集合交并补的综合运算、集合新定义问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦集合运算与新定义问题，通过典例变式构建从基础运算到抽象应用的知识逻辑，培养抽象能力与创新意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合交并补的综合运算|例4+变式4|以选择/多选题为主，涉及全集、子集关系|从集合基本概念出发，通过交并补运算培养推理能力| |集合新定义问题|例3+变式4|含多选与解答题，结合新规则考查应用|在基础运算上拓展，通过新定义情境发展创新意识|

2027届高三数学一轮复习专项训练 集合：集合交并补的综合运算、集合新定义问题专项训练 考点目录 集合交并补的综合运算 集合新定义问题 考点一 集合交并补的综合运算 例1．（2026·天津北辰·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知全集，，，则（     ） A． B． C． D． 例3．（2026·福建厦门·模拟预测）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 例4．（2026·山东济南·模拟预测·多选）已知为全集，集合，是的子集，若，则（     ） A． B． C． D． 变式1．（2026·河北·模拟预测）已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·天津滨海新区·三模）已知全集，集合，，则（     ） A． B． C． D． 变式3．（2026·福建福州·三模），，则（    ） A． B． C． D． 变式4．（2026·陕西西安·模拟预测·多选）已知全集，集合，，且，则（   ） A． B． C．中元素个数为 D． 考点二 集合新定义问题 例1．（2026·福建厦门·模拟预测·多选）已知，，…，，…均为有限实数集，记中的最大元素为，，，若，则（    ） A． B． C．中所有元素的平均数为191 D．中所有元素的和为3008 例2．（24-25高三上·陕西·期中·多选）已知集合，记，则（   ） A．中有个元素 B．中的最大元素为2046 C．当为偶数时，中有个元素 D．当为奇数时，中的元素之和为 例3．（2026·北京海淀·一模）对于正整数m，n（，），集合.给定集合M的一个子集A，对于M中的元素，若存在且，，使得集合与A的交集所含元素个数为0或4，则称为A的一个“同形点”. (1)当时，写出集合的所有“同形点”； (2)当A只有一个元素时，求其“同形点”的个数； (3)若M的任意子集都有“同形点”，求的最小值. 变式1．（25-26高三上·河南·期中·多选）设为任意的两个非空数集，定义集合且为的笛卡尔积，记为的任何子集都称为到的关系，特别地，当时，称为上的关系．在平面上用实心圆点分别标出中元素的点（称为结点），如果，那么用实心圆点标出中元素的点即可．若，则自结点至结点作一条有向边，箭头指向，若，则结点到没有有向边连接，采用这种方法连接起来的图称为的关系图．若均为到的关系，则定义存在满足，且．设集合，现给出如下5个上的关系，的关系图，其中，则（    ）      A． B．共有512个子集 C． D． 变式2．（2025·湖南邵阳·模拟预测·多选）给定实数集，定义集合，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作.以下说法正确的是（    ） A．若数集中有2025个元素，则一定存在 B．若数集中没有最大值，则不存在 C．若数集A，B有上确界，则数集一定也有上确界，为 D．若数集A，B有上确界，则数集一定也有上确界，为 变式3．（2026·北京·模拟预测）已知，数列：，，⋯，，其中.称集合{，是的因数}为数列的制约集. (1)当时，设：1，3，5，2，6，4； ：2，4，3，5，1，6.直接写出和； (2)设，，数列满足，证明：存在偶数，； (3)若，求所有满足条件的数列. 变式4．（2026·四川成都·三模）已知是个正整数记，其中，，，． (1)若，，，求的值； (2)若，，，求，，，中的最大数与最小数的和所有可能的集合； (3)若，，，，，是，，，的一个排列．从中随机取出个不同的数，记取出的数中最小元素为．求（用表示）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习专项训练 集合：集合交并补的综合运算、集合新定义问题专项训练 考点目录 集合交并补的综合运算 集合新定义问题 考点一 集合交并补的综合运算 例1．（2026·天津北辰·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，得， 所以． 例2．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知全集，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为全集，，， 所以，故. 例3．（2026·福建厦门·模拟预测）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以. 例4．（2026·山东济南·模拟预测·多选）已知为全集，集合，是的子集，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】已知为全集，，，由集合运算性质：， 因为，所以. A：可以是空集，此时，满足，错误. B：已推出，错误. C：，，，正确. D：，相等集合互相包含，成立，正确. 