第一章 图形的认识 知识点4 与三角形有关的计算-【荣恒专项】2026-2027学年九年级全一册数学——几何典型题专项训练

BF2 =EF2 证明：延长ED至点G,使得DG=DE,连接 BG,FG. ·DE⊥DF,∴.FE=FG D为AB的中点，.AD=BD, ,∠ADE=∠BDG, ∴.△ADE≌△BDG(SAS), ∴.∠AED=∠BGD,AE=BG,∴.CE∥BG, .∴.∠GBF=∠ACB=90°. 在Rt△GBF中，BG2+BF2=GF2， ∴.AE2+BF2=EF2 知识点4与三角形有关的计算（一） 1.证明：'∠ABE=∠ACD,∠DFB=∠EFC, BD=CE, ∴.△DFB≌△EFC(AAS). ∴.FB=FC,∴.∠FBC=∠FCB. ∴.∠FBC+∠ABE=∠FCB+∠ACD, 即∠ABC=∠ACB. ∴.△ABC是等腰三角形 2.解：(1)证明：DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.∠BED=∠CFD=90° D是BC的中点，∴.BD=CD. ∠BED=∠CFD, 在△BED和△CFD中，{∠B=∠C, BD =CD. ∴.△BED≌△CFD(AAS),∴.DE=DF. (2),∠BDE=40°，∴.∠B=50°， ∴.∠C=50°， .∠BAC=180°-∠B-∠C=80°. 3.解：(1)如图，△ABC即为所求. (2)如图，△ACD即为所求. BD=√12+22=√5. 与三角形有关的计算（二） 1.解：(1)证明：AB=AC,∴.∠B=∠C rAB=AC, 在△ABD和△ACE中 ∠B=∠C, BD =CE, ∴.△ABD≌△ACE(SAS),∴.AD=AE (2).AD=AE,∴.∠ADE=∠AED. .∠AED是△AEC的外角， 参考答案 ∴.∠AED=∠C+∠EAC. .∠DAC=∠DAE+∠EAC,∠C=∠DAE, .∠AED=∠DAC,∴.∠ADE=∠DAC. 同理∠AEB=∠BAE. .BF∥AC,∠C=45°， .∠FBD=45°，∠F=∠DAC. ∠BDF=∠ADE,∠F=∠BDF. ∴.满足条件的等腰三角形有△ABE, △ACD,△DAE和△DBF. 2.解：(1)证明：在△ADB和△ADC中， rAD =AD, ∠ADB=∠ADC, BD CD, ∴.△ADB≌△ADC(SAS),.∠B=∠ACB. (2)在Rt△ADB中， BD=√AB2-AD2=W52-4=3, .'BD CD=3,AC =AB=CE=5, .BE=2BD+CE=2×3+5=11. 在Rt△ADE中， AE=√AD2+DE=√42+82=45， CAABE =AB+BE +AE=5+11+45=16 +45, S6aE=2BE·A0=7x1x4=2. 与三角形有关的计算（三） 解：(1)①证明：，点B关于CN的对称点为点D, ∴.△ABC≌△ADC(SSS), ∴.∠ABC=∠ADC,∠ACB=∠ACD=45°， ∴.∠BCD=90. AF =AB, ∴.∠ABC=∠AFB,∴.∠AFB=∠ADC :∠AFB+∠AFC=180°， ∴.∠ADC+∠AFC=180°， ∴.∠FAD=360°-（∠AFC+∠D+∠FCD) =90°， ∴.AF⊥AD ②过A作AP⊥AC交CM于P, MP B F ∴.△APC是等腰直角三角形，∠PAC=90°， AP=AC. ∠PAF+∠FAC=∠DAC+∠FAC=90°， 5 中考几何题典型题专项训练 ∴.∠PAF=∠DAC, 又.∠AFB=∠ADC ∴.△APF≌△ACD(AAS),.PF=CD. ,在等腰直角三角形APC中，PF+CF=PC =√2AC. ∴.CD+CF=2AC (2)CD-CF=√2AC. 详解：当90°<∠BAC<135时，如图，过A作 AP⊥AC交CM于P, D MB P C .△APC是等腰直角三角形，∠PAC=90°， AP=AC. ,∠PAF-∠FAC=∠DAC-∠FAC=90°， ∴.∠PAF=∠DAC, 又易知∠AFB=∠ADC, .△APF≌△ACD, ∴.PF=CD. ,·在等腰直角三角形APC中，PF-CF=PC =√2AC, .CD-CF=√2AC. 与三角形有关的计算（四）】 1.解：：△ABC是等边三角形， .AB=BC,∠ABC=60°， 又BD⊥AC, ÷∠DBC=∠ABD=3×60=300, DB=DE, ∴.∠E=∠DBC=30° 2.解：如图所示，连接DE. D G B .∠C=60°，EF⊥AC,∴.∠FEC=30°. ,BD=BE,∠B=60°， ∴.△BDE为等边三角形 6物 .∠DEB=60°，DE=2, ∴.∠DEF=180°-∠FEC-∠DEB=90°， △DEG为直角三角形. 