和3.5之间 【答案】C 【解析】根据表格得，当2.5＜x＜3时，﹣0.75＜y＜1，则方程x2﹣2x﹣2＝0必有一个实数根在2.5和3之间． 23．（2025秋•惠城区期末）观察下列表格，则一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个近似解a所在的范围是（　　） x 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 x2﹣x ﹣0.24 ﹣0.09 0.24 0.75 1.44 2.3 A．0.9＜a＜1.2 B．1.2＜a＜1.5 C．1.5＜a＜1.8 D．1.8＜a＜2.1 【答案】C 【解析】因为x＝1.5时，x2﹣x＝0.75，x＝1.8时，x2﹣x＝1.44，所以1.5＜a＜1.8． 24．（2025秋•靖边县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表所示，方程ax2+bx+c＝0的一个根的近似值可能是（　　） x … 1.2 1.3 1.4 1.5 … y … ﹣1 ﹣0.48 0.05 0.65 … A．1.12 B．1.26 C．1.38 D．1.45 【答案】C 【解析】∵x＝1.3时，y＝﹣0.48；x＝1.4时，y＝0.05；∴抛物线与x轴的一个交点在1.3和1.4点之间，∴方程有一个根在1.3和1.4点之间． ( 题型0 4 )利用不等式求自变量或函数值的范围 25．（2026•莘县校级一模）如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y1＞y2；⑥a+b＞m（am+b）（m实数）．其中正确的是（　　） A．①③⑥ B．①④⑤ C．①③⑤ D．②④⑥ 【答案】C 【解析】①由抛物线对称轴为直线x，从而b＝﹣2a，则2a+b＝0，故①正确； ②抛物线开口向下，与y轴相交于正半轴，则a＜0，c＞0，而b＝﹣2a＞0，因而abc＜0，故②错误；③方程ax2+bx+c＝3从函数角度可以看作是y＝ax2+bx+c与直线y＝3求交点，从图象可以知道，抛物线顶点为（1，3），则抛物线与直线有且只有一个交点，故方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，故③正确；④由抛物线对称性，与x轴的一个交点B（4，0），则另一个交点坐标为（﹣2，0），故④错误；⑤由图象可知，当1＜x＜4时，y1＞y2，故⑤正确；⑥因为x＝1时，y1有最大值，所以a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥m（am+b）（m实数），故⑥错误. 26．（2026•成武县三模）小张用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象时，部分列表如表： x … ﹣1 0 1 2 … y … t 3 4 3 … 依据以上信息，判断以下结论中错误的是（　　） A．图象顶点在第一象限 B．﹣1和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两根 C．若ax2+bx+c＜2x+p恒成立，则p≥3 D．点M（m，n）在该图象上，若0＜m＜4，则﹣5＜n≤4 【答案】C 【解析】解：把点（0，3），（1，4），（2，3）代入y＝ax2+bx+c得：，解得：， ∴该函数解析式为y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该函数图象的顶点坐标为（1，4），在第一象限，故A选项正确，不符合题意；∴该函数图象的对称轴为直线x＝1， ∴点（﹣1，0）和（3，0）关于对称轴对称，∴﹣1和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两根，故B选项正确，不符合题意；当ax2+bx+c＜2x+p时，∴﹣x2+3＜p，∵﹣x2+3的最大值为3，∵ax2+bx+c＜2x+p恒成立，∴p＞3，故C选项错误，符合题意；∵该函数图象开口向上，且顶点坐标为（1，4），∴该函数的最大值为4，且当x＜1时，y随x的增大而增大，当x≥1时，y随x的增大而减小，∵1﹣0＜4﹣1，当m＝4时，y＝﹣（4﹣1）2+4＝﹣5，∴点M（m，n）在该图象上，若0＜m＜4，则﹣5＜n≤4，故D选项正确，不符合题意. ( 题型0 5 )根据交点确定不等式的解集 27．