第三章 空间与图形 知识点5 解直角三角形及其应用-【荣恒专项】2026-2027学年九年级全一册数学——几何典型题专项训练

第三章 空间与图形 知识点⑤解直角三角形及其应用（一） 几何大冲关 (难度等级 1.（吉林期末)如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B相距35 C处，用高1.5m的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角∠EDA为36° AB的高度（结果精确到1m).（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73） D136 B 2.(安徽期末)如图，山顶上有一个信号塔AC,已知信号塔的高度AC=15m,在山脚下点B处测 得塔底C的仰角∠CBD=36.9°，塔顶A的仰角∠ABD=42.0°，点A,C,D在同一条竖直线上， 求山的高度CD(结果精确到1m).(参考数据：tan36.9°≈0.75，sin36.9°≈0.60，tan42.0°≈ 0.90)》 3.(辽宁鞍山月考)图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部 分，灯臂AC,支架BC分别交立柱MN于A,B两点，灯臂AC与支架BC交于点C.已知∠MAC= 60°，∠ACB=15°，AC=40cm,求支架BC的长（结果精确到1cm).(参考数据：2≈1.41， 3≈1.73，√6≈2.45) M M 灯臂 60° 159 支架 B A 立柱 N 图1 图2 483 中考几何题典型题专项训练 解直角三角形及其应用（二） 几何大冲关 (难度等级★★) 1.（贵州钢仁模拟)如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山高AB=120m,楼高CD=99m,某 天上午9时太阳光线从山的顶点A处照射到住宅的点E处，在点A处测得点E的俯角∠EAM= 45°，上午10时太阳光线从山的顶点A处照射到住宅的点F处，在点A处测得点F的俯角 ∠FAM=60°.已知每层楼的高度为3m,EF=40m,则以当天测量数据为依据，不考虑季节天 气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10时的太阳光线照射到该层楼的外墙？ (参考数据：√3≈1.73) C609 20m 99m40 2.(山东聊城期末)如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB 的高度进行测量，先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m,后站在M点处测得居民楼 CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°.已知居民楼CD的高度为16.6m,小 莹的观测点N距地面1.6m.求居民楼AB的高度（精确到1m).(参考数据：sin55°≈0.82， cos55°≈0.57，tan55°≈1.43) D 55 N 45 M 84◆ 第三章空间与图形 解直角三角形及其应用（三） 几何大冲关 (难度等级★★★) 1.(山东聊城模拟)时代中学组织学生进行红色研学活动.如图，学生到达爱国主义教育基地后， 先从基地门口A处向正南方向走300米到达革命纪念碑B处，再从B处沿正东方向走到党史 纪念馆C处，然后从C处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕像D处，最后从D处回 到A处.已知人民英雄雕像在基地门口南偏东65°方向上，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的 距离（精确到1米）.（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91， c0s65°≈0.42，tan65°≈2.14) 北 A个 东门回6 D人民英雄雕像 B C 革命纪念碑 党史纪念馆 2.(江苏南京期末)如图，为了测量河对岸A,B两点之间的距离，在河岸这边取点C,D(C,D在 同一水平线上)，测得CD=80m,∠ACD=90°，∠BCD=45°，∠ADC=1917',∠BDC=5619'. 设A,B,C,D在同一平面内，求A,B两点之间的距离.（参考数据：tan1917'≈0.35，tan56°19'≈ 1.50) 85∴.∠A0B=60°，则∠B0D=120° :点E在BCD上，∠BED=}∠BOD=60, B (2)证明：如图，连接OF,由(1)得OB⊥ AB,∠B0D=120. OB =3,BF =3 .tan LBOF =BF OB =5, ∴.∠B0F=60°，∴.∠D0F=60°. .OB=OD. 在△BOF与△DOF中，{∠BOF=∠DOF, LOF=OF, .△BOF≌△DOF(SAS), ∴.∠ODF=∠OBF=90°. 又点D在⊙O上，故DF与⊙O相切. 锐角三角函数（三） 解：(1)证明：如图，连接OD .⊙0与边AB相切于D,∴.∠AD0=90°， .OC=OD,AC=AD,AO=AO, ∴.△AC0≌△AD0(SSS), .∠AC0=∠AD0=90°，.0C⊥AC, 又.OC为半径，.AC是⊙0的切线. (2):AB=10,amB=号，∠BCA=90, ∴.AC=8,BC=6, .sin B=4C4 AB=5 设C0=r,则D0=r, ∠0DB=90°，sinB=4 , ·0B=OD=5 sin B4, 参考答案 .BC=0B+CO= 5 47+r=6, r=骨，即©0的半径为号 (3)BD +CE=AF. 证明：如图，连接ED,由(1)得∠CAE= LDAE, 又.AC=AD,AE=AE, .△ACE≌△ADE(SAS), ∴.CE=DE. :F为AB的中点，∠ACB=90°， .AF=CF =BF, ∴.∠CAF=∠ACF, ∴.