第三章 空间与图形 知识点4 锐角三角函数-【荣恒专项】2026-2027学年九年级全一册数学——几何典型题专项训练

.EC_AC ·EC=A'C, 0A报C0--f CD DE EC ∴.△DCE∽△D'C'E' ∴∠CED=∠CED' DE∥BC,∴.∠CED+∠ACB=180. 同理∠CED'+∠A'CB′=180°， ∴.∠ACB=∠A'C'B', 又%器 .△ABC∽△A'B'C, 相似三角形的性质与判定（六） 解：问题背景 证明：，△ABC∽△ADE, 小8-伦∠B4C=∠nME, ÷AC-B,∠BAD=LCME, AB AD .∴.△ABD∽△ACE. 尝试应用 如图，连接CE,设BD=t,则AD=√3BD=√3t. 依题意，得△ADE∽△ABC. 由(1)得△ACE∽△ABD, 六L4CE=2B=30"需-6-9 cE-9m-9. 31 3: CE .∠ADE=∠ACE=30°，∠AFD=∠EFC, △A0F△BC2E-2=3 D 拓展创新√5. 详解：如图，在AD的右侧作∠DAE=∠BAC, AE交BD延长线于E点，连接CE, ,∠ADE=∠BAD+∠ABD,∠ABC=∠ABD +∠CBD,∠BAD=∠CBD=30°， 参考答案 ∴.∠ADE=∠ABC, 又.∠DAE=∠BAC, △C△M8光-8e 又，∠DAE=∠BAC,.∠BAD=∠CAE, ∴.△BAD∽△CAE, .BD_ABAD42√3 ·CEACAE25=3, 设CD=x,在Rt△BCD中， 由于∠CBD=30°， ∴.BD=3x,BC=2x,∴.CE= 2 .在Rt△CDE中，DE= AB BC AD DE' 5D=5. 42x4 AD 2 B 知识点4锐角三角函数（一） 1.解：(1)证明：如图，连接OE. CE平分∠ACB,∴.∠ACE=∠BCE. 又.OE=OC,∴.∠ACE=∠OEC, ∴.∠BCE=∠OEC,∴.OE∥BC, ∴.∠AE0=∠B. 又.∠B=90°，∴.∠AE0=90°， .OE⊥AE,.AE是⊙O的切线. E (2)解法一：CD是⊙O的直径， ∴.∠DEC=90° 又.∠DCE=∠ECB,∴.△DCE∽△ECB, 43 中考几何题典型题专项训练 BE、CE ·DE-CD :∠A=30°， .∠DCE= 3L4CB=7x60=30, CE ÷CD=cosDCE=cos30°≤3 2 能- 解法二：设OD=OC=r,在Rt△AOE中， ∠A=30°，0E=r,∴.A0=2r, 即D为A0的中点DE=2A0=r 在Rt△ABC中，AC=3r,∠A=30°， .BC= 3 在△BCE中，BC-之，∠ncE=30 BE=BC·tan30=3Tx3=3, `3=2', .BE-3 DE=2 2.解：(1)证明：如图，连接0C. .AC平分∠DAB,∴.∠DAC=∠CAB. .0A,0C是⊙0的半径，.OA=0C, ∴.∠OAC=∠OCA,∴.∠DAC=∠OCA, ∴.AD∥CO, ∴.∠ADC=∠OCE. .AD⊥CD, ∴.∠ADC=90° .∴.∠0CE=90°. ∴.OC⊥CE, ,OC是⊙0的半径， .CE是⊙O的切线. (2)如图，连接BC ·∠DAC=LCAB,cos∠CAB=4 , Cos DAC=4 5 在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=4, .AC=AD 4 cos L DAC=4 =5. 5 ,AB为⊙0的直径，∴.∠ACB=90° .AB=AC=5_25 c0s∠CAB-4=4 449 锐角三角函数（二） 1.解：(1)证明：如图，过点O作OH1AB于点H. D 0 C B ,∠ACB=90°，.OC⊥BC :B0为△ABC的角平分线，OH⊥AB, ∴.0H=0C, 即OH为⊙0的半径， :OH⊥AB,.AB为⊙O的切线. (2)设⊙0的半径为3x,则0H=0D=0C =3x. 3 在Rt△AOH中，：tanA=4? 小册小箭-24=4 ∴.A0=W√0H+AH=√(3x)2+(4x)2 =5x. AD=2,.A0=0D+AD=3x+2, .3x+2=5x, .x=1, ∴.0A=3x+2=5,0H=0D=0C=3x=3, ∴.AC=OA+0C=5+3=8. 在R△ABC中，：tanA=AC, BC 3 ∴.BC=AC·tanA=8×4=6, ·.在Rt△B0C中，B0=√OC2+BC= √32+6=35. 2.解：(1)如图，连接0B,AB与⊙0相切于 点B, ∴.OB⊥AB mA=22A=30, ∴.