（2026春•沙坪坝区校级期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与直线y＝mx+n（m≠0）有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于x的不等式ax2+（b﹣m）x+c﹣n≥0的解集为　1≤x≤3　 ． 【答案】1≤x≤3． 【解析】由题意，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝mx+n（m≠0）交点的横坐标分别为1、3，∴当ax2+bx+c≥mx+n时，1≤x≤3，即不等式ax2+（b﹣m）x+c﹣n≥0的解集为1≤x≤3． 28．（2026•旌阳区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论： ①abc＞0； ②3a+c＜0； ③a+b≤am2+bm（实数m≠1）； ④若方程ax2+bx+c＝n有一根为﹣2，则不等式ax2+bx+c＜n的解集是﹣2＜x＜4； ⑤若bx1bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2． 其中结论错误的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴是直线x＝1，∴a＞0，c＜0，，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，故①结论正确，该选项不符合题意；根据图示可得，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，∴a﹣（﹣2a）+c＞0，即3a+c＞0，故②结论错误，该选项符合题意；∵二次函数图象开口向上，对称轴直线为x＝1，∴当x＝1时，二次函数有最小值，最小值为y＝a+b+c，∴实数m（m≠1）时，a+b+c＜am2+bm+c，故③结论错误，该选项符合题意；由二次函数图示可得，x＝﹣2时，二次函数y＝ax2+bx+c＞0，∵对称轴直线为x＝1，∴当x＝﹣2时的函数值与x＝4时的函数值相等，∴不等式ax2+bx+c＜n 的解集是﹣2＜x＜4，故④结论正确，该选项不符合题意；若，且x1≠x2，∴，a（x1+x2）（x1﹣x2）﹣b（x1﹣x2）＝0，（x1﹣x2）[a（x1+x2）﹣b]＝0， ∵x1≠x2，∴x1﹣x2≠0，∴a（x1+x2）﹣b＝0，∴，故⑤结论正确，该选项不符合题意，综上所述，错误的有②③，共2个. 29．（2026春•镇海区期末）如图，二次函数的图象经过点（0，2），且与正比例函数y2＝kx的图象交于点A（1，1）和点B． （1）求二次函数的解析式和另一交点B的坐标； （2）根据函数图象，直接写出不等式x2+bx＜kx﹣c的解集． 解：（1）二次函数的图象经过点（0，2），且与正比例函数y2＝kx的图象交于点A（1，1）和点B． 将点（0，2），点A（1，1）代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 将点A（1，1）代入y2＝kx得：k＝1， ∴正比例函数的解析式为y2＝x， 令x2﹣2x+2＝x， 解得：x＝1或x＝2， 当x＝1时，y2＝1；当x＝2时，y2＝2； ∵（1，1）为点A的坐标， ∴B的坐标为（2，2）． （2）由（1）可得：x2﹣2x＜x﹣2， ∴x2﹣2x+2＜x，即y1＜y2， ∵y1＜y2，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分， ∴1＜x＜2． 30．（2026•成都校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+x﹣6与x轴交于A（﹣3，0），B两点，下列说法正确的是（　　） A．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1 B．抛物线的顶点坐标为 C．