在R△EFC中，BG=8F=EC·sm∠C ∴.在Rt△DEG中，DG=√DE2+EG= 2+ 2 2 3.解：(1)在等腰直角三角形EDF中，∠EDF =90°， ∴.∠ADE+∠ADF=90° ,∠ACB=90°， ∴.∠DFC+∠ADF=∠ACB=90°， ∴.∠ADE=∠DFC. (2)连接AE. D E 由平移的性质得AE∥BF,AE=BF. ∴.∠EAD=∠ACB=90 又，∠DCF=180°-∠ACB=90°， ∴.LEAD=∠DCF. △EDF是等腰直角三角形， ∴.DE=DF. 由(1)得∠ADE=∠DFC, ∴.△AED≌△CDF(AAS), ∴.AE=CD,∴.CD=BF. 与三角形有关的计算（五） 1.解：(1)过点A作AE⊥CD于点E,如图所 示，则∠AEC=∠AED=90°. A C E ∠ACD=60°， .∠CAE=90°-60°=30°， B=4C=2m,AE-50E=及6m, DE=GD-CB=(+6)-子2= 子6km, ∴.AE=DE,∴.△ADE是等腰直角三角形， A0=2AB=2×子6-3gkm 2 (2)△ADE是等腰直角三角形， ∴.∠ADE=45. .∠CDB=135°， .∠ADB=135°-45°=90°， 在Rt△ABD中，AB=√AD2+BD2= 即隧道AB的长度为3km. 2.解：(1).AB=AC,∠BAC=40°， 1 ∠ABC=2×(180°-40）=2×140° =70° :BD平分∠ABC, ∠ABD=∠DBC=7∠ABC=7×70 =35 .AF⊥AB,∴.∠BAF=90°， ∴.∠AFE=∠ABD+∠BAF=35°+90° =125. (2).AE∥BC,∴.∠E=∠DBC. r∠E=∠DBC, 在△ADE和△CDB中，{∠ADE=∠CDB, LAD =CD, .△ADE≌△CDB(AAS),.AE=CB. :∠E=∠DBC,∠ABD=∠DBC, .∠E=∠ABD, .AB=AE,∴.AB=BC, .AB=AC=BC,∴.△ABC是等边三角形， ∠ABC=60°，∴.∠ABF=30° :AD=DC=2,∴.AB=AC=4. 在Rt△ABF中，AF=AB·tan∠ABF=4× m30=4×9-4 与三角形有关的计算（六）】 解：(1)证明：△ABC是等边三角形， ∴.∠ABQ=∠CAP=60°，AB=CA 又，点P,Q的运动速度相同，.AP=BQ. rAB=CA. 在△ABQ和△CAP中， ∠ABQ=∠CAP, LBO=AP, ∴.△ABQ≌△CAP(SAS). 参考答案P (2)点P,Q分别在AB,BC边上运动的过程 中，∠QMC的大小不变 理由：△ABQ≌△CAP,∴.∠BAQ=∠ACP. :∠QMC是△ACM的外角， ∴.∠QMC=∠ACP+∠MAC=∠BAQ+ ∠MAC=∠BAC. .∠BAC=60°，.∠QMC=60. (3)当点P,Q分别在AB,BC的延长线上运动 时，∠QMC的大小不变.理由如下： 由(1)知△ABQ≌△CAP, ∴.∠BAQ=∠ACP. :∠QMC是△APM的外角， ∴.∠QMC=∠BAQ+∠APM, ∴.∠QMC=∠ACP+∠APM=180°-∠PAC =180°-60°=120°. 知识点5全等三角形的判断与性质（一） 1.证明：在△ABD和△BAC中， AD =BC, BD=AC, LAB=BA, .△ABD≌△BAC(SSS), ∴.∠ADB=∠BCA. 2.解：：∠DAC=25°，∠D=80°， ∴.∠DCA=180°-∠DAC-∠D=180°- 25°-80°=75. AB=AD, 在△ABC和△ADC中，· ∠BAC=∠DAC, LAC=AC, .△ABC≌△ADC(SAS), .∠BCA=∠DCA=75°. 3.证明：BD∥AC, ∴.∠EBD=∠C. BD =BC,BE=AC, .△EDB≌△ABC(SAS),∴.∠D=∠ABC. 全等三角形的判断与性质（二） 1.证明：.∠BAE=∠DAC, .∴.∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC, 即∠BAC=∠DAE, 在△BAC和△DAE中， r∠B=∠D, AB=AD, L∠BAC=∠DAE, ∴.△BAC≌△DAE(ASA), ∴.AC=AE. 2.解：（1)证明：：EC∥AF, 州7中考几何题典型题专项训练 知识点④与三角形有关的计算（一） 几何大冲关 (难度等级★) 1.(广东月考)如图，在△ABC中，点D,E分别是AB、AC边上的点，BD=CE, ∠ABE=∠ACD,BE与CD相交于点F.求证：△ABC是等腰三角形 B 2.(湖南衡阳月考)如图，在△ABC中，∠B=∠C,过BC的中点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分 别为E,F (1)求证：DE=DF; (2)若∠BDE=40°，求∠BAC的度数. 3.(黑龙江哈尔滨模拟)如图，在6×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，有线段AB, 点A,B均在小正方形的顶点上 (1)画一个以BC为底的等腰△ABC,使点C在小正方形的顶点上； (2)在(1)中△ABC内画一个以AC为底的等腰△ACD,使D在小正方形的顶点上，连接BD, 并直接写出线段BD的长 B 10◆ 第一章 图形的认识 与三角形有关的计算（二） 几何大冲关 (难度等级★★) 1.(黑龙江哈尔滨模拟)在△ABC中，AB=AC,点D,E在边BC上，BD=CE,连接AD,AE. (1)如图1，求证：AD=AE 图1 图2 (2)如图2，当∠DAE=∠C=45时，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F,在不添加任何 辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都 等于45. 2.（湖南长沙模拟)如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D,BD=CD,延长BC至点E,使得CE= CA,连接AE. (1)求证：∠B=∠ACB; (2)若AB=5,AD=4,求△ABE的周长和面积 州11 中考几何题典型题专项训练 与三角形有关的计算（三） 几何大冲关 (难度等级★★★)】 (北京模拟)已知∠MCN=45°，点B在射线CM上，点A是射线CN上的一个动点（不与点C重 合).点B关于CN的对称点为点D,连接AB,AD和CD,点F在直线BC上，且满足AF=AB.小 明在探究图形运动的过程中发现：AF⊥AD始终成立 (1)如图1，当0°<∠BAC<90时. ①求证：AF⊥AD; 图1图2（备用图）》 ②用等式表示线段CF,CD与CA之间的数量关系，并证明； (2)当90°<∠BAC<135时，直接用等式表示线段CF、CD与CA之间的数量关系是 12◆ 第一章 图形的认识 与三角形有关的计算（四） 几何大冲关 (难度等级★) 1.(北京月考)如图，已知△ABC是等边三角形，BD⊥AC于D,E是BC延长线上的一点，DB= DE.求∠E的度数 2.如图，在边长为4的等边△ABC中，点D,E分别为AB,BC的中点，EF⊥AC于点F,点G为EF 的中点.连接DG,求DG的长 3.(福建模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.线段EF是由线段AB平移得到的，点F在边 BC上，△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在AC的延长线上. (1)求证：∠ADE=∠DFC; (2)求证：CD=BF 州13 中考几何题典型题专项训练 与三角形有关的计算（五） 几何大冲关 (难度等级★★) 1.（(内蒙古包头模拟)某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C, D两个观测点，如图，测得AC的长为32km,CD的长为2(2+，6)km,BD的长为2km, ∠ACD=60°，∠CDB=135(A,B,C,D在同一水平面内) (1)求A,D两点之间的距离； (2)求隧道AB的长度. 2.(湖北荆门模拟)如图，在△ABC中，AB=AC,∠ABC的平分线交AC于点D,AE∥BC交BD的 延长线于点E,AF⊥AB交BE于点F (1)若∠BAC=40°，求∠AFE的度数； (2)若AD=DC=2,求AF的长， 14◆ 第一章 图形的认识 与三角形有关的计算（六） 几何大冲关 (难度等级★★★) (四川凉山州模拟)如图，点P,Q分别是等边三角形ABC的边AB,BC上的动点（端点除外）， 点P,点Q以相同的速度同时从点A,点B出发. 图1 图2 (1)如图1，连接AQ,CP.求证：△ABQ≌△CAP; (2)如图1，当点P,Q分别在AB,BC边上运动时，AQ,CP相交于点M,∠QMC的大小是否变化？ 若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数； (3)如图2，当点P,Q分别在AB,BC的延长线上运动时，直线AQ,CP相交于点M,∠QMC的大 小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数 415