新定义与创新问题的方法体系（四）函数、集合与逻辑中的新定义专项训练-2027届高三数学一轮复习

新定义与创新问题的方法体系（四） 函数、集合与逻辑中的新定义 · 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　新运算与新映射的读法 本册的新定义大多落在「映射」和「运算」上：给一个函数的规则、给一个数集的封闭性条件、给一套配对方式。读这类题的关键，是把定义翻译成代数式子。 先看定义里有没有「自反」的影子。像 这样的条件，意思是连做两次就回到原处，集合因此被拆成两类对象。 这个条件的含义很好用：每个元素要么满足 （原地不动），要么与固定的另一个元素互换。把这两类对象列清楚，结构就完全明白了。 判断某个 是否原地不动，只要看 是否等于 ；判断 是否互相交换，只要看 且 。这两步都是纯代入，不需要技巧。 当定义里同时出现「配对」与「和」的条件（如 ），就能把配对和数值范围绑在一起：同一对里的两个数必须加起来等于那个定值。这是把抽象的映射变成具体约束的关键一步。 例：友好元素的定义中， 把 分成若干组 ，再加上 、 这样的特殊点；条件「」正是在说 与 必须来自同一组。 再看「封闭性」类的定义。像「 则 」，第一步永远是取最特殊的组合：令两个变元相等，由 得 。 得到 之后就能层层推进：由 、，…… 所有正整数都落在 中；再由取倒数（令 ）得 ，从而 。 判断「某个数一定在 中」时，能推就推，推不出来就举反例。正有理数集满足加法与除法的封闭性，却既不含 也不含 ，是这类题最好用的反例。 使用封闭性条件时别忘了分母不能为 0。取倒数、做除法之前，都要先确认分母不为零，否则推出来的结论可能建立在无效的代入上。 遇到「既有加法又有乘法」的条件时，把乘法写成「除以倒数」是常用的转化，这样一条除法就能走到头，不必额外引入乘法的封闭性。 映射类先拆成互相交换的组与原地不动的点，封闭类先取最特殊的组合，这两条几乎是本册所有题目的开局。 知识点二　递推与可加性 规则以「逐轮变化」的形式给出时，不必把每一步的整表都写出来，先看每一轮「各类量分别变化多少」，再把这些变化加起来。 例：加密算法每一轮让所有奇数项增加同一个数、所有偶数项减少同一个数。所以只要数清奇数项、偶数项各有多少个，整轮和的增量就是一个只含 的式子。 这样 就变成对增量求和，而增量按 的奇偶分成两段，每一段都是等差数列，求和是常规操作。数项数时务必两边都数准，个数差一个结果就差一截。 数列题里出现「前 项和」与「第 项」的等式时，标准做法是再写一遍把 换成 的式子，然后两式相减 ——这一步把和的关系变成项的关系。 相减之后往往得到等比关系。别忘了单独验证 ，因为相减那一步只在 时成立，首项需要靠原式单独求。 期望里的「可加性」和上面是同一件事：随机变量能拆成若干个简单变量之和时，期望就是这些简单期望之和，不必求分布列。 例：纪念章枚数等于参观顺序中相邻两展区奇偶不同的次数，共有 个相邻位置，每个位置的「不同」概率都一样，于是期望就是 乘以那个概率。 计算那个概率用「分步乘法」：先定第一个位置的奇偶（概率 ），再要求第二个位置属于另一种奇偶（概率 ），两个方向相加。 得到分段形式的 之后，证明单调性不必求导，直接比较相邻两项作差、因式分解即可，符号一眼可见。 作差时把两种情形统一写成 的形式，比分别讨论 的奇偶要清爽得多。 排列里的「相邻变化次数」还可以从「块」的角度看：把奇偶相同且相邻的元素看成一块，块与块的交界处就是变化发生的地方，总数正好是块数减一。 逐轮规则看增量、和与项的关系靠作差、期望靠可加性，这三条覆盖了本册一半的题目。 知识点三　恒成立与最值 恒成立问题先看有没有「显然成立的点」。把参数以外的部分代进去试出等号成立的 ，那个点通常就是最值点，能一步定出参数。 例： 在 上恒成立，而 ，所以 一定是最小值点，于是 ，代入即可解出参数。 这只能给出必要条件：取完参数必须回代验证。验证的办法是研究 的符号，看 是否真的在 两侧都不小于其函数值。 验证时把 的零点找出来，确定 的单调性与零点位置，就能排出 的增减顺序。二次型的 在给定区间上一般只有一个零点，排起来很快。 高阶导数的题，先看它的形状会不会稳定。若 ，那么它的任意阶导数仍是同样的形状，求导只改变 与 。 于是设 ，求一次导比较系数，得到 与 的递推，再解出来即可。 例：比较系数得 、，由 得 ，再由累加得 。 因为 恒正，条件 就化成「二次式恒正」。这时先看对称轴在不在区间内：不在区间内，最值就取在端点，只需验证端点值。 