变式1．（2026·河北·模拟预测）已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解绝对值不等式求得集合,再结合集合的运算即可求解. 【详解】解得或，即, 则，则. 变式2．（2026·天津滨海新区·三模）已知全集，集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，则， 所以. 变式3．（2026·福建福州·三模），，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将全集利用列举法表示出来，利用集合的运算法则直接求解． 【详解】因为，， 故在中不在中的元素为； 故． 变式4．（2026·陕西西安·模拟预测·多选）已知全集，集合，，且，则（   ） A． B． C．中元素个数为 D． 【答案】BD 【分析】分析可知，所以方程有两个相异实根、，且、异号，结合全集中的元素可确定集合，结合韦达定理求出的值，再利用集合运算可判断BCD选项. 【详解】在集合中，因为，所以方程有两个相异实根， 设为、，由韦达定理可得，所以、异号，且， 因为全集的元素中两元素之积为的只有两组、和、， 所以或. 当时，，则， 所以，，； 当时，，则， 所以，，. 综上，则或，，中元素个数为，， 故A错误，B正确，C错误，D正确. 考点二 集合新定义问题 例1．（2026·福建厦门·模拟预测·多选）已知，，…，，…均为有限实数集，记中的最大元素为，，，若，则（    ） A． B． C．中所有元素的平均数为191 D．中所有元素的和为3008 【答案】ACD 【分析】抓住集合构造的递推规律：最大元素，直接得到的等比通项；集合元素个数，结合元素和的递推关系，推导出的通项，再逐一验证选项即可. 【详解】选项A，已知，最大元素， 根据定义， 则，A正确； 选项B，由的构造，的最大元素是，则的最大元素是， 因此，即是首项为，公比为2的等比数列：. 当时， ，B错误； 设为所有元素之和，则 ，因为， 所以 .一般地，，其中是的元素个数. 由构造可知，(即每次新增元素与原集合无重复)，因为 ，故. 结合，递推得：， 等式两边同除以得.令 ，则， 累加法求， 则. 选项C，当时，均值为 ，C正确； 选项D，当时， ，D正确. 例2．（24-25高三上·陕西·期中·多选）已知集合，记，则（   ） A．中有个元素 B．中的最大元素为2046 C．当为偶数时，中有个元素 D．当为奇数时，中的元素之和为 【答案】BCD 【详解】对于A：的元素在区间内的正整数，所以元素个数为，故A错误； 对于B：当时，，所以表示在区间为3的倍数， 最大元素为小于的最大的3的倍数，所以最大元素为，故B正确； 对于C：当为偶数时，令，则， 所以中的倍数的个数为，故C正确； 对于D：当为奇数时，令，中元素的首项为，末项为的等差数列，项数为， 所以中的元素之和为，故D正确. 例3．（2026·北京海淀·一模）对于正整数m，n（，），集合.给定集合M的一个子集A，对于M中的元素，若存在且，，使得集合与A的交集所含元素个数为0或4，则称为A的一个“同形点”. (1)当时，写出集合的所有“同形点”； (2)当A只有一个元素时，求其“同形点”的个数； (3)若M的任意子集都有“同形点”，求的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3)21. 【分析】（1）根据“同形点”定义直接写出答案即可； （2）分、、以及讨论即可； （3）讨论存在和恒成立的情况即可. 【详解】（1）， 当“同形点”为时，取， 此时，显然其与交集所含元素个数为0 当“同形点”为时，取， 此时，显然其与交集所含元素个数为0， 故其“同形点”为. （2）的＂同形点＂的个数为．证明如下： 设，由题：取集合． 若为的＂同形点＂，应有，且． ①当时，若且，取为， 则与的交集元素个数为0， 此时为的＂同形点＂，共有个； ②当时，同理可得中除外， 其余元素都是的＂同形点＂，共有个； ③当时，同理可得中除外， 其余元素都是的＂同形点＂，共有个； ④当时，同理可得中除外，其余元素都是的＂同形点＂，共有个． 综上可得的＂同形点＂的个数为． （3）的最小值为21． 证明如下： 首先当时，，由对称性不妨设中元素个数不少于11， 对于，设的元素个数为， 若存在，因为，所以存在，有， 不妨设，则中至少一个是的＂同形点＂； 若恒成立，因为，所以存在， 有，因为， 所以存在，使得，不妨设，则为的＂同形点＂． 其次当时，不妨设； ①若，则，取可得其无＂同形点＂； ②若，则， 取， 可得其无＂同形点＂； 综上的最小值为21． 变式1．（25-26高三上·河南·期中·多选）设为任意的两个非空数集，定义集合且为的笛卡尔积，记为的任何子集都称为到的关系，特别地，当时，称为上的关系．在平面上用实心圆点分别标出中元素的点（称为结点），如果，那么用实心圆点标出中元素的点即可．若，则自结点至结点作一条有向边，箭头指向，若，则结点到没有有向边连接，采用这种方法连接起来的图称为的关系图．若均为到的关系，则定义存在满足，且．设集合，现给出如下5个上的关系，的关系图，其中，则（    ）      A． B．共有512个子集 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定的定义及关系图，求出，再逐项求解判断. 