第二章 圆知识点6 与圆有关的计算-【荣恒专项】2026-2027学年九年级全一册数学——几何典型题专项训练

申考几何题典型题专项训练 知识点6与圆有关的计算（一） 几何大冲关 (难度等级★) 1.(辽宁模拟)如图，在△ABC中，点O是AB边上一点，OB=OC,∠B=30°， 过点A的⊙O切BC于点D,CO平分∠ACB. (1)求证：AC是⊙0的切线； 0 D (2)若BC=12,求⊙0的半径长； (3)求阴影部分的面积. 2.(吉林长春模拟)如图，E是Rt△ABC的斜边AB上一点，以AE为直径的⊙O与边BC相切于 点D,交边AC于点F,连接AD. (1)求证：AD平分∠BAC; (2)若AE=2,∠CAD=25°，求劣弧EF的长 62◆ 第二章 圆P 与圆有关的计算（二） 几何大冲关 (难度等级★★) 1.(黑龙江齐齐哈尔模拟)如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O,点A在⊙O上，点D在线段BC 的延长线上，AD=AB,∠D=30° (1)求证：直线AD是⊙O的切线； (2)若直径BC=4,求图中阴影部分的面积. 2.(江西模拟)如图1，四边形ABCD内接于⊙O,AD为直径，过点C作CE⊥AB于点E,连接AC (1)求证：∠CAD=∠ECB; 0 图1 图2 (2)若CE是⊙0的切线，∠CAD=30°，连接OC,如图2. ①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由； ②当AB=2时，求AD,AC与CD围成阴影部分的面积 州63 中考几何题典型题专项训练 与圆有关的计算（三） 几何大冲关 (难度等级★★★)】 1.(贵州贵阳模拟)如图，在⊙0中，AC为⊙0的直径，AB为⊙0的弦，点E是AC的中点，过点E 作AB的垂线，交AB于点M,交⊙O于点N,分别连接EB,CN. (1)EM与BE的数量关系是 (2)求证：EB=CN; (3)若AM=√3，MB=1,求阴影部分图形的面积. 2.（江西南昌月考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O在斜边AB上，且AO=AC,连接C0,并 延长至D,使∠D=∠OCB,以O为圆心，OD为半径画圆，交DB的延长线于E点. (1)求证：BD=BE; D (2)已知AC=1cm,BC=√3cm. ①连接CE,过B作BF⊥EC于F点，求线段BF的长； ②求图中阴影部分的面积 64◆ 第二章圆P 与圆有关的计算（四） 几何大冲关 (难度等级★) 1.如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC,AC相交于点D,E,BD=CD,过点D作⊙O 的切线交边AC于点F (1)求证：DF⊥AC; (2)若⊙O的半径为5，∠CDF=30°，求BD的长（结果保留π）. 2.(湖北襄阳月考)如图，直线AB经过⊙O上的点C,直线B0与⊙O交于点F和点D,OA与 ⊙O交于点E,与DC交于点G,OA=OB,CA=CB. (1)求证：AB是⊙0的切线； (2)若FC∥OA,CD=6,求图中阴影部分的面积 465 中考几何题典型题专项训练 与圆有关的计算（五） 几何大冲关 (难度等级★★) 1.(辽宁辽阳)如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB=90°，以点A为圆心，以AB的 长为半径作⊙A,交BC于点E,交AC于点F,连接DE. (1)求证：DE与⊙A相切； (2)若∠ABC=60°，AB=4,求阴影部分的面积. 2.（云南曲靖模拟)如图，BE是⊙O的直径，点A,D是⊙0上的两点，连接AE,AD,DE,AB,过点 A作射线交BE的延长线于点C,使∠EAC=∠EDA. (1)求证：AC是⊙0的切线； (2)若CE=AE=3,求阴影部分的面积. 66◆ 第二章 圆P 与圆有关的计算（六） 几何大冲关 (难度等级★★★) 1.