二次函数在给定区间上恒正的判断，一定要先定对称轴与区间的位置关系，再决定是比较端点还是比较顶点。本册那道题里对称轴在区间左侧，最小值就在左端点。 「」这类题，先把目标量设成 ，再按「 由哪个量取得」分类讨论，每种情形都给出一个下界，最后取最松的那个。 例：求 的最小值，若最大的是 ，由约束可推出 ；若最大的是 或 ，只能推出大于等于 1。两种下界取较小的那个，再验证能取到。 「存在 使等式成立」的条件，要先把等式解出来，把参数表示成 的函数，问题就变成求这个函数的最值，剩下的只是常规求导。 恒成立卡等号点、高阶导找不变形状、min-max 分情形取最松下界，这三条是处理本册最值类题目的主线。 知识点四　计数与逻辑推理 计数类题的共同技巧是「把不可能取到的数整批排除掉」。做法是给这些数分组，让同一组里的数互相冲突，再看需要排除多少个。 例：从 1 到 49 中取 25 个数，要求任两数之和不是 49 也不是 50。对每个小数 ， 与 都是不能与它同时取的。 设取了 个小数，这些小数要求排除的大数有 个「名额」，而两组数中重合的最多只有 对，所以至少要排除 个大数。实际能排除的只有 个，矛盾，于是 。 这种「要排除的个数与实际能排除的个数对不上」的论证，比逐一列举可靠得多，写起来也短，是覆盖与选取类问题的标准武器。 判别式里出现「要开方成整数」的要求时，先用不等式把范围压出来，再逐个检验范围内可能的平方数取值，不必解二次方程。 例：整数解问题中 把 限制在 15 个取值内，再要求 是完全平方数，符合的只有三组平方数。 逐个检验时列一张小表，把 与 一一对应地写出来，既快又不容易漏。 表里出现完全平方数的那些行就是可行取值。 逻辑推理题不要凭感觉，直接枚举「谁说真话」的几种情形。每种情形都能推出唯一的名次排列，再看哪一种恰好满足「只有一个人说假话」。 枚举时按「某句话为真」逐步锁死：某人说真话就把他的名次固定，再说真话就再固定一个，剩下的位置自然确定，不必逐一试排。 逻辑题常常有一处「分水岭」，例如假设某人说真话会立刻导致所有人说真话而矛盾，那就可以直接排除掉一整支情形，枚举量减半。 排完后一定要把结论回代原句逐句检验，确认真话与假话的个数正好符合题目条件，这一步能抓出「解出排列但条件不满足」的情形。 计数靠分组排除、方程靠压缩范围、逻辑靠枚举假设并回代，这三类题都不需要灵感，按流程走就能出结果。 二、方法突破 方法一　函数、集合与逻辑中的新定义 这一册把前三册没覆盖的新定义收在一起：一个映射规则、一个数集的封闭性条件、一条存在性的性质、一套推理条件。它们看起来杂，但拆解的开局都很固定。 ★ 遇到映射定义先找「自反」的影子。 说明连做两次就回到原处，集合随即被拆成「互相交换的一对」与「原地不动的点」两类，结构一目了然。 ★ 这个拆法再配上「和等于定值」的条件，配对就成了硬约束：同一组里的两个数必须加起来等于那个定值。抽象的映射条件就这样变成了具体的数值限制。 ★ 封闭性定义先取最特殊的组合。令两个变元相等，可以逼出 ，再由加法封闭推出所有正整数都在 里，由取倒数封闭推出乘法的封闭性。 逐轮给出的规则，先算每一轮「各类量分别变化多少」，再把增量求和，不必写出每一步的整表。数项数时两边都要数准。 ★ 和与项的关系靠作差：把 换成 再相减，等比关系就出来了。注意 要单独验证，因为相减只在 时成立。 ★ 期望优先用可加性。能拆成若干个简单变量之和的随机变量，期望就是这些简单期望之和，不必求分布列。相邻变化次数、取对人数这类量都吃这一套。 恒成立问题先卡等号点：找到使等号成立的 ，它通常就是最值点，由导数在此处为零一步定出参数。但取完参数必须回代验证。 高阶导数先看形状是否稳定。若 是「二次式乘 」的形状，各阶导数仍是这个形状，设成同形的待定多项式比较系数即可。 计数题把不能同取的对象分组，用「需要排除的个数与实际能排除的个数对不上」来整批排除；出现在判别式里的开方要求，先用不等式压缩范围再逐个检验。 逻辑推理用枚举加回代：假设谁说真话，逐步锁死名次，最后逐句核对真话与假话的个数是否与题目相符。 ★ 做完自查：定义里的每个条件都用上了吗？存在性条件对 的范围有没有额外限制？计数时是否漏掉边界值或重复计了？最后的结论回代定义检验过吗？ 例题 例 1-1 【解答】在军事信息传输过程中，为了确保信息安全，常常需要对密钥进行复杂的生成和更新操作．为生成密钥序列A，现定义一个简单的加密算法，它的作用是在第 轮对密钥片段进行一次变换．