A，B两点之间的距离为5 D．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小 【答案】C 【解析】∵抛物线y＝ax2+x﹣6过点A（﹣3，0），∴0＝9a﹣3﹣6，解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣6，∵，∴对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项错误；令y＝0，则x2+x﹣6＝0，解得x1＝﹣3，x2＝2，∴B（2，0），∴AB＝2﹣（﹣3）＝5，故C选项正确；∵a＝1＞0，对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；∴当x＜0时，在时，y的值随x的增大而减小，在时，随x的增大而增大；故D选项错误. 31．（2025秋•宣城期末）如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①2a+b＝0；②方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在﹣2和﹣1之间；③b﹣a＜2；④方程一定有两个不相等的实数根；其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【解答】解：如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2．则：该函数图象的对称轴是直线x＝1，故， ∴2a+b＝0，故①正确；根据函数图象可知，方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在2和3之间， 根据二次函数的对称性可知，2和0对称，3和﹣1对称，故方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在0和﹣1之间；故②错误；由图象可知，x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，由图象与y轴交点得到c＝2，故a﹣b+2＜0，∴b﹣a＞2；故③错误；抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线有两个交点，故方程一定有两个不相等的实数根；故④正确. 32.（2026•龙海区校级模拟）在平面直角坐标系中，y＝x2﹣2x﹣3的图象交x轴于点A、B（A在B的左侧）若抛物线上有一点P，连接PA，∠PAB＝45°，则PA的长为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】y＝x2﹣2x﹣3的图象交x轴于点A、B（A在B的左侧）若抛物线上有一点P， 对于y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，因式分解得（x+1）（x﹣3）＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∵A在B的左侧，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，OA＝1，分两种情况讨论： ①P在x轴上方，如图，过点B作BD⊥AB交AP于点D，∵∠PAB＝45°，∴DB＝AB＝4， ∴D（3，4），设直线PA的解析式为y＝kx+b，将点A（﹣1，0），D（3，4）代入得，， 解得，∴直线PA的解析式为y＝x+1，联立，整理得x2﹣3x﹣4＝0，解得x1＝﹣1（对应A点，舍去），x2＝4，代入得y＝5，即P（4，5），由勾股定理得；②P在x轴下方，如图，设AP交y轴于点E， ∵∠PAB＝45°，∴OE＝OA＝1，∴E（0，﹣1），设直线PA的解析式为y＝k1x+b1，由题意可得：，解得，∴直线PA的解析式为y＝﹣x﹣1，联立， 整理得x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝﹣1（对应A点，舍去），x2＝2，代入得y＝﹣3，即P（2，﹣3）， 由勾股定理得. 33．