第二章 圆知识点3 圆内接三角形、四边形-【荣恒专项】2026-2027学年九年级全一册数学——几何典型题专项训练

中考几何题典型题专项训练 知识点③圆内接三角形、四边形（一） 几何大冲关 (难度等级★) 1.如图，四边形ABCD内接于⊙0，AB-17,CD=10,∠A=90°，c0sB= 5, 求AD的长 2.如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C. (1)求证：AE与⊙0相切于点A; (2)若AE∥BC,BC=2√7，AC=2√2，求AD的长. 50◆ 第二章 圆P 圆内接三角形、四边形（二） 几何大冲关 (难度等级★★) 1.(甘肃金昌模拟)如图，圆O是△ABC的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E, 且AE=AB. (1)求∠ACB的度数； (2)若DE=2,求圆O的半径 2.(江苏南京期末)如图，在△ABC中，AC=BC,D是AB上一点，⊙O经过点A,C,D,交BC于点 E,过点D作DF∥BC,交⊙O于点F,连接AF,CF,EF.求证： (1)四边形DBCF是平行四边形； (2)AF=EF. 451 中考几何题典型题专项训练 圆内接三角形、四边形（三） 几何大冲关 (难度等级★★★) 1.(江苏苏州月考)如图，四边形ABCD内接于⊙O,∠1=∠2，延长BC到点E,使得CE=AB,连 接ED. (1)求证：BD=ED; 0 (2)若AB=4,BC=6,∠ABC=60°，求tan∠DCB的值 2.（山东枣庄月考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC上，∠BAC的平分线交⊙O于点D, 连接BD,CD,过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P. (1)求证：DP∥BC; (2)求证：△ABD∽△DCP; (3)当AB=5cm,AC=12cm时，求线段PC的长. 52◆中考几何题典型题专项训练 ∴.∠CDE=∠BAC. 又，∠C=∠C,∴.△CDE∽△CAB, g=DE,即CE=0 CBAB' 2√1010’ .CE=2,..AE =AC-CE AB-CE=8. 8君 .设SAcE=5k,S△08r=6k,k>0. .BD =CD,..SACDE SABDE=5k. BD=CD,AO=BO, ∴.OD∥AC,∴.△OBF△ABE, S△0BE OB)2 1 SAABE (AB)=4, .SAABE=4S△0BF=24k, ∴.S△cB=SAcE+S△BDB+S△ABE=34k 由(2)知△CDE∽△CAB, SACDE CD 2 5 SACAB C 34 C-5=0 CA 34 34 BC=2CD,∴. BC170 AC-17 知识点3圆内接三角形、四边形（一）】 1.解：如图所示，延长AD,BC交于点E. D ∠A=90°，∴.∠BCD=90°，∠DCE=90 :∠B+∠E=90°，∠EDC+∠E=90°， .∠B=∠EDC 5,.Cos L EDC=DC_3 ·cosB= ED5' 解得ED-号 .cos B=- 3 5 amB-品-青解得M=17×号-祭 ,468 26 .AD-EA-ED-0-06 2.解：(1)证明：如图所示，连接OA,交BC于 点F, 则OA=OD,∴.∠D=∠DAO. ∠D=∠C,∴.∠C=∠DAO. ∠BAE=∠C,.∠BAE=∠DAO. ,BD是⊙O的直径，∴.∠DAB=90° 即∠DA0+∠OAB=90°. ∴.∠BAE+∠OAB=90°，即∠OAE=90° ∴.AE⊥0A,.AE与⊙0相切于点A. (2):AE∥BC,AE⊥OA,∴.OA⊥BC. .AB-AC.FB-7BC.AB=AC. BC=2√7，AC=22, ∴.BF=√7，AB=2V2. 在Rt△ABF中，AF=√AB2-BF2=1. 在Rt△OFB中，OB2=BF2+(OA-AF)2, 即0B2=7+(0B-1)2,解得0B=4, ∴.BD=8. .在Rt△ABD中， AD=WBD2-AB2=2√/14. 圆内接三角形、四边形（二） 1.解：(1)如图，连接OA. 设∠E=x, .AE=AB, ∴.∠ABE=∠E=x. .OA=OB, ∴.∠OAB=∠AB0=x,∠AOB=180°- ∠OAB-∠AB0=180°-2x. ,AE是圆O的切线， ∴.OA⊥AE,即∠OAE=90°. ∴.∠BAE=∠OAB+∠OAE=x+90° 在△ABE中，由三角形的内角和定理得： ∠ABE+∠E+∠BAE=180°， 即x+x+x+90°=180°， 解得x=30°， .∠A0B=180°-2x=180°-2×30° =120°. 