具体变换规则如下：若k为奇数，则将在第k轮变换中让序列 的奇数项的值增加1，偶数项的值减少k；若k为偶数，则将在第k轮变换中让序列 的奇数项的值增加2k，偶数项的值减少2．若初始密钥序列 ，则加密序列的所有项之和为 ．已知数列的前n项和为 且满足 = （1）写出，并求出 ；（2）求 ；（3）证明：. 【解析】 第 1 步　先数清奇偶项的个数 ◈ 整个序列有 9 项，奇数项 5 个、偶数项 4 个，每一轮和的增量只与这个个数有关，不必逐项跟踪。 第 2 步　期望先用可加性拆开 ◈ 由 给出，做差即得 ，是标准的等比数列。 第 3 步　放缩到「恰好等于 102」的级数 ◈ 是最自然的放缩；配上 后正好凑成 ，而这个级数的和恰为 102，所以严格小于 102。 答　(1) ，；(2) 当 为奇数时 ，当 为偶数时 ；(3) 证明见解析 例 1-2 【解答】某校举办“数学文化节”，设有个不同主题的展区（），每个展区有唯一的主题编号，分别为1，2，…，.游客从任一展区开始参观打卡，打卡机每次会从尚未参观过的展区中，等可能地随机选择一个作为下一个参观的展区.规定：若连续参观的两个展区主题编号之和为奇数，则参观者获得一枚纪念章，否则不获得纪念章，记参观者参观完所有展区获得的纪念章枚数为.（1）当时，求参观者仅获得1枚纪念章的概率；（2）当时，求参观者获得纪念章枚数的分布列和数学期望；（3）设为个展区时参观者获得纪念章枚数的期望值，求关于的表达式，并证明是递增数列. 【解析】 第 1 步　把「和为奇数」翻译成「一奇一偶」 ◈ 奇偶性之和只看奇偶，这一步把「编号之和为奇数」变成「相邻两展区奇偶不同」，问题立刻变成排列中相邻奇偶的变化次数。 第 2 步　枚数与排列的对应 ◈ 参观顺序等可能，所以 就是随机排列中相邻两项奇偶不同的次数； 时按奇偶排布分类计数最快。 第 3 步　期望用「相邻对的概率之和」 ◈ 是 个 0-1 变量之和，每个位置的取值概率相同， 就是 乘以相邻不同的概率 。 答　(1) ；(2) 分布列见解析，；(3) 当 为偶数时 ，当 为奇数时 ，证明见解析 例 1-3 【解答】已知函数在处的切线与直线垂直.（1）求函数的单调区间；（2）若对任意恒成立，求实数的值；（3）对于函数，规定：，叫做函数的阶导数.若对任意恒成立，求满足条件的正整数的最小值. 【解析】 第 1 步　切线垂直先定参数 ◈ 与 垂直意味着切线斜率为 ，由 得 ，后面两问都建立在这一点上。 第 2 步　恒成立先卡住等号点 ◈ 说明 是 的最小值点，于是 一步定出 ；这是「端点效应」的标准用法，取完还要回代验证。 第 3 步　把 阶导数写成待定多项式 ◈ 求导后仍是这个形状，比较系数就得 、，把高阶导数问题降成二次函数在区间上恒正。 答　(1) 递增区间为 、，递减区间为 ；(2) ；(3) 例 1-4 【解答】集合，，对T中的两个不同元素和，若存在一个函数f：满足：①，②，③，则称：X与Y是T中的一对“友好元素”．（1）当时，若，写出X对应的一个“友好元素”；（2）若和是T中的一对“友好元素”，且满足 ，规定：随机变量服从分布，当时，试写出的分布列及其对应的一对“友好元素”X与Y；（3）当时，若且满足，证明：若存在B使得A与B是T中的一对“友好元素”，则A中有且仅有个0． 【解析】 第 1 步　把对合条件翻译成「配对」 ◈ 说明 把 拆成若干对 （ 互换二者）加上若干个不动点，条件③则要求同一对里的两数之和为 。 第 2 步　中间项被强制配对 ◈ 只要 ，条件③就只有 一种可能，于是所有中间项都被绑定成 的配对。 第 3 步　用两处计数把 逼到 1 ◈ 时 只剩 0 与 ，再由 推出 ，与「两个不同元素」矛盾；排除后只剩 ，两式联立即得 。 答　(1) （答案不唯一）；(2) 分布列见解析，，；(3) 证明见解析 练习 1-1. 【多选】已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（ ）. A. . B. . C. 若，则. D. 若，则. 1-2. 【填空】以表示数集中最大（小）的数.设，已知，则 = __________. 1-3. 【单选】在一次游泳比赛结束后，甲、乙、丙、丁进入前4名，且这4人无并列名次．赛完他们出场后，场外一个未看到比赛结果的游泳爱好者跟他们了解比赛结果：甲说：我是第四名乙说：我不是第二名或第四名丙说：我排在乙前面丁说：我是第一名他们4人中只有一个人说的是假话，下列正确的是（ ） A. 丙是第一名 B. 乙是第二名 C. 甲是第三名 D. 丁是第四名 1-4. 