（2026•建邺区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0），其中a+b＝﹣1． ①若这个函数的图象经过点（﹣1，0），则函数必有最大值； ②若0＜x＜1时，y随x的增大而减小，则必有a＞0； ③若这个函数的图象经过点（4，1），则不等式ax2+bx＞0的解集为x＜0或x＞4； ④若方程ax2+bx+1＝0（a≠0）有一根为x1，且﹣2＜x1＜﹣1，则必有a＞b． 上述四个结论中：所有正确的个数（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】由题意，∵a+b＝﹣1，∴b＝﹣1﹣a．把b＝﹣1﹣a代入y＝ax2+bx+1，∴y＝ax2﹣（a+1）x+1．又∵图象过点（﹣1，0），∴a•（﹣1）2﹣（a+1）•（﹣1）+1＝0，则a+a+1+1＝0．∴a＝﹣1＜0．∴二次函数图象开口向下，必有最大值，故①正确；∵二次函数为y＝ax2﹣（a+1）x+1，∴对称轴是直线x，又∵当0＜x＜1时，y随x增大而减小，∴分两种情况讨论：当a＞0时，∵0＜x＜1时，y随x的增大而减小，∴对称轴直线x，∴0＜a≤1；当a＜0时，∵0＜x＜1时，y随x的增大而减小，∴对称轴是直线x0，∴a≥﹣1．∵a＜0，∴﹣1≤a＜0．综上，﹣1≤a＜0或0＜a≤1，故②错误；由题意，∵函数图象过点（4，1），∴16a﹣4（a+1）+1＝1．∴a，则b＝﹣1，∴不等式ax2+bx＞0化为：x2﹣4x＞0．∴x＜0或x＞4，故③正确；由题意，方程ax2+bx+1＝0可化为ax2﹣（a+1）x+1＝0， ∴（ax﹣1）（x﹣1）＝0．∴x1，x2＝1．又∵一根x1满足﹣2＜x1＜﹣1，即﹣2， ∴a＜0．∴﹣1，∴﹣1＜2a+1＜0．又∵b＝﹣1﹣a，则a﹣b＝a﹣（﹣1﹣a）＝2a+1，∴a﹣b＜0，则a＜b，故④错误． 34．（2026•盘龙区校级模拟）已知抛物线y＝x2+bx+c的最低点的坐标是（﹣2，﹣3），设r是该抛物线与x轴交点的横坐标． （1）求b和c的值； （2）记，是否存在正整数m，使得T为整数，若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 解：（1）∵y＝x2+bx+c的最低点的坐标是（﹣2，﹣3）， ∴顶点坐标为（﹣2，﹣3）， ∴y＝（x+2）2﹣3＝x2+4x+1， ∴b＝4，c＝1； （2）存在正整数m，使得T为整数． ∵r是抛物线与x轴交点的横坐标， ∴r2+4r+1＝0， ∴r2+1＝﹣4r， ∴r4+1＝（r2+1）2﹣2r2＝（﹣4r）2﹣2r2＝16r2﹣2r2＝14r2， ∴， ， ， ∵T为整数，m为正整数， ∴m﹣12＝±2或m﹣12＝±1或m﹣12＝26或m﹣12＝13， ∴m＝14或m＝10或m＝13或m＝11或m＝38或m＝25 35．（2026•丹阳市二模）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B（4，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），点P在抛物线上，连接BC、BP． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点P在第一象限，连接AP交BC于点D．记△DBP的面积为S1，△DCA的面积为S2．当S1＜S2时，则点P的横坐标a的取值范围是　3＜a＜4　 ； （3）如图2，直线OP交抛物线于另一点Q． ①若点P、点Q的横坐标分别是m、n，则mn＝　﹣4　 ； ②连接CP、CQ，记△PCQ的面积为S，求S的最小值． 解：（1）由题意，∵y＝﹣x2+bx+c过B（4，0）、C（0，4）， ∴c＝4且﹣16+4b+4＝0， ∴b＝3． ∴y＝﹣x2+3x+4； （2）由题意，令y＝0，﹣x2+3x+4＝0， ∴（x﹣4）（x+1）＝0， ∴x＝4或x＝﹣1． ∴A（﹣1，0）． 直线BC：B（4，0），C（0，4）， ∴BC为y＝﹣x+4． ∵点P的横坐标为a， ∴P（a，﹣a2+3a+4）（P在第一象限：0＜a＜4）， ∵A（﹣1，0）， ∴S△ABP＝S1+S△ABD，S△ABC＝S2+S△ABD， ∵S1＜S2， ∴S△ABP＜S△ABC， ∵，， ∴5（﹣a2+3a+4）＜10， ∴﹣a（a﹣3）＜0， ∵P在第一象限， ∴a＞0， ∴a﹣3＞0， ∴3＜a＜4． 