第一章 图形的认识 知识点5 全等三角形的判断与性质-【荣恒专项】2026-2027学年九年级全一册数学——几何典型题专项训练

∴.AE=DE,∴.△ADE是等腰直角三角形， A0=2AB=2×子6-3gkm 2 (2)△ADE是等腰直角三角形， ∴.∠ADE=45. .∠CDB=135°， .∠ADB=135°-45°=90°， 在Rt△ABD中，AB=√AD2+BD2= 即隧道AB的长度为3km. 2.解：(1).AB=AC,∠BAC=40°， 1 ∠ABC=2×(180°-40）=2×140° =70° :BD平分∠ABC, ∠ABD=∠DBC=7∠ABC=7×70 =35 .AF⊥AB,∴.∠BAF=90°， ∴.∠AFE=∠ABD+∠BAF=35°+90° =125. (2).AE∥BC,∴.∠E=∠DBC. r∠E=∠DBC, 在△ADE和△CDB中，{∠ADE=∠CDB, LAD =CD, .△ADE≌△CDB(AAS),.AE=CB. :∠E=∠DBC,∠ABD=∠DBC, .∠E=∠ABD, .AB=AE,∴.AB=BC, .AB=AC=BC,∴.△ABC是等边三角形， ∠ABC=60°，∴.∠ABF=30° :AD=DC=2,∴.AB=AC=4. 在Rt△ABF中，AF=AB·tan∠ABF=4× m30=4×9-4 与三角形有关的计算（六）】 解：(1)证明：△ABC是等边三角形， ∴.∠ABQ=∠CAP=60°，AB=CA 又，点P,Q的运动速度相同，.AP=BQ. rAB=CA. 在△ABQ和△CAP中， ∠ABQ=∠CAP, LBO=AP, ∴.△ABQ≌△CAP(SAS). 参考答案P (2)点P,Q分别在AB,BC边上运动的过程 中，∠QMC的大小不变 理由：△ABQ≌△CAP,∴.∠BAQ=∠ACP. :∠QMC是△ACM的外角， ∴.∠QMC=∠ACP+∠MAC=∠BAQ+ ∠MAC=∠BAC. .∠BAC=60°，.∠QMC=60. (3)当点P,Q分别在AB,BC的延长线上运动 时，∠QMC的大小不变.理由如下： 由(1)知△ABQ≌△CAP, ∴.∠BAQ=∠ACP. :∠QMC是△APM的外角， ∴.∠QMC=∠BAQ+∠APM, ∴.∠QMC=∠ACP+∠APM=180°-∠PAC =180°-60°=120°. 知识点5全等三角形的判断与性质（一） 1.证明：在△ABD和△BAC中， AD =BC, BD=AC, LAB=BA, .△ABD≌△BAC(SSS), ∴.∠ADB=∠BCA. 2.解：：∠DAC=25°，∠D=80°， ∴.∠DCA=180°-∠DAC-∠D=180°- 25°-80°=75. AB=AD, 在△ABC和△ADC中，· ∠BAC=∠DAC, LAC=AC, .△ABC≌△ADC(SAS), .∠BCA=∠DCA=75°. 3.证明：BD∥AC, ∴.∠EBD=∠C. BD =BC,BE=AC, .△EDB≌△ABC(SAS),∴.∠D=∠ABC. 全等三角形的判断与性质（二） 1.证明：.∠BAE=∠DAC, .∴.∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC, 即∠BAC=∠DAE, 在△BAC和△DAE中， r∠B=∠D, AB=AD, L∠BAC=∠DAE, ∴.△BAC≌△DAE(ASA), ∴.AC=AE. 2.解：（1)证明：：EC∥AF, 州7 中考几何题典型题专项训练 ∴.∠CEB=∠AFD, ∴.∠CED=∠AFB, 在△CED和△AFB中， ED =FB, ∠CED=∠AFB, LCE =AF, ∴.△CED≌△AFB(SAS), ∴.AB=CD (2)由(1)得△CED≌△AFB, ∴.∠C=∠A=30°， ∴.∠DEC=180°-（∠D+∠C)=180° (30°+40°)=110°. 3.解：(1)证明：AB∥DE, ∴.∠BAC=∠D. 又.∠B=∠DCE=90°，AC=DE, ∴.△ABC≌△DCE(AAS). (2).△ABC≌△DCE, ∴.EC=BC=5. ,AC=12,∠ACE=90°， ∴.AE=√52+122=13. 全等三角形的判断与性质（三） 证明：(1)四边形BEAC是平行四边形 理由如下： ,△EAD为等腰三角形且∠EAD=90°， ∴.