【填空】给出如下定义：函数的定义域为，若，使得，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则实数的最小值为________． 1-5. 【填空】从这49个数中取25个数，使得任意两个数之和既不等于49也不等于50，则这25个数字之和为__________. 1-6. 【填空】方程的整数解的组数为___________． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新定义与创新问题的方法体系（四） 函数、集合与逻辑中的新定义 · 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　新运算与新映射的读法 本册的新定义大多落在「映射」和「运算」上：给一个函数的规则、给一个数集的封闭性条件、给一套配对方式。读这类题的关键，是把定义翻译成代数式子。 先看定义里有没有「自反」的影子。像 这样的条件，意思是连做两次就回到原处，集合因此被拆成两类对象。 这个条件的含义很好用：每个元素要么满足 （原地不动），要么与固定的另一个元素互换。把这两类对象列清楚，结构就完全明白了。 判断某个 是否原地不动，只要看 是否等于 ；判断 是否互相交换，只要看 且 。这两步都是纯代入，不需要技巧。 当定义里同时出现「配对」与「和」的条件（如 ），就能把配对和数值范围绑在一起：同一对里的两个数必须加起来等于那个定值。这是把抽象的映射变成具体约束的关键一步。 例：友好元素的定义中， 把 分成若干组 ，再加上 、 这样的特殊点；条件「」正是在说 与 必须来自同一组。 再看「封闭性」类的定义。像「 则 」，第一步永远是取最特殊的组合：令两个变元相等，由 得 。 得到 之后就能层层推进：由 、，…… 所有正整数都落在 中；再由取倒数（令 ）得 ，从而 。 判断「某个数一定在 中」时，能推就推，推不出来就举反例。正有理数集满足加法与除法的封闭性，却既不含 也不含 ，是这类题最好用的反例。 使用封闭性条件时别忘了分母不能为 0。取倒数、做除法之前，都要先确认分母不为零，否则推出来的结论可能建立在无效的代入上。 遇到「既有加法又有乘法」的条件时，把乘法写成「除以倒数」是常用的转化，这样一条除法就能走到头，不必额外引入乘法的封闭性。 映射类先拆成互相交换的组与原地不动的点，封闭类先取最特殊的组合，这两条几乎是本册所有题目的开局。 知识点二　递推与可加性 规则以「逐轮变化」的形式给出时，不必把每一步的整表都写出来，先看每一轮「各类量分别变化多少」，再把这些变化加起来。 例：加密算法每一轮让所有奇数项增加同一个数、所有偶数项减少同一个数。所以只要数清奇数项、偶数项各有多少个，整轮和的增量就是一个只含 的式子。 这样 就变成对增量求和，而增量按 的奇偶分成两段，每一段都是等差数列，求和是常规操作。数项数时务必两边都数准，个数差一个结果就差一截。 数列题里出现「前 项和」与「第 项」的等式时，标准做法是再写一遍把 换成 的式子，然后两式相减 ——这一步把和的关系变成项的关系。 相减之后往往得到等比关系。别忘了单独验证 ，因为相减那一步只在 时成立，首项需要靠原式单独求。 期望里的「可加性」和上面是同一件事：随机变量能拆成若干个简单变量之和时，期望就是这些简单期望之和，不必求分布列。 例：纪念章枚数等于参观顺序中相邻两展区奇偶不同的次数，共有 个相邻位置，每个位置的「不同」概率都一样，于是期望就是 乘以那个概率。 计算那个概率用「分步乘法」：先定第一个位置的奇偶（概率 ），再要求第二个位置属于另一种奇偶（概率 ），两个方向相加。 得到分段形式的 之后，证明单调性不必求导，直接比较相邻两项作差、因式分解即可，符号一眼可见。 作差时把两种情形统一写成 的形式，比分别讨论 的奇偶要清爽得多。 排列里的「相邻变化次数」还可以从「块」的角度看：把奇偶相同且相邻的元素看成一块，块与块的交界处就是变化发生的地方，总数正好是块数减一。 逐轮规则看增量、和与项的关系靠作差、期望靠可加性，这三条覆盖了本册一半的题目。 知识点三　恒成立与最值 恒成立问题先看有没有「显然成立的点」。把参数以外的部分代进去试出等号成立的 ，那个点通常就是最值点，能一步定出参数。 例： 在 上恒成立，而 ，所以 一定是最小值点，于是 ，代入即可解出参数。 这只能给出必要条件：取完参数必须回代验证。验证的办法是研究 的符号，看 是否真的在 两侧都不小于其函数值。 验证时把 的零点找出来，确定 的单调性与零点位置，就能排出 的增减顺序。