(四川宜宾月考)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O 于点D,连接CD并延长交AB的延长线于点F. (1)求证：CF是⊙O的切线； (2)若∠F=30°，EB=8,求图中阴影部分的面积.（结果保留根号和π） 2.(江西南昌月考)如图1，在△OAB中，AB=2cm,OB=4cm,点A在半径为2√3cm的⊙0上. (1)求证：直线AB与⊙0相切； 0 E(F) 4 图1 图2 图3 (2)如图2，CD切⊙0于点C,CD=2cm,连 接BD,交⊙O于点E,F ①求证：DE=BF; ②若E,F两点重合，如图3，求阴影部分的面积. 67两边同除以，得()=1-，设， 则+4-1=0，解得4=5或125 2 (舍)， 器-器 2 (3).∠MAN=36°，根据对称性可知：∠MAH =∠NMH=7LMAN=18, 而40L能器-5， 2 ·sinl8°=sin∠MAH=ML= AM=AM=2BM =5-1 4 知识点6与圆有关的计算（一）】 1.解：(1)证明：OB=0C,∠B=30°， ∴.∠0CB=∠B=30° 又.C0平分∠ACB, ∴.∠ACB=2∠OCB=60°. ∴.∠BAC=90°，∴.OA⊥AC, .AC是⊙O的切线. (2)如图，连接OD,设OC交⊙0于点F. B :⊙0切BC于点D,∴.OD⊥BC. 又0B=0C,∠B=30°，BC=12, ∠C0D=∠B0D=60,CD=2BC=6, 在Rt△COD中，tan∠COD=GD OD' 0D= CD一=6=25， tan L COD 即⊙0的半径长为23。 (3)0D=23,∠D0F=60°， Snw=a-S050w=7×6×25- 60m×(25)2=63-2m 360 参考答案 2.解：(1)证明：如图，连接OD ,⊙O与BC相切于点D,∴.OD⊥BC, ∴.∠ODB=90 .∠C=90°， ∴.OD∥AC,∴.∠CAD=∠ODA. .·OA=OD,∴.∠OAD=∠ODA, .∠OAD=∠CAD,.AD平分∠BAC (2)如图，连接OF. AD平分∠BAC,且∠CAD=25°， .∠BAC=2∠DAC=50°， .∠E0F=2∠BAC=100°， ·劣弧EF的长为100πx1=5 180 m. E B D C 与圆有关的计算（二） 1.解：(1)证明：如图，连接OA. 则∠COA=2∠B. .·AD=AB, .∠B=∠D=30°，.∠C0A=60°， ∴.∠0AD=180°-60°-30°=90°， ∴.OA⊥AD,即直线AD是⊙O的切线. (2).BC=4,∴.0A=0C=2 在Rt△OAD中，OA=2,∠D=30°， ∴.0D=20A=4,AD=2√3， ∴Sm=70A·A0=7×2x25= 23. .·∠C0A=60°， .S扇形c0A= 60m×2_2m 360 Γ3’ S明影=S60n-S前形0a4=23-2 2.解：(1)证明：四边形ABCD内接于⊙0， ∴.D+∠ABC=180°. .·∠EBC+∠ABC=180°， 州33 中考几何题典型题专项训练 ∴.∠D=∠EBC ,AD是⊙O的直径， .∠ACD=90°， ∴.∠D+∠CAD=90° ,CE⊥AB, ∴.∠ECB+∠EBC=90°， ∴.∠CAD=∠ECB. (2)①四边形ABC0是菱形.理由如下： .CE是⊙O的切线， ∴.OC⊥EC,即∠OCE=90°. AB⊥EC, ∴.∠E=90°， ∴.∠0CE+∠E=180°， ∴.OC∥AE, .∴.∠AC0=∠BAC .OA=OC. ∴.∠ACO=∠CAD, ∴∠BAC=∠CAD. 由(1)知∠CAD=∠ECB,·∠CAD=30°， ∴.∠EBC=90°-30°=60°. .∠BA0=∠BAC+∠CAD=60°， ∴.∠BAO=∠EBC, .∴.BC∥AO, .四边形ABCO是平行四边形. .0A=0C, .四边形ABCO是菱形 ②.四边形ABC0是菱形，AB=2, ∴.A0=AB=2,AD=4. '∠CAD=30° .CD=2,AC=23 如图，过点C作CF⊥AD于点F, B .CF=3, Se=2x2×5=3, OC∥AE, 34 ∴.