故答案为：3＜a＜4； （3）①设直线OP：y＝kx，联立方程组， ∴kx＝﹣x2+3x+4，则x2+（k﹣3）x﹣4＝0， ∵m、n是方程两根， ∴由韦达定理：mn＝﹣4． 故答案为：﹣4； ②由题意，∵P（m，﹣m2+3m+4），Q（n，﹣n2+3n+4），mn＝﹣4，C（0，4）， ∴用铅垂面积公式： ∵， ∴当m+n＝0 时，． ∴Smin＝2×4＝8． 答：S的最小值为8． 36．（2026•齐齐哈尔）如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B（m，0）（3＜m＜4）．下列结论：①abc＞0；②3a+c＜0；③b2＝4a（c﹣n）；④若点P（t，y1），Q（3﹣t，y2）（t）都在抛物线y＝ax2+bx+c上，则y1＞y2；⑤若OA＝OB，则关于x的方程ax2+（b+1）x＝0的两根之和为c．其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解析】由二次函数图象可得：∵抛物线开口向下，∴a＜0；顶点坐标为（1，n），则对称轴为直线x＝1，由对称轴公式，整理得b＝﹣2a，结合a＜0，得b＞0；抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0；抛物线与x轴正半轴交点B（m，0）满足3＜m＜4．∵a＜0，b＞0，c＞0， ∴abc＜0，故①错误；根据二次函数轴对称性质：对称轴为x＝1，则y（﹣1）＝y（3）， 将x＝3代入解析式得，y（3）＝9a+3b+c，把b＝﹣2a代入，化简得，y（3）＝9a+3（﹣2a）+c＝3a+c，∵3＜m＜4，说明直线x＝3在交点B左侧，此位置抛物线图象在x轴上方，∴y（3）＞0，即3a+c＞0，故②错误；∵顶点坐标为（1，n），∴，∴4an＝4ac﹣b2，b2＝4ac﹣4an＝4a（c﹣n），故③正确；抛物线开口向下，点到对称轴越近，函数值越大．点P到对称轴x＝1的距离：|t﹣1|，点Q到对称轴x＝1的距离：|（3﹣t）﹣1|＝|2﹣t|，平方作差比较距离大小：|t﹣12|﹣|2﹣t|2＝（t2﹣2t+1）﹣（t2﹣4t+4）＝2t﹣3，∵，∴2t﹣3＜0，即|t﹣1|2＜|2﹣t|2，得|t﹣1|＜|2﹣t|，∴点P离对称轴更近，y1＞y2，故④正确；由A（0，c）得OA＝c，由B（m，0）得OB＝m，∵OA＝OB，∴m＝c，即B（c，0），将B（c，0）代入抛物线解析式：ac2+bc+c＝0，∵c≠0，∴ac+b+1＝0，b+1＝﹣ac，设一元二次方程ax2+（b+1）x＝0的两根为x1，x2，由韦达定理可得：，将b+1＝﹣ac代入得：，故⑤正确；综上所述正确结论一共有3个. 37．（2026•静安区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），点D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交于点C（5，6）． （1）求抛物线的解析式，并求出D点坐标； （2）若在x轴上有一点P，使得△ACP的三条高所在直线交于三角形外一点，设点P的横坐标为m，求m的取值范围； （3）若直角坐标平面中的点E和点A、C、D构成直角梯形，且面积为13.2，直接写出点E的坐标． 解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）， 把点C（5，6）的坐标代入解析式， 可得：a（5+1）×（5﹣3）＝6， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 整理得：； 把整理成顶点坐标式， 可得：， ∴抛物线的顶点D坐标为（1，﹣2）； （2）∵△ACP的三条高所在直线交于三角形外一点， ∴△ACP是钝角三角形， 如下图所示，当点P在点A的左侧时， 即m＜﹣1时，△APC是钝角三角形， ∴△ACP的三条高所在直线交于三角形外一点； 如下图所示，过点C作CM⊥x轴， ∵点C的坐标是（5，6）， ∴点M的坐标为（5，0）， 当点P在点A右侧，点M左侧时， 即﹣1＜m＜5时，△ACP是钝角三角形， ∴△ACP的三条高所在直线交于三角形外一点； 