【详解】对于B，， 共9个元素，因此共有个子集，B正确； ， ，， ，, 对于C，，，C错误； 对于A，，A正确； 对于D，，D正确. 故选：ABD 变式2．（2025·湖南邵阳·模拟预测·多选）给定实数集，定义集合，若是非空集合，则称集合中最小的元素为集合的上确界，记作.以下说法正确的是（    ） A．若数集中有2025个元素，则一定存在 B．若数集中没有最大值，则不存在 C．若数集A，B有上确界，则数集一定也有上确界，为 D．若数集A，B有上确界，则数集一定也有上确界，为 【答案】AC 【分析】根据集合的上确界的概念判断A，结合反比例函数的性质利用集合的上确界的概念判断B，结合不等式的性质利用集合的上确界的概念判断C，举反例判断D. 【详解】对于，若数集中有2025个元素，则数集中的元素一定有最大值， 数集一定有上确界，故A正确； 对于B，若，当时，， 则数集中的元素没有最大值， ，都有，， ，即数集中有上确界，故B错误； 对于C，若数集A，B有上确界，设，， 由上确界的定义可知，对于，，都有，，， 即，故正确； 对于D，若，，则数集A，B有上确界，且，， 此时， 则，故D错误. 故选：AC 变式3．（2026·北京·模拟预测）已知，数列：，，⋯，，其中.称集合{，是的因数}为数列的制约集. (1)当时，设：1，3，5，2，6，4； ：2，4，3，5，1，6.直接写出和； (2)设，，数列满足，证明：存在偶数，； (3)若，求所有满足条件的数列. 【答案】(1)， (2)因为 为奇数，故至少存在一个，使得为奇数， 从而也为奇数，不能被整除. 即，命题成立. (3)当时，数列为 ，，，，，⋯，1， 或，，，，⋯，，1. 当时，数列为 ，，，，⋯2，，1， 或，，，，⋯，，2，，1. 【分析】（1）根据“制约集”的定义可求； （2）通过证，得到至少存在一个，使得为奇数，从而也为奇数，进而得证； （3）先利用最大下标条件：从开始，因为 且差的绝对值小于 n，所以，从而只能是或；再递推构造更小规模的数列：将问题规模从 降到，建立一一对应，从而证明满足条件的数列个数与 时相同，即总是2个；具体写出这两个数列：通过正向递推或逆向递推，利用差必须等于，唯一确定每个位置的值。 【详解】（1）对于 能整除故; 能整除故; 能整除故; 能整除故; 能整除故; 所以 对于 能整除故; 不能整除故; 不能整除故; 能整除故; 能整除故; 所以. （2）略 （3）因为，可知整除，一定有或，即满足条件的数列的最后一项必为1或. 若，构造数列：，，⋯，，其中， 则，其制约集. 故每个以结尾、满足条件的数列均对应一个以1结尾，满足条件的数列，且的项数为. 反之亦然，即上述对应是一一的. 若，构造数列：，，⋯，，其中， 则，其制约集. 故每个以1结尾、满足条件的数列均对应一个以结尾，满足条件的数列，的项数为. 上述对应也是一一的. 综上所述，满足条件的项数列与项数列之间具有一一对应，从而对于任意的，满足条件的数列的个数均相同. 取，数列只有1，2和2，1两种可能，其制约集均为. 故对任意的，恰有两个数列满足条件. 当时，数列为 ，，，，，⋯，1， 或，，，，⋯，，1. 当时，数列为 ，，，，⋯，，2，，1， 或，，，，，⋯，，2，，1. 变式4．（2026·四川成都·三模）已知是个正整数记，其中，，，． (1)若，，，求的值； (2)若，，，求，，，中的最大数与最小数的和所有可能的集合； (3)若，，，，，是，，，的一个排列．从中随机取出个不同的数，记取出的数中最小元素为．求（用表示）． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）从个数中取个数求和，全体总和减掉剩下的1个元素，即子集和，内4个数相加等于，代入直接计算求解； （2）是这9个正整数中任取其中8个数的和构成的集合，且集合只有7个数，令得出，由是整数，故必为整数，分情况讨论求出最大数与最小数的和，进而得出集合； （3）当时，记，表示集合，记取出的数中最小值为，记是从中均匀随机选取的的元素的最大值，利用组合概率与组合恒等式求，利用期望的性质求出． 【详解】（1）当时，是4个正整数， 是这4个正整数中任取其中3个数的和构成的集合，且集合恰好有4个数， 由条件可知，这4个正整数互不相同， 令， 则，解得，即． （2）当时，是9个正整数， 是这9个正整数中任取其中8个数的和构成的集合，且集合只有7个数． 由条件可知，这9个正整数中必有2个数或者1个数重复， 令，则，其中， 整理可得，由是整数，故必为整数， ①当，满足为整数，所以， 中最大的数为：，最小数为， 故它们的和为； ②当或者，满足为整数，故， 中最大的数为：， 最小数为，故它们的和为； ③当，满足为整数，故， 中最大的数为：， 最小数为，所以它们的和为； 综上，中的最大数与最小数的和所有可能的集合为． （3）当时，记， 且， 从集合中随机取出个不同的数（等可能），记取出的数中最小值为， 记是从中均匀随机选取的个的最大值， 则， 共有种取法，， ， 又， ， 方法一： ． 方法二：可理解为从个不同的元素里选出个元素的总的方案数， 可理解为按选出的个元素里最大的那个元素来分类计算： 若最大元素是第个，则剩下的个元素要从前面个里选：； 若最大元素是第个，则剩下的个元素要从前面个里选：； 若最大元素是第个，则剩下的个元素要从前面个里选：； 所有情况加在一起，即成立， 即． 而． 2 学科网（北京）股份有限公司 $