∠CFD=∠CAF+∠ACF=2∠ACF. ,∠ACB=90°，∴.∠BCF=90°-∠ACF. ,OC=OE,∴.∠BCF=∠OEC=90°- ∠ACF. ,△ACE≌△ADE, ∴.∠AEC=∠AED,∴.∠OEC=∠OED=90°- ∠ACF, ∴，∠DEF=180°-∠OEC-∠0ED=180°- (90°-∠ACF)-(90°-∠ACF)=2∠ACF, ∴.∠CFD=∠DEF,.DE=DF, ∴.BD+CE=BD+DF=BF,∴.BD+CE=AF C 0 B 知识点5解直角三角形及其应用（一） 1.解：根据题意，得∠EDA=36°，BE=CD= 1.5m,DE=CB=35m. 在Rt∠ADE中，∠AED=90°， EDA-能， 5=07, .AE≈25.55(m), .AB=AE+BE≈25.55+1.5≈27(m). ∴.塔AB的高度约为27m. 2.解：设CD=xm, 在Rt△BCD中， 由m369-品得0-075： 45 中考几何题典型题专项训练 在Rt△BAD中， 由an42.0°=4 ,得BD≈立+15 0.9， 505 解得x≈75，即CD≈75m. ∴.山的高度CD约为75m. 3.解：过点C作CD⊥MN于点D, 则∠CDB=90°（图略）. .∠CAD=60°，AC=40cm, 六CD=AC·sinCAD=40sin60°=40 2 =203(cm). .'∠ACB=15 ∴.∠CBD=∠CAD-∠ACB=45°. sin CBD=RO, ∴.BC= CD 20√3 sin LCBD2 =20√6≈49(cm). 2 ∴.支架BC的长约为49cm. 解直角三角形及其应用（二） 1.解：根据题意可知四边形ABDM是矩形， ∴.MD=AB=120m, 在Rt△AME中，ME=AM·tan45°=AM, 在Rt△AMF中，MF=AM·tan60°=√3AM, EF MF ME =40 m, ∴.√3AM-AM=40, .∴.AM≈54.79m, ∴.MF≈54.79×1.73≈94.79(m), .∴.DF=MD-MF≈120-94.79=25.21(m). 25.21÷3≈8.4， ∴.至少要买该住宅的第9层楼，才能使上 午10时的太阳光线照射到该层楼的外墙. 2.解：如图，过点N作EF∥AC交AB于点E, 交CD于点F. 145 550 M C 46 ∠BEN=∠DFN=90°，EN=AM,NF=MC, 则DF=CD-CF=16.6-1.6=15. 在Rt△DFN中，.·∠DNF=45°， .NF=DF=15. ∴.EN=EF-NF=35-15=20. 在Rt△BEN中，tan BNE= ∴.BE=EN·tan∠BNE=20×tan55°≈20 ×1.43=28.6. ∴.AB=BE+AE=28.6+1.6≈30. ∴.居民楼AB的高度约为30m. 解直角三角形及其应用（三）】 1.解：如图，过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥ BC于点F. A个 门 65 D人民英雄雕像 E-- 37 C, 革命纪念碑 F 党史纪念馆 由题意，得∠CDF=37°，CD=200米. 在Rt△CDF中， CF=CD·sin∠CDF=200×sin37°≈120 (米)，DF=CD·cos∠CDF=200×cos37° ≈160（米）. AB⊥BC,DF⊥BC,DE⊥AB, ∴.∠B=∠DFB=∠DEB=90°， ∴.四边形BFDE是矩形， ∴BF=DE,BE=DF, .AE=AB-BE≈300-160=140（米） 在Rt△ADE中，DE=AE·tan∠DAE≈140 ×tan65°≈299.6（米）， .BF=DE≈299.6米， ∴.BC=BF+CF≈299.6+120≈420（米）. ∴革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约 为420米. 2.解：如图，过点B作BE⊥CD于点E,过点A 作AF⊥BE于点F .'∠BCD=45°， ∴，△BCE是等腰直角三角形 设CE=xm,则BE=xm. .'CD=80m,∴.DE=(80-x)m. 在Rt△BDE中，∠BDC=5619', m5619-能即01.50，解得 x≈48， .∴.BE=CE≈48m. 在Rt△ACD中，∠ADC=1917',CD=80m, m1917r-品即S 即80≈0.35， 解得AC≈28m. .∠ACD=90°，BE⊥CD,AF⊥BE, .四边形ACEF是矩形， ∴.AF=CE≈48m,EF=AC≈28m, .BF=BE-EF≈20m. 在Rt△ABF中， AB=√AF2+BF2≈√/482+202=52(m), ∴.A,B两点之间的距离约为52m. 知识点6尺规作图（一）】 1.解：(1)如图，①BE即为所求作的∠ABC的 角平分线， ②过F的垂线是所求作的线段DC的垂直 平分线. (2)如图，连接EF, ,BA=BD,BE平分∠ABC, .'AE DE. 由作图可知：DF=CF, ∴.EF是△DAC的中位线， EF∥AC,EF=AC 参考答案 2.解：(1)如图，直线AE为所求的直线， D B (2)完成下面的证明. 证明：：CD为线段AB的垂直平分线， .∴.0A=OB. .AB =20B ∴.AB是⊙O的直径 ∴.∠AEB=90°（直径所对的圆周角为 直角). .AE⊥1. 尺规作图（二） 1.解：(1)如图即为所求作的对称点C B D (2)①证明：.·∠ABD=∠ADB,∴.AB=AD, :C点与A点关于直线BD对称，AC与BD 交于点0， .A0⊥BD,A0=OC,∴.B0=OD, .四边形ABCD是平行四边形. 又.AB=AD,∴.四边形ABCD是菱形 E D ②过点E作EF⊥AD,交AD的延长线于点F 四边形ABCD为菱形， ÷AC1BD,B0=0D=2BD=5. .E是BC的中点，OA=OC, .BC=20E=13, ∴.在Rt△BOC中， 0C=√BC2-0B2=12, .0A=12, ,·四边形ABCD为菱形， 147