如下图所示，过点C作CN⊥AC交x轴于点N，作CM⊥x轴于点M， 则∠ACN＝∠CMN＝90°， 又∵∠ANC＝∠CNM， ∴△CMN∽△ACN， ∴， 由点A（﹣1，0）和点C（5，6）可知点M的坐标为（5，0）， ∴AM＝5﹣（﹣1）＝6，CM＝6，AN＝MN+AM＝MN+6， ∴， ∴， 解得：MN＝6， ∴ON＝OM+MN＝5+6＝11， ∴点N的坐标为（11，0）， 当点P在点N右侧， 即m＞11时，△ACP是钝角三角形， ∴△ACP的三条高所在直线交于三角形外一点； 综上所述，当△ACP的三条高所在直线交于三角形外一点时，m的取值范围为m＜﹣1或﹣1＜m＜5或m＞11； （3）解：由点A（﹣1，0）、点C（5，6）、点D（1，﹣2）的坐标， 可知AC2＝（5+1）2+（5+1）2＝72，AD2＝（1+1）2+（﹣2﹣0）2＝8，CD2＝（5﹣1）2+（6+2）2＝80， ∵72+8＝80， ∴AC2+AD2＝CD2， ∴△ACD是直角三角形，∠CAD＝90°，且，； 当ED⊥AD时，如下图所示， ∵梯形的面积为13.2， ∴， 整理可得：， 解得：， 设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 可得：， 解得：， 则直线AC的解析式为y＝x+1， ∵AC⊥AD，DE⊥AD， ∴AC∥DE， 设直线DE的解析式为y＝x+d， 把点D的坐标（1，﹣2）代入y＝x+d， 可得：1+d＝﹣2， 解得：d＝﹣3， ∴直线DE的解析式为y＝x﹣3， 设点E的坐标为（x，x﹣3）， ∵， ∴， 解得：，（不符合条件，舍去）， ∴， ∴点E的坐标为； 当CE⊥AC时，如下图所示， ∵梯形的面积为13.2， ∴， 解得：， 设直线AD的解析式为y＝k1x+b1（k1≠0）， 把点A（﹣1，0）和点D（1，﹣2）的坐标代入y＝k1x+b1（k1≠0）， 可得：， 解得：， ∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣1， 设直线CE的解析式为y＝﹣x+d1， 把点C（5，6）的坐标代入y＝﹣x+d1， 可得：﹣5+d1＝6， 解得：d1＝11， ∴直线CE的解析式为y＝﹣x+11， 设点E的坐标为（x，﹣x+11）， ∵， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴点E的坐标为． 综上所述，点E的坐标为或． 38.（2026•内蒙古）二次函数y＝x2﹣9的图象与x轴交于A，B两点，则线段AB的长是（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【解析】∵二次函数图象与x轴交点的纵坐标为0，∴令y＝0，得方程x2﹣9＝0，解得x1＝3，x2＝﹣3，∴A，B两点的坐标为 （﹣3，0）和 （3，0），∴线段AB的长为3﹣（﹣3）＝6， 39．（2026•江西）如图，观察函数y＝x2+3x﹣3的图象，可以发现方程x2+3x﹣3＝0在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当x＝0.5时，y＜0，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程x2+3x﹣3＝0另一根更接近的是（　　） A．﹣4.5 B．﹣4 C．﹣3.5 D．﹣3 【答案】C 【解析】∵抛物线y＝x2+3x﹣3的对称轴为x1.5，已知根0.5＜x1＜0.75，由对称性得另一根﹣1.5×2﹣0.75＜x2＜﹣1.5×2﹣0.5，即﹣3.75＜x2＜﹣3.5，∴另一根更接近的是﹣3.5． 40．（2026•烟台）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点A（1，0），与y轴的交点C位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间，顶点为P，对称轴为直线x＝2．下列说法：①abc＜0；②4a+b＝0；③﹣1＜a；④设抛物线与x轴的另一交点为B，当∠CPB＝90°时，a．