∠D0C=∠BA0=60°， 60π×222 .S扇形c0D三 360 =3π， =5+子m 与圆有关的计算（三）】 1.解：(1)BE=2EM (2)证明：如图，连接E0, :AC是⊙0的直径，E是AC的中点， LA0B=90°，LABB=7LA0E=450 ,EN⊥AB,垂足为点M,.∠EMB=90°， ∴.∠BEN=∠ABE=45°， ..AE=BN. 点E是AC的中点，.AE=EC, .EC=BN,又BC=BC, :EC-BC BN BC, .EB CN. (3)如图，连接AE,OB,ON. EN⊥AB,垂足为点M, ∴.∠AME=∠EMB=90°. .BM=1,由(2)得∠ABE=∠BEN=45°， ∴.EM=BM=1, 又，BE=√2EM,∴.BE=√2 在Rt△AEM中，EM=1,AM=√3， 六mLBB=-9∠BB=30时 ∠EAB=2∠B0B,∠B0B=60, 又.OE=OB,.△EOB是等边三角形， ∴.OE=BE=√2 .EB CN,:.BE=CN, 又.0E=0C=0B=0N=√2， ∴.△OEB≌△OCN(SSS), ∴.S扇形0CN 60π(2)21 360 =3T, 3分x万x2×2-号 。1 Γ2 之Sa9=S0ey-Saax=3T- 1 2 N 2.解：(1)证明：.A0=AC, .∠AC0=∠AOC. .∠D=∠OCB,∠BOD=∠AOC, ∴.∠ACB=∠ACO+∠OCB=∠BOD+ ∠D, 又∠ACB=90°，∴.∠B0D+∠D=90°， ∴.OB⊥DE,.BD=BE (2)①在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= 1cm,BC=√5cm. tan∠ABC=BC-石=S, ∴.∠ABC=30°， ∴.AB=2AC=2cm,∠A=60° ,OA=AC,△AOC为等边三角形， ∴.0C=AC=1cm,∠A0C=60°， ∴.∠D=∠OCB=30°， OB=AB-OA=1 cm, .∴.OD=20B=2cm, ∴.CD=OD+OC=3cm. :∠D=∠OCB,∴BD=BC, 又BD=BE,.BC=BE, ∴.∠BCE=∠BEC, ∴.∠D+∠BEC=∠OCB+∠BCE=∠DCE =90°， BF⊥CE,∴BF∥CD, DE.FCDcm ②如图，连接OE,OD=0E, ∴.∠0ED=∠D=30°，∴.∠D0E=120°， .Sm影=S形os-SAODE=03石02-)X 360 25x1=(行m-5列cm2. 参考答案 与圆有关的计算（四） 1.解：(1)证明：如图，连接OD, D B DF是⊙O的切线，D为切点， .OD1DF,∴.∠0DF=90°. .·BD=CD,OA=OB .OD是△ABC的中位线， .OD∥AC, ∴.∠CFD=∠ODF=90°， .DF⊥AC (2):∠CDF=30°， 由(1)得∠ODF=90°， ∴.∠ODB=180°-∠CDF-∠ODF=60°. OB=OD, ∴.△OBD是等边三角形， .∠B0D=60°， ·BD的长=60mX5-5 180=3m. 2.解：(1)证明：如图，连接OC. D A OA=0B,CA=CB,∴.OC⊥AB. :OC是⊙0的半径，.AB是⊙0的切线， (2):DF是⊙0的直径，.∠DCF=90. .FC∥OA, ∴.∠DG0=∠DCF=90°，∴.OG⊥CD, ÷DG=2CD=7×6=3. 1 OD=OC,∴.∠D0G=∠C0G. OA=OB,AC=CB, .∠AOC=∠B0C, 435 中考几何题典型题专项训练 .LDOE LAOC LBOC =3 ×180° =60° DG 在Rt△ODG中，：sin∠DOG= OD' cos∠D0G=0C OD' ∴.OD= DG 3 sim∠Doc- =2√3， 2 0G=0D·coLD0G=23×7=5, .S阴影=S鼎形CDE-S△DOG= 60π×(2√3)2 360 7×5x3=2m-35 2 与圆有关的计算（五） 1.