第三章 空间与图形 知识点3 相似三角形的性质与判定-【荣恒专项】2026-2027学年九年级全一册数学——几何典型题专项训练

申考几何题典型题专项训练 知识点③相似三角形的性质与判定（一） 几何大冲关 (难度等级★) 1.（北京朝阳期中)如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AC于 点E.求证：∠BAD=∠CDE. 2.（江西南昌期中)如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC=∠ACD. (1)求证：△ABC∽△ACD; (2)若AD=2,AB=8,求AC的长. 3.(浙江杭州期末)如图，在△ABC中，点D,E,F分别在AB,BC,AC边上，DE∥AC,EF∥AB. (1)求证：△BDE∽△EFC; (2)设45、1 FC2 ①若BC=12,求线段BE的长； ②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积 74◆ 第三章 空间与图形 相似三角形的性质与判定（二） 几何大冲关 (难度等级★★) 1.(江苏苏州期末)如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE,垂足为F. (1)求证：△ABE∽△DFA; (2)若AB=6,BC=4,求DF的长 2.(上海静安期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AC与BD相交于点O,点E在线段OB 上，AE的延长线与BC相交于点F,OD2=OB·OE. (1)求证：四边形AFCD是平行四边形； (2)如果BC=BD,AE·AF=AD·BE,求证：△ABE△ACD 75 中考几何题典型题专项训练 相似三角形的性质与判定（三） 几何大冲关 (难度等级★★★) 如图，在△ABC中，AB>AC,AD平分∠BAC交BC于点D,点E,点F分别是AB,AC上的点，AD 与EF交于点P. 图1 图2 (1)如图1，若∠AFE=∠B,求证：AP·AB=AD·AF; (2)在(1)的条件下，若邵号，4B=2,点E为AB的中点，求4C的长： (3)如图2，连接BP,若EF⊥AD,BP平分∠ABC,BE=5,CF=2,求EF的长， 76◆ 第三章空间与图形 相似三角形的性质与判定（四） 几何大冲关 (难度等级★) 1.(湖北黄冈期末)如图，在△ABC和△DEC中，∠A=∠D,∠BCE=∠ACD. (1)求证：△ABC∽△DEC; (2)若SA4BC:SADEC=4:9,BC=6,求EC的长. 2.如图，在锐角△OAB中，点M,N分别在边OB,OA上，连接MN,OG⊥AB于点G,OH⊥MN于点 H,∠NOH=∠GOB. (1)求证：△OHW∽△OGB; (2)若0N=3.01=7,求8的值 州77 中考几何题典型题专项训练 相似三角形的性质与判定（五） 几何大冲关 (难度等级★★) 如图，在△ABC和△ABC中，D,D分别是AB,AB'上一点，北=1P D' )当=伦-8时，求证△AC一△ArC 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格. IDAD AD-AB AB AB AD AB 瓷福 △ABC∽△AB'C △MDC∽△A'D'C (2)当分-治-份时，判断△4BC与△BC是否相似，并说明理由。 78◆ 第三章空间与图形 相似三角形的性质与判定（六） 几何大冲关 (难度等级★★★)】 B B 图1 图2 图3 问题背景如图1，已知△ABC∽△ADE,求证：△ABD∽△ACE. 尝试应用如图2，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，AC与DE 相交于点R点D在BC边上0-5.求2的值 拓展创新如图3，D是△ABC内一点，∠BAD=∠CBD=30°，∠BDC=90°，AB=4,AC=23,直 接写出AD的长. 479郡0 知识点3相似三角形的性质与判定（一） 1.证明：：AB=AC,∴.∠B=∠C. ,AD⊥BC,DE⊥AC, ∴.∠ADB=∠DEC=90° .∴.△ADB△DEC,∴.∠BAD=∠CDE. 2.解：（1)证明：.'∠ABC=∠ACD,∠A= ∠A, ∴.△ABC△ACD. (2).'△ABC∽△ACD, ..AC_AB ·ADAC1 即AC、8 2AC' .∴.AC=4. 3.解：(1)证明：DE∥AC, ∴.∠BED=∠C, 又EF∥AB, ∴.∠B=∠FEC, ∴.△BDE∽△EFC. (2)①.EF∥AB, 甓兴 BE BC=12,12-BE=2BE=4. ②.EF∥AB,∴.△EFC∽△BAC, 照分既号 设△EFC的面积为S1,△ABC的面积为S, S14 .S1=20,.S=45, ∴.△ABC的面积是45. 相似三角形的性质与判定（二）】 1.解：(1)证明：，四边形ABCD是矩形， .∴∠B=90°，AD∥BC. .∠AEB=∠DAF, 参考答案 ,DF⊥AE, ∴.∠DFA=90°. .∠B=∠DFA. ·.△ABE∽△DFA. (2),△ABE△DFA, ·源a ABAE :BC=4,E是BC的中点， a服=2c=7x4-2 .在Rt△ABE中， AE=√AB2+BE=√62+22=2√I0. 又AD=BC=4, 原2项 4 .DF=610 5 2.证明：(1)：0D2=0B·0E,OD-0B OE OD .AD∥BC,∴.△AOD△COB, ÷8-8胎8%-8%4/cn 又AD∥CF, .四边形AFCD是平行四边形 (2):AF∥CD, ∴.∠AED=∠BDC,△BEF∽△BDC, BEBF ·BD-BC .'BC=BD,∴.BE=BF,∠BDC=∠BCD, ·∠AED=∠BCD. ,'∠AEB=180°-∠AED,∠ADC=180°- LBCD, ∴.∠AEB=∠ADC. AE·AF=AD·BE, AEAD BEAF .四边形AFCD是平行四边形， ..AF=CD, 能 ,又LAEB=LADC, ∴.△ABE△ACD 相似三角形的性质与判定（三） 解：(1)证明：AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠CAD, 41 中考几何题典型题专项训练 因为∠AFE=∠B, ∴.△AFP△ABD, 地0 AF AP ∴.AP·AB=AD·AF (2)AB=12,E为AB的中点， ∴.AE=BE=6, 由(1)可知△AFP∽△ABD, 证光品-号加=号=8， .·∠EAF=∠CAB,∠AFE=∠B, ∴.△AEF△ACB, :4g-4=82 AC=AB=12=3, c=3=9 (3)如图，连接CP,AP,BP分别平分 ∠BAC,∠ABC, B ·CP平分LACB,∠PAB= 2∠BAC, ∠PBA=3LABC, ∴.∠APB=180°-∠PAB-∠PBA =180-2(2CAB+∠CBA)=180- (180°-∠ACB) 1 =90°+2∠ACB=90°+∠FCP, EF⊥AP,AD平分∠BAC, ∴.∠APE=∠APF=90°，∠AEF=∠AFE, ∴.∠APB=90°+∠EPB,AE=AF, ∴.∠EPB=∠FCP,PE=PF, 同理：∠FPC=∠EBP, ∴.△BEP∽△PFC, BE PE 小PF=FC BE=5,CF=2, ∴.PE2=BE·FC=10, 42 PE>0, .PE=√10=PF, ∴.EF=2PE=2√10 相似三角形的性质与判定（四） 1.解：(1)证明：.·∠BCE=∠ACD, .∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE, ∴.∠ACB=∠DCE. 又.∠A=∠D,∴.△ABC∽△DEC. (2).'△ABC∽△DEC, SAABC= CB124 SADEC cE=9 又BC=6,.EC=9. 2.解：(1)证明：.∠0HN=∠0GB=90°， ∠NOH=∠GOB, ∴.△OHW△OGB. (2)由(1)得△OHW∽△OGB, ∴.∠ONH=∠B, 又.·∠AOB=∠MON, ∴.△OMN∽△OAB, MN OM 3 ABOA=7 相似三角形的性质与判定（五） 解：品治物：A=∠ (2)相似.理由如下：如图，过点D,D'分别作 DE∥BC,D'E'∥B'C',DE交AC于点E,D'E 交A'C于点E. E B D ∴DE∥BC,∴.△ADE∽△ABC, ADDEAE AB BCAC 同理粉瓷 又AD=4'D.DE=D'EDE-BC AB=A'B,·BC=B'C,·D'E=B'C 同理光-把1CC2g AC A'C' 即BC=E'c ACA'C" .EC_AC ·EC=A'C, 0A报C0--f CD DE EC ∴.△DCE∽△D'C'E' ∴∠CED=∠CED' DE∥BC,∴.∠CED+∠ACB=180. 同理∠CED'+∠A'CB′=180°， ∴.∠ACB=∠A'C'B', 又%器 .△ABC∽△A'B'C, 相似三角形的性质与判定（六） 解：问题背景 证明：，△ABC∽△ADE, 小8-伦∠B4C=∠nME, ÷AC-B,∠BAD=LCME, AB AD .∴.△ABD∽△ACE. 尝试应用 如图，连接CE,设BD=t,则AD=√3BD=√3t. 依题意，得△ADE∽△ABC. 由(1)得△ACE∽△ABD, 六L4CE=2B=30"需-6-9 cE-9m-9. 31 3: CE .∠ADE=∠ACE=30°，∠AFD=∠EFC, △A0F△BC2E-2=3 D 拓展创新√5. 详解：如图，在AD的右侧作∠DAE=∠BAC, AE交BD延长线于E点，连接CE, ,∠ADE=∠BAD+∠ABD,∠ABC=∠ABD +∠CBD,∠BAD=∠CBD=30°， 参考答案 ∴.∠ADE=∠ABC, 又.∠DAE=∠BAC, △C△M8光-8e 又，∠DAE=∠BAC,.∠BAD=∠CAE, ∴.△BAD∽△CAE, .BD_ABAD42√3 ·CEACAE25=3, 设CD=x,在Rt△BCD中， 由于∠CBD=30°， ∴.BD=3x,BC=2x,∴.CE= 2 .在Rt△CDE中，DE= AB BC AD DE' 5D=5. 42x4 AD 2 B 知识点4锐角三角函数（一） 1.解：(1)证明：如图，连接OE. CE平分∠ACB,∴.∠ACE=∠BCE. 又.OE=OC,∴.∠ACE=∠OEC, ∴.∠BCE=∠OEC,∴.OE∥BC, ∴.∠AE0=∠B. 又.∠B=90°，∴.∠AE0=90°， .OE⊥AE,.AE是⊙O的切线. E (2)解法一：CD是⊙O的直径， ∴.∠DEC=90° 又.∠DCE=∠ECB,∴.△DCE∽△ECB, 43