∠E=45° B是DE的中点， .AB⊥DE, ∴.∠BAE=45° ,△ABC是等腰三角形，∠BAC=90°， ∴.∠CBA=45°， .∠BAE=∠CBA, ∴.BC∥EA, 又.AB⊥DE ∴.∠EBA=∠BAC=90° .BE∥AC. ∴.四边形BEAC是平行四边形 (2)①.△AED和△ABC为等腰三角形， ∴.AE=AD,AB=AC, ,∠EAD=∠BAC=90, ∴.∠EAD+∠DAB=∠BAC+∠DAB, 即∠EAB=∠DAC, ∴.△AEB≌△ADC, .EB=DC; ②延长FG至点H,使GH=FG 8 H ,G是EC中点， ∴.EG=CG. 又.∠EGH=∠FGC, ∴.△EHG≌△CFG, .∠BFC=∠H,CF=EH. CF=CD, .BE=CF, ∴.BE=EH, ∴.∠EBG=∠H, ∴.∠EBG=∠BFC. 全等三角形的判断与性质（四）】 ∠A=∠A, 1.证明：在△ACD和△ABE中 AC=AB, ∠C=∠B, ∴.△ACD≌△ABE(ASA). ∴.AD=AE 2.证明：在△ADC和△BCD中， rAD =BC, .DC=CD,∴.△ADC≌△BCD(SSS). LAC=BD. .∠DAC=∠CBD 3.证明：.DE⊥AC,DF⊥AB, .∠DEC=∠DFB=90°. DE DF, 在△DEC和△DFB中， ∠DEC=∠DFB, CE=BF, .△DEC≌△DFB(SAS), ∴.∠B=∠C 全等三角形的判断与性质（五）】 1.证明：，DE∥AC, .∠EDB=∠BAC. 又.BD=CA,DE=AB, ∴.△DEB≌△ABC(SAS). 2.证明：，BE⊥AD,CF⊥AD, ∴.∠BEA=90°，∠AFC=90°， ∴.∠BEA=∠AFC. ,∠BAE+∠CAF=90°， ∠C+∠CAF=90° .∠BAE=∠C, 在△ABE和△CAF中， r∠BAE=∠C, ∠BEA=∠AFC, AB CA, ∴.△ABE≌△CAF(AAS), ∴.AF=BE. 3.解：(1)证明：由题意知，AB=BC,∠ABM= ∠C, .在△ABM和△BCN中， rAB=BC, ∠ABM=∠C, BM=CN. ∴.△ABM≌△BCN(SAS). (2).·△ABM≌△BCN, .∠BAM=∠CBN. :∠BAM+∠ABP=∠APN ∴.∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC= (5-2)×180 -=108°. 5 即∠APN的度数为108°， 全等三角形的判断与性质（六） 解：(1)①全等，理由如下： 在等腰Rt△ADC中，AD=CD,∠ADC=90°， 在正方形DEFG中，GD=ED,∠GDE=90°. 又.：∠ADE+∠EDC=90°，∠ADE+∠ADG =90°， ∴.∠ADG=∠CDE. 在△AGD和△CED中， rAD=CD, ∠ADG=∠CDE, GD=ED, ∴.△AGD≌△CED(SAS): ②如图，过点A作AM⊥GD于点M. 易知DE=GD=GF=EF=2. 由①得△AGD≌△CED, ..AG=CE. 参考答案 又CE=CD,AD=CD, ∴.AG=AD=4 AMLGD.*.GM-7CD-1. 在Rt△AGM中，由勾股定理得AM= √AG-GM=√42-12=15， ∴cos∠GMM=AM-i⑤ AG 4 .FG∥AM, .∠GAM=∠AGF, _15 COSZAGF=GH=4 ..GH= FG 28√15 COS LAGF 15 15 4 (2)①.△AGD≌△CED, ∴.∠GAD=∠ECD. 又.∠ECD+∠ECA+∠DAC=90°， .∴.∠GAD+∠ECA+∠DAC=90°， ∴.∠APC=90°，即AG⊥CP. ②.∵∠APC=90°， ∴.PC=AC·sin∠PAC, ∴.当∠PAC最大时，PC最大 :∠DAC=45°，是定值， ∴，∠GAD最大时，∠PAC最大，PC最大 设点D到AG的距离为h,则h≤2， 咖∠PMD=品=冬≤分 得∠GAD≤30°，即当GD⊥AG时，∠GAD最 大，为30（如图所示）. P(FY D 此时AG=√AD2-GD2=√42-22=25. 易知点F与点P重合， ∴.CP=CE+EF=AG+EF=2√3+2， ∴线段PC的最大值为2√3+2. 知识点6勾股定理（一） 1.解：如图所示，过点A作AM⊥BC于点M. 