∠A0B=60°，则∠B0D=120° :点E在BCD上，∠BED=}∠BOD=60, B (2)证明：如图，连接OF,由(1)得OB⊥ AB,∠B0D=120. OB =3,BF =3 .tan LBOF =BF OB =5, ∴.∠B0F=60°，∴.∠D0F=60°. .OB=OD. 在△BOF与△DOF中，{∠BOF=∠DOF, LOF=OF, .△BOF≌△DOF(SAS), ∴.∠ODF=∠OBF=90°. 又点D在⊙O上，故DF与⊙O相切. 锐角三角函数（三） 解：(1)证明：如图，连接OD .⊙0与边AB相切于D,∴.∠AD0=90°， .OC=OD,AC=AD,AO=AO, ∴.△AC0≌△AD0(SSS), .∠AC0=∠AD0=90°，.0C⊥AC, 又.OC为半径，.AC是⊙0的切线. (2):AB=10,amB=号，∠BCA=90, ∴.AC=8,BC=6, .sin B=4C4 AB=5 设C0=r,则D0=r, ∠0DB=90°，sinB=4 , ·0B=OD=5 sin B4, 参考答案 .BC=0B+CO= 5 47+r=6, r=骨，即©0的半径为号 (3)BD +CE=AF. 证明：如图，连接ED,由(1)得∠CAE= LDAE, 又.AC=AD,AE=AE, .△ACE≌△ADE(SAS), ∴.CE=DE. :F为AB的中点，∠ACB=90°， .AF=CF =BF, ∴.∠CAF=∠ACF, ∴.∠CFD=∠CAF+∠ACF=2∠ACF. ,∠ACB=90°，∴.∠BCF=90°-∠ACF. ,OC=OE,∴.∠BCF=∠OEC=90°- ∠ACF. ,△ACE≌△ADE, ∴.∠AEC=∠AED,∴.∠OEC=∠OED=90°- ∠ACF, ∴，∠DEF=180°-∠OEC-∠0ED=180°- (90°-∠ACF)-(90°-∠ACF)=2∠ACF, ∴.∠CFD=∠DEF,.DE=DF, ∴.BD+CE=BD+DF=BF,∴.BD+CE=AF C 0 B 知识点5解直角三角形及其应用（一） 1.解：根据题意，得∠EDA=36°，BE=CD= 1.5m,DE=CB=35m. 在Rt∠ADE中，∠AED=90°， EDA-能， 5=07, .AE≈25.55(m), .AB=AE+BE≈25.55+1.5≈27(m). ∴.塔AB的高度约为27m. 2.解：设CD=xm, 在Rt△BCD中， 由m369-品得0-075： 45中考见何题典型题专项训练 知识点④锐角三角函数（一） 几何大冲关 (难度等级★) 1.(宁夏模拟)如图，在△ABC中，∠B=90°，点D为AC上一点，以CD为直 径的⊙O交AB于点E,连接CE,且CE平分∠ACB. (1)求证：AE是⊙0的切线； D (2)连接DB,者LA=30,求8能 2.(云南模拟)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE,重足为D,AC平分∠DAB. (1)求证：CE是⊙0的切线； D B 0 (2)若AD=4,cos∠CAB=号，求AB的长 80◆ 第三章空间与图形 锐角三角函数（二） 几何大冲关 (难度等级★★) 1.(辽宁营口模拟)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，B0为△ABC的角平分线，以点O为圆心， OC为半径作⊙O,与线段AC交于点D. (1)求证：AB为⊙O的切线； B (2)若mA=子，AD=2,求B0的长。 2.(福建模拟)如图，AB与⊙0相切于点B,AO交⊙0于点C,AO的延长线交⊙0于点D,E是 B0D上不与R.D重合的点sinA=2 (1)求∠BED的大小； D (2)若⊙0的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF=3√3，求证：DF与⊙0相切. 481 中考几何题典型题专项训练 锐角三角函数（三） 几何大冲关 (难度等级★★★)】 (四川成都模拟)如图，在△ABC的边BC上取一点O,以O为圆心，OC为半径画⊙O,⊙O与边 AB相切于点D,AC=AD,连接OA交⊙O于点E,连接CE,并延长交线段AB于点F. (1)求证：AC是⊙0的切线； D B (2)若AB=10,anB=号，求⊙0的半径： (3)若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由. 82◆