二次型的 在给定区间上一般只有一个零点，排起来很快。 高阶导数的题，先看它的形状会不会稳定。若 ，那么它的任意阶导数仍是同样的形状，求导只改变 与 。 于是设 ，求一次导比较系数，得到 与 的递推，再解出来即可。 例：比较系数得 、，由 得 ，再由累加得 。 因为 恒正，条件 就化成「二次式恒正」。这时先看对称轴在不在区间内：不在区间内，最值就取在端点，只需验证端点值。 二次函数在给定区间上恒正的判断，一定要先定对称轴与区间的位置关系，再决定是比较端点还是比较顶点。本册那道题里对称轴在区间左侧，最小值就在左端点。 「」这类题，先把目标量设成 ，再按「 由哪个量取得」分类讨论，每种情形都给出一个下界，最后取最松的那个。 例：求 的最小值，若最大的是 ，由约束可推出 ；若最大的是 或 ，只能推出大于等于 1。两种下界取较小的那个，再验证能取到。 「存在 使等式成立」的条件，要先把等式解出来，把参数表示成 的函数，问题就变成求这个函数的最值，剩下的只是常规求导。 恒成立卡等号点、高阶导找不变形状、min-max 分情形取最松下界，这三条是处理本册最值类题目的主线。 知识点四　计数与逻辑推理 计数类题的共同技巧是「把不可能取到的数整批排除掉」。做法是给这些数分组，让同一组里的数互相冲突，再看需要排除多少个。 例：从 1 到 49 中取 25 个数，要求任两数之和不是 49 也不是 50。对每个小数 ， 与 都是不能与它同时取的。 设取了 个小数，这些小数要求排除的大数有 个「名额」，而两组数中重合的最多只有 对，所以至少要排除 个大数。实际能排除的只有 个，矛盾，于是 。 这种「要排除的个数与实际能排除的个数对不上」的论证，比逐一列举可靠得多，写起来也短，是覆盖与选取类问题的标准武器。 判别式里出现「要开方成整数」的要求时，先用不等式把范围压出来，再逐个检验范围内可能的平方数取值，不必解二次方程。 例：整数解问题中 把 限制在 15 个取值内，再要求 是完全平方数，符合的只有三组平方数。 逐个检验时列一张小表，把 与 一一对应地写出来，既快又不容易漏。 表里出现完全平方数的那些行就是可行取值。 逻辑推理题不要凭感觉，直接枚举「谁说真话」的几种情形。每种情形都能推出唯一的名次排列，再看哪一种恰好满足「只有一个人说假话」。 枚举时按「某句话为真」逐步锁死：某人说真话就把他的名次固定，再说真话就再固定一个，剩下的位置自然确定，不必逐一试排。 逻辑题常常有一处「分水岭」，例如假设某人说真话会立刻导致所有人说真话而矛盾，那就可以直接排除掉一整支情形，枚举量减半。 排完后一定要把结论回代原句逐句检验，确认真话与假话的个数正好符合题目条件，这一步能抓出「解出排列但条件不满足」的情形。 计数靠分组排除、方程靠压缩范围、逻辑靠枚举假设并回代，这三类题都不需要灵感，按流程走就能出结果。 二、方法突破 方法一　函数、集合与逻辑中的新定义 这一册把前三册没覆盖的新定义收在一起：一个映射规则、一个数集的封闭性条件、一条存在性的性质、一套推理条件。它们看起来杂，但拆解的开局都很固定。 ★ 遇到映射定义先找「自反」的影子。 说明连做两次就回到原处，集合随即被拆成「互相交换的一对」与「原地不动的点」两类，结构一目了然。 ★ 这个拆法再配上「和等于定值」的条件，配对就成了硬约束：同一组里的两个数必须加起来等于那个定值。抽象的映射条件就这样变成了具体的数值限制。 ★ 封闭性定义先取最特殊的组合。令两个变元相等，可以逼出 ，再由加法封闭推出所有正整数都在 里，由取倒数封闭推出乘法的封闭性。 逐轮给出的规则，先算每一轮「各类量分别变化多少」，再把增量求和，不必写出每一步的整表。数项数时两边都要数准。 ★ 和与项的关系靠作差：把 换成 再相减，等比关系就出来了。注意 要单独验证，因为相减只在 时成立。 ★ 期望优先用可加性。能拆成若干个简单变量之和的随机变量，期望就是这些简单期望之和，不必求分布列。相邻变化次数、取对人数这类量都吃这一套。 恒成立问题先卡等号点：找到使等号成立的 ，它通常就是最值点，由导数在此处为零一步定出参数。但取完参数必须回代验证。 高阶导数先看形状是否稳定。若 是「二次式乘 」的形状，各阶导数仍是这个形状，设成同形的待定多项式比较系数即可。 计数题把不能同取的对象分组，用「需要排除的个数与实际能排除的个数对不上」来整批排除；出现在判别式里的开方要求，先用不等式压缩范围再逐个检验。 逻辑推理用枚举加回代：假设谁说真话，逐步锁死名次，最后逐句核对真话与假话的个数是否与题目相符。 ★ 做完自查：定义里的每个条件都用上了吗？存在性条件对 的范围有没有额外限制？计数时是否漏掉边界值或重复计了？最后的结论回代定义检验过吗？ 例题 例 1-1 【解答】在军事信息传输过程中，为了确保信息安全，常常需要对密钥进行复杂的生成和更新操作．为生成密钥序列A，现定义一个简单的加密算法，它的作用是在第 轮对密钥片段进行一次变换．具体变换规则如下：若k为奇数，则将在第k轮变换中让序列 的奇数项的值增加1，偶数项的值减少k；若k为偶数，则将在第k轮变换中让序列 的奇数项的值增加2k，偶数项的值减少2．若初始密钥序列 ，则加密序列的所有项之和为 ．已知数列的前n项和为 且满足 = （1）写出，并求出 ；（2）求 ；（3）证明：. 【解析】 （1）密钥序列共 9 项，其中第 1、3、5、7、9 项为奇数项（5 项），第 2、4、6、8 项为偶数项（4 项）。 于是第 轮变换使整个序列的和增加 ： 为奇数时 ， 为偶数时 。 逐轮算下去：， ，， 。 再看 。当 时 ，得 ； 当 时两式相减，，即 ， 所以 ，数列 是首项为 1、公比为 4 的等比数列，。 （2）把奇数轮与偶数轮的增量分别求和。当 时， 奇数轮 的增量之和为 ， 偶数轮 的增量之和为 。 两者相加得 ，把 代入得 。 当 时，奇数轮 之和为 ， 偶数轮之和仍为 ，相加得 ， 把 代入得 。 （3）由（2）知 ，所以 ， 开方得 。 又 ，所以 。 记 、、 。由错位相减得 ，所以 ； ，所以 。 于是 ， 所以原不等式成立。 第 1 步　先数清奇偶项的个数 ◈ 整个序列有 9 项，奇数项 5 个、偶数项 4 个，每一轮和的增量只与这个个数有关，不必逐项跟踪。 第 2 步　期望先用可加性拆开 ◈ 由 给出，做差即得 ，是标准的等比数列。 第 3 步　放缩到「恰好等于 102」的级数 ◈ 是最自然的放缩；配上 后正好凑成 ，而这个级数的和恰为 102，所以严格小于 102。 答　(1) ，；(2) 当 为奇数时 ，当 为偶数时 ；(3) 证明见解析 例 1-2 【解答】某校举办“数学文化节”，设有个不同主题的展区（），每个展区有唯一的主题编号，分别为1，2，…，.游客从任一展区开始参观打卡，打卡机每次会从尚未参观过的展区中，等可能地随机选择一个作为下一个参观的展区.规定：若连续参观的两个展区主题编号之和为奇数，则参观者获得一枚纪念章，否则不获得纪念章，记参观者参观完所有展区获得的纪念章枚数为.（1）当时，求参观者仅获得1枚纪念章的概率；（2）当时，求参观者获得纪念章枚数的分布列和数学期望；（3）设为个展区时参观者获得纪念章枚数的期望值，求关于的表达式，并证明是递增数列. 【解析】 先注意一件事：两个展区编号之和为奇数，等价于这两个编号一奇一偶。 所以纪念章枚数 就是参观顺序中相邻两个展区奇偶性不同的次数。 （1）当 时编号为 ，其中 2 个奇数、1 个偶数，等可能的参观顺序共 种。 把顺序按奇偶性记为「奇、偶、奇」或「偶、奇、奇」等形式， 只有 与 这两种顺序的两处相邻都不同（），其余 4 种都恰好有一处不同。 所以 。 （2）当 时编号为 ，2 个奇数、2 个偶数，等可能的顺序共 种。 不可能为 0：相邻都不相同意味着全部同奇偶，与只有 2 个奇数矛盾。 时奇偶排布只能是「奇奇偶偶」或「偶偶奇奇」两类，每类内部有 种，共 8 种； 时奇偶排布为「奇偶偶奇」或「偶奇奇偶」，同样每类 4 种，共 8 种； 时奇偶排布为「奇偶奇偶」或「偶奇偶奇」，每类 4 种，共 8 种。 所以分布列为 ， 数学期望 。 （3） 个编号中共有 个奇数（ 为奇数时）或 个奇数（ 为偶数）。 任取相邻的两个位置，第一个位置出现奇数的概率为 （ 为奇数个数）， 此时第二个位置出现偶数的概率为 ， 反过来第一个位置为偶数、第二个为奇数的概率同样是 。 所以相邻两位置奇偶不同的概率为 。 参观顺序中共有 个相邻位置对，于是 。 当 为偶数时 ，得 ； 当 为奇数时 ，得 。 下面证明递增。把 与 的情形分别写成 ，，。 由 得 ； 又 ，得 。 所以对一切 都有 ， 是递增数列。 第 1 步　把「和为奇数」翻译成「一奇一偶」 ◈ 奇偶性之和只看奇偶，这一步把「编号之和为奇数」变成「相邻两展区奇偶不同」，问题立刻变成排列中相邻奇偶的变化次数。 第 2 步　枚数与排列的对应 ◈ 参观顺序等可能，所以 就是随机排列中相邻两项奇偶不同的次数； 时按奇偶排布分类计数最快。 第 3 步　期望用「相邻对的概率之和」 ◈ 是 个 0-1 变量之和，每个位置的取值概率相同， 就是 乘以相邻不同的概率 。 