在等腰直角△ABC中，AB=AC=√2， .∴.AD=BC=2,AM=MC=1. 在Rt△ADM中，MD=√AD2-AM2=3. 州9申考几何题典型题专项训练 知识点⑤全等三角形的判断与性质（一） 几何大冲关 (难度等级★) 1.（云南期末)如图，已知AD=BC,BD=AC.求证：∠ADB=∠BCA. 2.(广东广州期末)如图，AB=AD,∠BAC=∠DAC=25°，∠D=80°.求∠BCA的度数. B 3.(陕西月考)如图，BD∥AC,BD=BC,点E在BC上，且BE=AC.求证：∠D=∠ABC. 16◆ 第一章 图形的认识 全等三角形的判断与性质（二） 几何大冲关 (难度等级★★) 1.（(云南昆明模拟)风筝起源于中国，至今已有2300多年的历史，如图，在小明设计的“风筝”图 案中，已知AB=AD,∠B=∠D,∠BAE=∠DAC.求证：AC=AE. 2.(福建龙岩模拟)如图，点D,E,F,B在同一直线上，DE=BF,CE=AF,EC∥AF (1)求证：AB=CD; (2)若∠A=30°，∠D=40°，求∠DEC的度数 3.(浙江温州月考)如图，在△ABC和△DCE中，AC=DE,∠B=∠DCE=90°，点A,C,D依次在 同一直线上，且AB∥DE. (1)求证：△ABC≌△DCE; (2)连接AE,当BC=5,AC=12时，求AE的长 17 中考见何题典型题专项训练 全等三角形的判断与性质（三） 几何大冲关 (难度等级★★★) (山东泰安模拟)若△ABC和△AED均为等腰三角形，且∠BAC=∠EAD=90°. 图1 图2 (1)如图1，点B是DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由； (2)如图2，若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F,使CF=CD.求证： ①EB=DC,②∠EBG=∠BFC. 18◆ 第一章图形的认识 全等三角形的判断与性质（四） 几何大冲关 (难度等级★) 1.(吉林模拟)如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC,∠B=∠C.求证：AD=AE. 2.(云南模拟)如图，在四边形ABCD中，AD=BC,AC=BD,AC与BD相交于点E.求证：∠DAC= ∠CBD. 3.（福建模拟)如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且DE= DF,CE=BF.求证：∠B=∠C. W19 中考见何题典型题专项训练 全等三角形的判断与性质（五） 几何大冲关 (难度等级★★) 1.(吉林月考)如图，在△ABC中，AB>AC,点D在边AB上，且BD=CA,过点D作DE∥AC,并截 取DE=AB,且点C,E在AB同侧，连接BE.求证：△DEB≌△ABC. 2.(四川南充期中)如图，∠BAC=90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB=AC,BE⊥AD于点E, CF⊥AD于点F.求证：AF=BE. 3.(湖北期中)如图，点M,N分别是正五边形ABCDE的边BC,CD上的点，且BM=CN,AM交 BN于点P. (1)求证：△ABM≌△BCN; (2)求∠APN的度数. 20◆ 第一章 图形的认识 全等三角形的判断与性质（六） 几何大冲关 (难度等级★★★) (湖南郴州期末)如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC=90°，AD=4.点E是AD的中点，以 DE为边作正方形DEFG,连接AG,CE.将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，旋转角为 (0°<a<90). 图1 图2 图3 (1)如图2，在旋转过程中， ①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由. ②当CE=CD时，AG与EF交于点H,求GH的长. (2)如图3，延长CE交直线AG于点P. ①求证：AG⊥CP. ②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明 理由. 州21