其中正确的是（　　） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】A 【解析】∵二次函数图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴为直线，∴b＞0， ∵二次函数的图象与y轴的交点C位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间，∴c＜0，∴abc＞0，①错；∵对称轴为直线，∴b＝﹣4a，∴4a+b＝0，②正确；∵二次函数的图象与x轴交于点A（1，0），∴a+b+c＝0，∵b＝﹣4a，∴a﹣4a+c＝0，∴c＝3a，∵二次函数图象与y轴的交点C位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间，∴可得﹣3＜c＝3a＜﹣2，∴，③正确；∵二次函数的图象与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x＝2，∴点B的坐标为（3，0），∵c＝3a，∴点C的坐标为（0，3a），当x＝2，可得y＝4a+2b+c，将c＝3a，b＝﹣4a代入，可得y＝﹣a，∴点P的坐标为 （2，﹣a），∴PC2＝4+16a2，PB2＝1+a2，BC2＝9+9a2，∵∠CPB＝90°，∴PC2+PB2＝BC2，可得4+16a2+1+a2＝9+9a2，解得或，∵a＜0，∴，④正确．④解法二 前面已证c＝3a，设C（0，3a）P（2，﹣a）∵∠CPB＝90°∴CP⊥PB∴直线CP，PB对应一次函数斜率乘积为﹣1， ∴④正确综上，正确的说法为②③④. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.4 二次函数与一元二次方程 ( 题型0 1 )二次函数与坐标轴的交点问题 1.C 2.D 3.A 4.A 5.D 6.C 7.C 8.C 9．D 10．D ( 题型0 2 )根据二次函数图像确定相应方程根的情况 11.D 12.D 13.A ( 题型0 3 )图像法求一元二次方程的近似根 14.D 15．B 16．B 17.B 18．C 19．C 20．A 21．C 22．C 23．C 24．C ( 题型0 4 )利用不等式求自变量或函数值的范围 25．C 26．C ( 题型0 5 )根据交点确定不等式的解集 27．1≤x≤3． 28．B 29．解：（1）二次函数的图象经过点（0，2），且与正比例函数y2＝kx的图象交于点A（1，1）和点B．将点（0，2），点A（1，1）代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 将点A（1，1）代入y2＝kx得：k＝1， ∴正比例函数的解析式为y2＝x， 令x2﹣2x+2＝x， 解得：x＝1或x＝2， 当x＝1时，y2＝1；当x＝2时，y2＝2； ∵（1，1）为点A的坐标， ∴B的坐标为（2，2）． （2）由（1）可得：x2﹣2x＜x﹣2， ∴x2﹣2x+2＜x，即y1＜y2， ∵y1＜y2，在图象上为二次函数图象在正比例函数图象下方的部分， ∴1＜x＜2． 30．C 31．C 32.D 33．B 34．解：（1）∵y＝x2+bx+c的最低点的坐标是（﹣2，﹣3）， ∴顶点坐标为（﹣2，﹣3）， ∴y＝（x+2）2﹣3＝x2+4x+1， ∴b＝4，c＝1； （2）存在正整数m，使得T为整数． ∵r是抛物线与x轴交点的横坐标， ∴r2+4r+1＝0， ∴r2+1＝﹣4r， ∴r4+1＝（r2+1）2﹣2r2＝（﹣4r）2﹣2r2＝16r2﹣2r2＝14r2， ∴， ， ， ∵T为整数，m为正整数， ∴m﹣12＝±2或m﹣12＝±1或m﹣12＝26或m﹣12＝13， ∴m＝14或m＝10或m＝13或m＝11或m＝38或m＝25 35．解：（1）由题意，∵y＝﹣x2+bx+c过B（4，0）、C（0，4）， ∴c＝4且﹣16+4b+4＝0， ∴b＝3． ∴y＝﹣x2+3x+4； （2）由题意，令y＝0，﹣x2+3x+4＝0， ∴（x﹣4）（x+1）＝0， ∴x＝4或x＝﹣1． ∴A（﹣1，0）． 