答　(1) ；(2) 分布列见解析，；(3) 当 为偶数时 ，当 为奇数时 ，证明见解析 例 1-3 【解答】已知函数在处的切线与直线垂直.（1）求函数的单调区间；（2）若对任意恒成立，求实数的值；（3）对于函数，规定：，叫做函数的阶导数.若对任意恒成立，求满足条件的正整数的最小值. 【解析】 先由切线条件定出 。，所以 ， 切线与 垂直，而该直线斜率为 1，所以 ，得 ， 即 ，。 （1）由 解得 或 ， 所以 的单调递增区间为 与 ， 单调递减区间为 。 （2）条件即 对一切 成立。 注意到 ，所以 是 的最小值点，必有 。 由 得 ， 所以 。 下面验证 确实可行。此时 ， ，， ，它在 上有唯一零点 。 所以 在 上递减、在 上递增， 结合 与 ， 可知 在 上先增后减、在 上递增。 又 ，， 所以 对一切 成立， 符合要求。 （3）设 。 由 比较系数得 、， 而 、，所以 ，， 即 。 由于 ，条件等价于 对一切 成立。 这个二次函数的对称轴为 。当 时 ， 所以它在 上递增，最小值在 处取到，为 。 当 时该值为 ，在 处不满足条件； 当 时该值为 ，同样不满足。 所以满足条件的正整数 的最小值为 3。 第 1 步　切线垂直先定参数 ◈ 与 垂直意味着切线斜率为 ，由 得 ，后面两问都建立在这一点上。 第 2 步　恒成立先卡住等号点 ◈ 说明 是 的最小值点，于是 一步定出 ；这是「端点效应」的标准用法，取完还要回代验证。 第 3 步　把 阶导数写成待定多项式 ◈ 求导后仍是这个形状，比较系数就得 、，把高阶导数问题降成二次函数在区间上恒正。 答　(1) 递增区间为 、，递减区间为 ；(2) ；(3) 例 1-4 【解答】集合，，对T中的两个不同元素和，若存在一个函数f：满足：①，②，③，则称：X与Y是T中的一对“友好元素”．（1）当时，若，写出X对应的一个“友好元素”；（2）若和是T中的一对“友好元素”，且满足 ，规定：随机变量服从分布，当时，试写出的分布列及其对应的一对“友好元素”X与Y；（3）当时，若且满足，证明：若存在B使得A与B是T中的一对“友好元素”，则A中有且仅有个0． 【解析】 （1）当 时 ，条件③要求 。 逐项看 ： 前两项为 0，对应 只能是 0 或 4；第三项为 1，只有 使和为 4； 第四项为 3，只能配 ；第五项为 4，只能配 或 4。 取 ，此时 、、、， 再补充定义 ，就有 对一切 成立， 且 、 各项之和都等于 ，所以 合乎要求（答案不唯一）。 （2）当 时 ，期望为 ，取 ，。 逐项验证条件③：前四项 ，第五项 ，第六项 ，第七项 ，都落在 中。 取 、、、， 成立， 两组的和也都是 12，所以 、 是一对友好元素。 分布列由 得到： 前四项对应 ，概率都是 0；第五项 对应 ； 第六项 对应 ；第七项 对应 。 所以 ，，， 三个概率之和为 1，且 ，符合要求。 （3）先看清 的结构。由①知 连做两次就回到原处，即 ， 所以每个 要么满足 （原地不动），要么与另一个数互相交换。 结合③：若 ，则 且 ， 但 会给出 ， 会给出 ，都不可能，所以只能 。 于是 时 ， 时 ， 再由 与 可知， 只能是 或 。 设 中取值 的项有 个、取值 0 的项有 个、取值在 到 之间的项有 个。 由 知 ；由 与 知中间项之和为 。 中间项每项都至少为 1，所以 。 若 ，则中间项之和为 0，即 、，此时 只含 0 与 。 再由 得 。 使左端等于 ，但此时 ，与「两个不同元素」矛盾； 使左端等于 ，也不成立。所以 。 于是 ，中间项之和为 。再由 得 ，即 。 又 （由 与 ），代入两种可能： 给出 ，所以 ，； 给出 ，即 ，与 矛盾。 所以只能是 、，即 中有且仅有 个 0。 第 1 步　把对合条件翻译成「配对」 ◈ 说明 把 拆成若干对 （ 互换二者）加上若干个不动点，条件③则要求同一对里的两数之和为 。 第 2 步　中间项被强制配对 ◈ 只要 ，条件③就只有 一种可能，于是所有中间项都被绑定成 的配对。 第 3 步　用两处计数把 逼到 1 ◈ 时 只剩 0 与 ，再由 推出 ，与「两个不同元素」矛盾；排除后只剩 ，两式联立即得 。 答　(1) （答案不唯一）；(2) 分布列见解析，，；(3) 证明见解析 练习 1-1. 【多选】已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（ ）. A. . B. . C. 若，则. D. 