解：（1)证明：如图，连接AE. :四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC,AD∥BC, ∴.∠DAE=∠AEB. AE=AB, ∴.∠AEB=∠ABC,∴.∠DAE=∠ABC, .∴.△AED≌△BAC(SAS), .∴.∠DEA=∠CAB. .∠CAB=90°， ∴.∠DEA=90°，∴.DE⊥AE. AE是⊙A的半径，∴.DE与⊙A相切： (2).∠ABC=60°，AB=AE=4, ∴.△ABE是等边三角形， ∴.AE=BE,∠EAB=60° ,∠CAB=90°， .∠CAE=90°-∠EAB=90°-60°=30°， ∠ACB=90°-∠B=90°-60°=30°， ∴.∠CAE=∠ACB,∴.AE=CE,∴.CE=BE, 36 5w=B4C=分×4x45=85, Sm-2m=7x8月=4， 1 .∠CAE=30°，AE=4, 30m×424m .S扇形ABF 360 3’ 小S阴影=S640E-S扇形r=4,V月-4π 3 2.解：(1)证明：如图，连接OA,过O作OF⊥ AE于F. 则LAF0=90°，.∠EA0+∠A0F=90°. 又.OA=OE, LB0F=∠A0F=2∠A0E, ∠E1=7∠A0E∠BDA=LA0R 又，∠EAC=∠EDA,∴.∠EAC=∠AOF, ∴.∠EA0+∠EAC=90°， .∠CA0=90°，∴.OA⊥AC, OA是⊙0的半径， ∴.AC是⊙O的切线. (2)CE=AE=3,∴.∠C=∠EAC, .·∠EAC+∠C=∠AE0, ∴.∠AE0=2∠EAC, OA=OE,∴.∠AE0=∠EA0, ∴.∠EA0=2∠EAC, 又.∠EA0+∠EAC=90°， ∴.∠EAC=30°，∠EA0=60°， .△OAE是等边三角形， .0A=AE,∠E0A=60°，∴.0A=3, _60π×323 小.S第形408=360=2. 在Rt△OAF中，OF=OA·sin∠EAO=3× 535 2 =2 5am-4证·0p=7x3x32- 2 =3n-a 与圆有关的计算（六） 1.解：(1)证明：连接0D,如图. ,四边形EBOC是平行四边形， .OC∥BE, ∴.∠1=∠3，∠2=∠4. ,0B=0D,∴.∠3=∠4，∴.∠1=∠2 OD=0A, 在△ODC和△OAC中， ∠1=∠2， LOC=0C, .△ODC≌△OAC(SAS), .∠ODC=∠OAC=90°，∴.OD⊥CD, 又OD为⊙0的半径 .CF是⊙O的切线。 (2)∠F=30°，0D⊥CF,∴.∠FOD=60°， ∴.∠1=∠2=60° :四边形EBOC是平行四边形， .∴.OC=BE=8. 在Rt△AOC中，∠A0C=60°， 0M=20C=4,4C=301=43. .S阴影=S四边形4ODc-S期形A0D =2×)×4x43120×π×49 360 =165-5 2.解：(1)证明：，AB=2cm,OB=4cm,OA= 23 cm. .AB2+OA2=OB2,∠OAB=90°. 又点A在圆上， ∴.直线AB与⊙O相切. (2)①证明：如图，连接OC,OD,作OH⊥EF 于H. 如图， 参考答案P 易知EH=FH. AB =2 cm,CD =2 cm,.'.AB CD. ,CD切⊙0于点C.∴.∠OCD=90° 在△OAB与△OCD中， rAB=CD, ∠OAB=∠OCD, LOA=OC, ∴.△OAB≌△OCD(SAS). ∴.OB=0D. OH⊥EF,∴.BH=DF. .BH-FH DH-EH,..DE=BF. ②如图，连接OC,0D,OE. OB=OD,DE =BF. .OE⊥BD,∴.BD与⊙O相切， ∴.AB=BE=2cm,∠AB0=∠EBO, ∴.∠AOB=∠EOB. ·sin∠A0B=AB=1 0B=2, .∠A0B=30°，.∠E0B=30°， S=7x2×2有-30m 360 (2√3-π)cm2. 第三章 空间与图形 知识点1图形的轴对称（一） 1.解：(1)如图，△ABC1即为所求. (2)如图，△A2B2C2即为所求. (3)A(2,3),A2(-2,-1). 州37