由圆周角定理得： ∠ACB=7LA0B=7x120°=60， 故∠ACB的度数为60° (2)如图，连接AD 设圆O的半径为r,则OA=OD=r,BD=2r. DE=2, .OE=OD+DE=r+2. ,BD是圆O的直径， .∠BAD=90°. 由(1)可知，∠ABD=30°， 则在R△ABD中，AD=子BD=7,AB= √BD2-AD2=√5r, .AE=√3m 在Rt△AOE中，由勾股定理得：OA2+AE =0E2,即2+(3r)2=(r+2)2, 解得r-2或=-子（不符题意，舍去）。 则圆0的半径为2. D 2.证明：(1)AC=BC,∴.∠BAC=∠B. DF∥BC,∴.∠ADF=∠B. ,∠BAC=∠CFD, .∠ADF=∠CFD,.BD∥CF ,DF∥BC, .四边形DBCF是平行四边形 (2)如图，连接AE, :∠ADF=∠B,∠ADF=∠AEF, ∴.∠AEF=∠B. :四边形AECF是⊙O的内接四边形， .∴.∠ECF+∠EAF=180 .BD∥CF,∴.∠ECF+∠B=180°， .∴.EAF=∠B, ∴.∠AEF=∠EAF, ∴.AF=EF 参考答案 B C 圆内接三角形、四边形（三）】 1.解：(1)证明：四边形ABCD内接于⊙0， .∠A=∠DCE.∠1=∠2， .AD=DC, .AD=DC. AB=CE, 在△ABD和△CED中， ∠A=∠DCE, LAD CD, ∴.△ABD≌△CED(SAS).∴.BD=ED. (2)如图，过点D作DM⊥BE于点M. AB=4,BC=6,CE=AB, ∴.BE=BC+CE=10. BD=ED,DM⊥BE, c.BM-ME-2BE-5, ∴.CM=BC-BM=1. .∠ABC=60°，∠1=∠2，∴.∠2=30°， DM=BM·an∠2=5x5=53 3=3 ∴tan LDCB= DM_5√3 CM 3 0 2.解：(1)证明：如图，连接OD B D DP是⊙O的切线，∴.OD⊥DP. BC是⊙O的直径， .∠BAC=90. 'AD是∠BAC的角平分线， LBAD=7∠BMC=45, 27 中考几何题典型题专项训练 ∴.∠BOD=90°，.OD⊥BC,.DP∥BC. (2)证明：.DP∥BC,∴.∠ACB=∠P. 又：∠ACB=∠ADB,∴.∠P=∠ADB. 0D=0C,∴.∠0DC=45°， ∴.∠CDP=45°=∠BAD, ∴.△ABD∽△DCP. (3).'AB=5cm,AC=12cm,∠BAC=90°， ∴.BC=13cm. 在Rt△COD中， 由勾股定理，得CD=132 2 cm. 在Rt△BOD中， 由勾股定理，得BD=13V2 2 cm. △ABD∽△DCP,2=CP, AB BD 132 、5 132PCPC=169 2 10 2 知识点4切线的判定与性质（一）】 1.证明：：AB是⊙0的切线， ∴.∠OMA=∠OMB=90°， MA =MB, 在△AOM和△BOM中，∠OMA=∠OMB, LOM =OM, .△AOM≌△BOM(SAS), ∴.OA=OB. .0C,0D都是⊙0的半径，.0C=0D, ∴.OA-OC=OB-OD,即AC=BD. 2.解：(1)证明：如图，连接AD. .AB=AC,∠BAC=120°， ∴.∠B=∠C=30°. AD=BD,∴.∠BAD=∠B=30°， ∴.∠DAC=120°-30°=90°， ∴.AC是⊙D的切线. (2)如图，连接AE. .AD=DE,∠ADE=2∠B=60°， ∴.△ADE是等边三角形， ∴.AE=DE,∠AED=60°， ∴.∠EAC=∠AED-∠C=30°， ∴.∠EAC=∠C,∴.AE=CE=23, .DE=AE=23,∴.⊙D的半径为2√3， 28 切线的判定与性质（二） 1.解：(1)证明：如图，连接AD,OD. AB是⊙0的直径，∴.∠ADB=90°， .∠AD0+∠0DB=90°. DE是⊙O的切线，∴.OD⊥DE, .∠EDA+∠AD0=90°， ·.∠EDA=∠ODB. ,OD=OB,∴.∠ODB=∠OBD, ∴.∠EDA=∠OBD. AC=AB,AD⊥BC,∴.∠CAD=∠BAD ∠DBA+∠DAB=90°， ∴.∠EAD+∠EDA=90°， ∴.∠DEA=90°，.DE⊥AC. (2)∠ADB=90°，AB=AC,∴.BD=CD. .⊙0的半径为5，BC=16, .AC=10,CD=8, ∴AD=√AC2-CD2=√102-82=6. ADDCG DE, ·DE=4D.0C_6x8_24 AC -10-5 2.解：(1)证明：AB是⊙0的直径， ∴.∠ADB=∠ACB=90 BD =AC,AB=BA, ∴.Rt△ADB≌Rt△BCA(HL)· (2)如图，连接DC D OD⊥AC,.AD=DC,AD=DC △ADB≌△BCA, .'AD=BC, .AD=DC=BC, ∴.∠AOD=60°，∠ABD=∠DBC,