若，则. 解析　答：BC ① 要对 中任意两个数都能用，所以 中必有非零的数，取一个非零的 ， 由 得 。 B 项：由② 用 反复相加，，，依次得到所有正整数都在 中， 所以 ，B 正确。 C 项：先由① 取 、 为 中非零的数，得 ； 再由① 取 、，得 ，C 正确。 A 项： 中是否含 无法推出。取 （正有理数集）， 它满足「相除仍在 中」与「相加仍在 中」，但 ，所以 A 错误。 D 项：同理， 是否在 中无法保证。仍取 ， 、，但 ，所以 D 错误。 所以正确的选项是 B、C。 1-2. 【填空】以表示数集中最大（小）的数.设，已知，则 = __________. 解析　答： 设 、、，则 。 把条件 两边除以 的倒数形式整理：由 得 ，即 。 记 ，按 是谁取得分两种情况。 若 ，则 且 ，于是 ，得 ，即 。 若 ，则 ，得 ，即 ； 同理 时也有 。而 ，所以这两种情形给出的下界都不如第一种小。 所以 ，即所求的最小值不小于 。 再说明它能取到：取 ，则 ，条件满足， 此时 ，。 所以所求的最小值为 。 1-3. 【单选】在一次游泳比赛结束后，甲、乙、丙、丁进入前4名，且这4人无并列名次．赛完他们出场后，场外一个未看到比赛结果的游泳爱好者跟他们了解比赛结果：甲说：我是第四名乙说：我不是第二名或第四名丙说：我排在乙前面丁说：我是第一名他们4人中只有一个人说的是假话，下列正确的是（ ） A. 丙是第一名 B. 乙是第二名 C. 甲是第三名 D. 丁是第四名 解析　答：A 四人名次互不相同，分别是 1 至 4 名。逐句检验 甲说「我是第四名」，乙说「我不是第二名或第四名」（即乙是第一名或第三名）， 丙说「我排在乙前面」（丙的名次数值小于乙的），丁说「我是第一名」。 先设丁说真话，则丁是第一名，甲乙丙只能占二、三、四名。 若甲也说真话，甲是第四名；乙说真话则乙只能是第三名，剩下丙是第二名， 此时丙排在乙前面成立，四人全部说真话，与「只有一个人说假话」矛盾。 所以丁说的是假话，甲、乙、丙都说真话。 由甲说真话得甲是第四名；由乙说真话得乙是第一名或第三名； 丙排在乙前面，若乙是第一名则丙不可能在乙前面，所以乙是第三名，丙是第二名或第一名。 又丁不是第一名（丁说假话），而甲是第四名、乙是第三名，剩下的第一、二名由丙与丁分得， 所以丙是第一名、丁是第二名。 检验：甲第四、乙第三、丙第一、丁第二，四人中只有丁说假话，符合题意。 所以正确的是 A。 1-4. 【填空】给出如下定义：函数的定义域为，若，使得，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则实数的最小值为________． 解析　答： 由 得 。 因为对数函数是单调的，所以 。 要使对数有意义需 ，两边约去 得 。 所以问题变成求函数 在 时的最小值。 求导得 ， 分子中 。 所以 在 上递减、在 上递增， 最小值在 处取到，为 。 所以实数 的最小值为 。 1-5. 【填空】从这49个数中取25个数，使得任意两个数之和既不等于49也不等于50，则这25个数字之和为__________. 解析　答： 把 到 分成两类： 到 称为小数， 到 称为大数，大数共 25 个。 任意两个大数之和至少为 ，所以全部取大数时，任意两数之和既不等于 49 也不等于 50。 此时 25 个数之和为 。 下面说明这是唯一的取法。设取出的数中有 个小数、 个大数，则 ， 被排除的大数就有 个。 对取出的每个小数 ，它分别与 和 冲突， 所以这 个大数都必须被排除。而这两个数与 的对应恰好是 与 ， 两组之差为 1，它们的公共元素至多 个， 于是至少要被排除 个大数。 当 时 ，与实际只需排除 个大数矛盾。 所以 ，即 25 个数恰好是全部大数，其和为 925。 1-6. 【填空】方程的整数解的组数为___________． 解析　答： 把方程看成关于 的一元二次方程 。 它有实根需判别式非负： 。 由 得 ，所以 只能取 到 之间的整数。 记 ，则 ， 要使 为整数， 必须是整数，即 是完全平方数。 逐个检验 ：只有 、、 时 分别为 、、，都是完全平方数。 所以 可取 、、，对应 为 、、、、、，共 6 个值。 对每个这样的 ， 有两个不同的整数值，例如 时 得 或 ； 时 得 或 ； 时 得 或 ； 时 得 或 ； 时 得 或 ； 时 得 或 。 所以整数解共有 组。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $