第二章 圆知识点4 切线的判定与性质-【荣恒专项】2026-2027学年九年级全一册数学——几何典型题专项训练

中考几何题典型题专项训练 ∴.∠BOD=90°，.OD⊥BC,.DP∥BC. (2)证明：.DP∥BC,∴.∠ACB=∠P. 又：∠ACB=∠ADB,∴.∠P=∠ADB. 0D=0C,∴.∠0DC=45°， ∴.∠CDP=45°=∠BAD, ∴.△ABD∽△DCP. (3).'AB=5cm,AC=12cm,∠BAC=90°， ∴.BC=13cm. 在Rt△COD中， 由勾股定理，得CD=132 2 cm. 在Rt△BOD中， 由勾股定理，得BD=13V2 2 cm. △ABD∽△DCP,2=CP, AB BD 132 、5 132PCPC=169 2 10 2 知识点4切线的判定与性质（一）】 1.证明：：AB是⊙0的切线， ∴.∠OMA=∠OMB=90°， MA =MB, 在△AOM和△BOM中，∠OMA=∠OMB, LOM =OM, .△AOM≌△BOM(SAS), ∴.OA=OB. .0C,0D都是⊙0的半径，.0C=0D, ∴.OA-OC=OB-OD,即AC=BD. 2.解：(1)证明：如图，连接AD. .AB=AC,∠BAC=120°， ∴.∠B=∠C=30°. AD=BD,∴.∠BAD=∠B=30°， ∴.∠DAC=120°-30°=90°， ∴.AC是⊙D的切线. (2)如图，连接AE. .AD=DE,∠ADE=2∠B=60°， ∴.△ADE是等边三角形， ∴.AE=DE,∠AED=60°， ∴.∠EAC=∠AED-∠C=30°， ∴.∠EAC=∠C,∴.AE=CE=23, .DE=AE=23,∴.⊙D的半径为2√3， 28 切线的判定与性质（二） 1.解：(1)证明：如图，连接AD,OD. AB是⊙0的直径，∴.∠ADB=90°， .∠AD0+∠0DB=90°. DE是⊙O的切线，∴.OD⊥DE, .∠EDA+∠AD0=90°， ·.∠EDA=∠ODB. ,OD=OB,∴.∠ODB=∠OBD, ∴.∠EDA=∠OBD. AC=AB,AD⊥BC,∴.∠CAD=∠BAD ∠DBA+∠DAB=90°， ∴.∠EAD+∠EDA=90°， ∴.∠DEA=90°，.DE⊥AC. (2)∠ADB=90°，AB=AC,∴.BD=CD. .⊙0的半径为5，BC=16, .AC=10,CD=8, ∴AD=√AC2-CD2=√102-82=6. ADDCG DE, ·DE=4D.0C_6x8_24 AC -10-5 2.解：(1)证明：AB是⊙0的直径， ∴.∠ADB=∠ACB=90 BD =AC,AB=BA, ∴.Rt△ADB≌Rt△BCA(HL)· (2)如图，连接DC D OD⊥AC,.AD=DC,AD=DC △ADB≌△BCA, .'AD=BC, .AD=DC=BC, ∴.∠AOD=60°，∠ABD=∠DBC, :∠ABD=2A0D=30, ∴.∠ABC=∠DBC+∠ABD=2∠ABD=60° .AB=4, AC=AB·in60°=4x5=25. 2 (3)证明：如图，连接OC. D :BC=AB·cos60°=4×1 又BP=2,.BP=BC,∴.∠BCP=∠P. ,∠ABC=60°，∴.∠BCP=30° .OC=0B,∠ABC=60°， ∴.△OBC是等边三角形，∴.∠OCB=60°， ∴.∠OCP=∠OCB+∠BCP=60°+30°=90°， ∴.OCLPC,.PC是⊙0的切线， 切线的判定与性质（三） 解：(1)证明：如图，连接OC. B .:OC=OB,∴.∠OCB=∠OBC CP是⊙O的切线， ∴.∠OCP=90°，∴.∠PCG+∠OCG=90°. 弦ED垂直AB于点F,∴.∠GFB=90°， ∴.∠FGB+∠FBG=90°， ∴.LFGB=∠PCG. .∠FGB=∠PGC,∴.∠PCG=∠PGC, ∴.PC=PG (2)成立.证明如下： 如图，连接EC,CD. 参考答案 ED⊥AB,AB是⊙O的直径， .EB=BD,.LECB=∠BCD. .'∠CGP=∠E+∠ECB,∠GCP=∠PCD+ ∠BCD,且∠CGP=∠GCP, .∠PCD=∠E. 又∠P=∠P,∴.△PCD∽△PEC, …器0。 ∴.PC2=PD·PE. PC=PG,∴.PG2=PD·PE. (3)如图，连接OG,E0. B .G为BC的中点，OG⊥BC. 在Rt△B0G中，0G=5,inB=5 .OB=5,.BG=2W5. .·∠BFG=∠BG0=90°，∠B=∠B, △FGB∽△GOB,OB-GB GB FB 25 FB 525 FB=4,.0F=1. 在Rt△E0F中，OF=1,E0=5, .EF=2√6，∴.DE=4√6. 切线的判定与性质（四） 1.解：(1)证明：如图，连接0C ∠ADC=90°，∴.∠DAC+∠DCA=90°. AC平分∠DAB,∴.∠DAC=∠CAB, ∴.C为⊙0上一点，A0=0C, .∠CAB=∠AC0, '.∠DCA+∠ACO=∠DAC+∠DCA=90°， ∴.OC⊥DC,∴.DC为⊙0的切线. (2)如图，过点C作CE⊥AB,交AB于点 E,设⊙0的半径为m. AC平分∠DAB,∴.CD=CE=√3， :AC为公共边， ∴.Rt△ADC≌Rt△AEC(HL), .'AE =AD=3, 在Rt△COE中，OE=AE-OA=3-r,OC=r, 剩29 中考几何题典型题专项训练 .2=(3)2+(3-r)2,獬得r=2 .⊙0的半径为2. D 2.解：(1)证明：如图，连接OC,0C=0B, E ∴.∠1=∠2. .EF=EC,∠3=∠4. 又.∠5=∠4，.∠5=∠3. DE⊥AB,.∠2+∠5=90° ∴.∠1+∠3=90°，即EC⊥0C. .EC是⊙O的切线。 (2)AB是⊙0的直径， ∴.∠ACB=90°，OB=5,∴.AB=10, .AC=√AB2-BC2=√100-64=6. :COs∠ABC=BD-BC BE AB' 8=4BF=5,心CF=BC-BF3 .∠2+∠A=90°，∠2+∠5=90°， ∴.∠5=∠A, .∠A=∠5=∠4=∠3,0A=0C, ∴.∠6=∠A=∠5=∠4=∠3， ∴.△OAC∽△ECF, 0n-G...EC-0A CF5x35 EC CF AC=6=2 切线的判定与性质（五） 1.解：(1)证法一：如图，连接0C, B EC=EP,∴.∠ECP=∠P, 30 ,点E是线段OP的中点， .E0=EP,∴.EO=EC, ∴.∠EOC=∠EC0, 在△OPC中， ∠E0C+∠EC0+∠ECP+∠P=180°， ∴.2∠EC0+2∠ECP=180°， .∠EC0+∠ECP=90°， ∴.OC⊥PC, OC是⊙0的半径， ∴.PC是⊙0的切线. 证法二：如图，连接OC, :点E是线段OP的中点， .OE=PE, ·CE=PE,∴.OE=CE=PE, ∴.点O,C,P三点在以点E为圆心，E0为 半径的圆上， ∴.OP是⊙E的直径，∴.∠OCP=90°， 即OC⊥PC. .OC是⊙0的半径， ∴.PC是⊙O的切线. (2)BP=4,EB=1, ∴.EO=EP=BP+EB=5, ∴.0P=2E0=10, OC=0B=E0+EB=6, 在Rt△OPC中，由勾股定理得： PC=0P2-0C2=√102-62=8. 2.解：(1)证明：如图，连接OP,OB. 在△OAP和△OBP中，AP=BP,OA=OB, OP=OP. ∴.△OAP≌△OBP(SSS), ∴.∠OAP=∠OBP. PA是⊙O的切线， ∴.∠OBP=∠OAP=90 ∴.PB是⊙O的切线. (2)如图，连接BC,设OP交AB于点F, 设∠CPB=x,则LAPC=3x,∠APB=4x. PA,PB是⊙O的切线，∴.PO平分 ∠APB,∴.∠APO=∠BP0=2x, .∠CPO=∠CPB=x. .AC是⊙0的直径，∴.∠ABC=90° 又.PO垂直平分AB,.BC∥OP, ∴.∠OPC=∠PCB=∠CPB,BC=BP. 设OF=t,则BC=PB=2t. 易证△PB△P0R品路、 即PB2=PF·P0,(2t)2=PF·(PF+t). 解得PF=1+五或，五（不合 2 2 题意，舍去) 易证△PFE∽△CBE, :PE-F-7-1 CE CB 4 切线的判定与性质（六） 解：(1)证明：AC为直径， .∠ADC=90°， ∴.∠ACE+∠CAD=90°， 又∠DAE=∠ACE, .∴.∠DAE+∠DAC=90°， .OA⊥AP, .AP为⊙0的切线： (2)证明：如图，连接OB, A 公 PA,PB为圆O的切线，∴.PA=PB, 又OB=OA,OP=OP, ∴.△OBP≌△OAP(SSS), ∴.∠BOD=∠DOA, .AD=DB, .∠FAD=∠ACE, 在△AOB中，∠AOF=∠BOF,OA=OB, .OF⊥AB, 参考答案 .∠AFD=∠ADE=90° 又∠ACE=∠DAE, ∴.∠FAD=∠DAE, ∴.△FADM△DAE. (3)在R△0F1中，m∠0MP=7, 设OF=x,则AF=2x,OA=√5x,DF=0D- 0F=0A-0F=(5-1)x, 易知∠AP0=∠OAF,∴.AP=2OA=2√5x, 由(2)知∠FAD=∠ACE, ∴.tan∠ACE=tan∠FAD, 张- 2 又AC=20A=2V5x, .AE=(5-√5)x, 怎- 2√5x 2 知识点5正多边形与圆（一） 1.证明：.ABCDE是正五边形， ·∠A=(5-2)·1800 5 =108°=∠ABC= ∠c. 又BC=CD, ∠CBD=∠CDB=180°，108°=36， 2 ∴.∠ABD=108°-36°=72°， ∴.∠A+∠ABD=108°+72°=180°， ∴.AE∥BD. 2.解：如图，连接OC,OD. B :五边形ABCDE是正五边形， ∠C0D=360° 5 72°， ∠cPD=7∠c0D=360, ∴.90°-36°=54°， ∴.∠CPD的余角的度数为54°， 3.解：如图，连接BD. 31第二章圆 知识点④切线的判定与性质（一） 几何大冲关 (难度等级★) 1.如图，OM是⊙0的半径，过点M作⊙0的切线AB,且MA=MB,OA,OB分 别交⊙0于C,D两点.求证：AC=BD. 0 2.(甘肃武威月考)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和 点B且与BC边相交于点E. (1)求证：AC是⊙D的切线； D (2)若CE=2√3，求⊙D的半径. 453 中考几何题典型题专项训练 切线的判定与性质（二） 几何大冲关 (难度等级★★) 1.(山东菏泽月考)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O与BC相交于点D,过点D作 ⊙O的切线交AC于点E. (1)求证：DE⊥AC; (2)若⊙0的半径为5，BC=16,求DE的长 2.(贵州遵义月考)如图，AB是⊙O的直径，弦AC与BD交于点E,且AC=BD,连接AD,BC (1)求证：△ADB≌△BCA; D B (2)若OD⊥AC,AB=4,求弦AC的长； (3)在(2)的条件下，延长AB至点P,使BP=2,连接PC.求证：PC是⊙O的切线. 54◆ 第二章圆P 切线的判定与性质（三） 几何大冲关 (难度等级★★★) (黑龙江大庆模拟)如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，弦ED垂直AB于点F,交BC 于点G,过点C作⊙O的切线交ED的延长线于点P. (1)求证：PC=PG; (2)判断PG=PD·PE是否成立？若成立，请证明该结论； (3)若G为BC的中点，0G=5,inB=5,求DE的长 5 455 中考几何题典型题专项训练 切线的判定与性质（四） 几何大冲关 (难度等级★) 1.(湖南长沙模拟)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂 足为D,AC平分∠DAB. (1)求证：DC为⊙O的切线； (2)若AD=3,DC=√3，求⊙0的半径. 2.(湖南常德月考)如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB 于D,DE交BC于F,且EF=EC. (1)求证：EC是⊙0的切线： B E (2)若BD=4,BC=8,圆的半径OB=5,求切线EC的长. 56◆ 第二章圆P 切线的判定与性质（五） 几何大冲关 (难度等级★★) 1.(云南昆明模拟)如图，点P是⊙O的直径AB延长线上的一点(PB<OB),点E是线段OP的 中点 (1)尺规作图：在直径AB上方的圆上作一点C,使得EC=EP,连接EC, PC(保留清晰作图痕迹，不要求写作法)，并证明PC是⊙O的切线； 0 EB P (2)在(1)的条件下，若BP=4,EB=1,求PC的长. 2.如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦连接PB,PC,PC交AB于点E,且PA= PB. (1)求证：PB是⊙O的切线； B (2)若LAPC=3∠BPC,求瓷的值 457 中考几何题典型题专项训练 切线的判定与性质（六） 几何大冲关 (难度等级★★★)】 (广西模拟)如图，在△ACE中，以AC为直径的⊙O交CE于点D.连接AD,且∠DAE=∠ACE,连 接OD并延长交AE的延长线于点P,PB与⊙O相切于点B. (1)求证：AP是⊙0的切线； D (2)连接AB交OP于点F,求证：△FAD∽△DAE; (3)若am∠0AP=2,求5的值， 58◆ 第二章 圆 知识点⑤正多边形与圆（一） 几何大冲关 (难度等级★) 重点题讲解 @扫码 1.(福建福州模拟)如图，ABCDE是⊙O的内接正五边形，求证：AE∥BD 改 B E 0 2.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,P为DE上的点（点P不与点D,E重合），求∠CPD的余角 的度数 B 3.如图，⊙O的内接正方形ABCD,E为边CD上一点，且DE=CE,延长BE交⊙O于点F,连接 FC,若正方形边长为1，求弦FC的长. 0 459