直线BC：B（4，0），C（0，4）， ∴BC为y＝﹣x+4． ∵点P的横坐标为a， ∴P（a，﹣a2+3a+4）（P在第一象限：0＜a＜4）， ∵A（﹣1，0）， ∴S△ABP＝S1+S△ABD，S△ABC＝S2+S△ABD， ∵S1＜S2， ∴S△ABP＜S△ABC， ∵，， ∴5（﹣a2+3a+4）＜10， ∴﹣a（a﹣3）＜0， ∵P在第一象限， ∴a＞0， ∴a﹣3＞0， ∴3＜a＜4． 故答案为：3＜a＜4； （3）①设直线OP：y＝kx，联立方程组， ∴kx＝﹣x2+3x+4，则x2+（k﹣3）x﹣4＝0， ∵m、n是方程两根， ∴由韦达定理：mn＝﹣4． 故答案为：﹣4； ②由题意，∵P（m，﹣m2+3m+4），Q（n，﹣n2+3n+4），mn＝﹣4，C（0，4）， ∴用铅垂面积公式： ∵， ∴当m+n＝0 时，． ∴Smin＝2×4＝8． 答：S的最小值为8． 36．B 37．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0）， 把点C（5，6）的坐标代入解析式， 可得：a（5+1）×（5﹣3）＝6， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 整理得：； 把整理成顶点坐标式， 可得：， ∴抛物线的顶点D坐标为（1，﹣2）； （2）∵△ACP的三条高所在直线交于三角形外一点， ∴△ACP是钝角三角形， 如下图所示，当点P在点A的左侧时， 即m＜﹣1时，△APC是钝角三角形， ∴△ACP的三条高所在直线交于三角形外一点； 如下图所示，过点C作CM⊥x轴， ∵点C的坐标是（5，6）， ∴点M的坐标为（5，0）， 当点P在点A右侧，点M左侧时， 即﹣1＜m＜5时，△ACP是钝角三角形， ∴△ACP的三条高所在直线交于三角形外一点； 如下图所示，过点C作CN⊥AC交x轴于点N，作CM⊥x轴于点M， 则∠ACN＝∠CMN＝90°， 又∵∠ANC＝∠CNM， ∴△CMN∽△ACN， ∴， 由点A（﹣1，0）和点C（5，6）可知点M的坐标为（5，0）， ∴AM＝5﹣（﹣1）＝6，CM＝6，AN＝MN+AM＝MN+6， ∴， ∴， 解得：MN＝6， ∴ON＝OM+MN＝5+6＝11， ∴点N的坐标为（11，0）， 当点P在点N右侧， 即m＞11时，△ACP是钝角三角形， ∴△ACP的三条高所在直线交于三角形外一点； 综上所述，当△ACP的三条高所在直线交于三角形外一点时，m的取值范围为m＜﹣1或﹣1＜m＜5或m＞11； （3）解：由点A（﹣1，0）、点C（5，6）、点D（1，﹣2）的坐标， 可知AC2＝（5+1）2+（5+1）2＝72，AD2＝（1+1）2+（﹣2﹣0）2＝8，CD2＝（5﹣1）2+（6+2）2＝80， ∵72+8＝80， ∴AC2+AD2＝CD2， ∴△ACD是直角三角形，∠CAD＝90°，且，； 当ED⊥AD时，如下图所示， ∵梯形的面积为13.2， ∴， 整理可得：， 解得：， 设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 可得：， 解得：， 则直线AC的解析式为y＝x+1， ∵AC⊥AD，DE⊥AD， ∴AC∥DE， 设直线DE的解析式为y＝x+d， 把点D的坐标（1，﹣2）代入y＝x+d， 可得：1+d＝﹣2， 解得：d＝﹣3， ∴直线DE的解析式为y＝x﹣3， 设点E的坐标为（x，x﹣3）， ∵， ∴， 解得：，（不符合条件，舍去）， ∴， ∴点E的坐标为； 当CE⊥AC时，如下图所示， ∵梯形的面积为13.2， ∴， 解得：， 设直线AD的解析式为y＝k1x+b1（k1≠0）， 把点A（﹣1，0）和点D（1，﹣2）的坐标代入y＝k1x+b1（k1≠0）， 可得：， 解得：， ∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣1， 设直线CE的解析式为y＝﹣x+d1， 把点C（5，6）的坐标代入y＝﹣x+d1， 可得：﹣5+d1＝6， 解得：d1＝11， ∴直线CE的解析式为y＝﹣x+11， 设点E的坐标为（x，﹣x+11）， ∵， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴点E的坐标为． 综上所述，点E的坐标为或． 38.B 39．C 40．A 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $