第二章 圆知识点2 圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系-【荣恒专项】2026-2027学年九年级全一册数学——几何典型题专项训练

第二章圆 知识点②圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系（一） 几何大冲关 (难度等级★) 1.（四川自贡月考)如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E,AB=CD,连接 AD,BC.求证： (1)AD=BC; D (2)AE=CE. 2.如图.AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A,BP与⊙O交于点D,点C为⊙O上一点，分别 连接CB,CD,∠BCD=60° (1)求∠ABD的度数； D (2)若AB=6,求PD的长度. 3.(山东潍坊期末)如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F,点C为劣弧BF的中点，过点 C作CE⊥AD,垂足为E,连接AC (1)求证：CE是⊙O的切线； (2)若∠BAC=30°，AB=4,求阴影部分的面积. 147 申考见何题典型题专项训练 圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系（二） 几何大冲关 (难度等级★★) 1.(黑龙江齐齐哈尔月考)如图，AB为⊙0的直径，C,D为⊙0上的两个点，AC=CD=DB,连接 AD,过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若直径AB=6,求AD的长. 2.在△ABC中，∠C=90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D,分别交 AB,AC于点E,F 图① 图② (1)如图①，连结AD,若∠CAD=25°，求∠B的大小； (2)如图②，若点F为AD的中点，⊙0的半径为2，求AB的长 48◆ 第二章圆 圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系（三） 几何大冲关 (难度等级★★★)】 (四川成都模拟)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交BC,AC于点D,E,连接 EB,OD,ED,设EB交OD于点F. (1)求证：OD⊥BE; 0 (2)若DE=√10，AB=10,求AE的长 (3)若△GE的面积是△0BF的面积的？，求C的值 49 中考几何题典型题专项训练 知识点③圆内接三角形、四边形（一） 几何大冲关 (难度等级★) 1.如图，四边形ABCD内接于⊙0，AB-17,CD=10,∠A=90°，c0sB= 5, 求AD的长 2.如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C. (1)求证：AE与⊙0相切于点A; (2)若AE∥BC,BC=2√7，AC=2√2，求AD的长. 50◆中考几何题典型题专项训练 AB为⊙0的直径， .ACB ADB .ACB AC =ADB-AD,CB DB .∠1=∠2. (2)连接DF. :AC=AD,AB为⊙0的直径， ∴.AB⊥CD,CE=DE, ∴.FD=FC=10. 点C,F关于GD对称， .DC=DF=10,.DE=5. tan1= 2 ∴.EB=DE·tan∠1=2. .∠1=∠2， 2 ·、tan∠2=，.AE=tam2=2 2 AB=A+BB-空O0的半径为翠 2.解：(1).CD∥AB, ∴.∠OAB=∠OCD,∠OBA=∠ODC, ∴.△OAB△OCD, … OA OB 0C=0D, 即n04c8品. 又0A=3,AC=2, ∴.0B=3, 33 3+20D1 .0D=5. (2)过点O作OE⊥CD,连接OM, 则ME=2Mw, 0 E 24 m2c=分2器=分 ∴.设OE=x,则CE=2x, 在Rt△OEC中，0C2=OE2+CE2, 即52=x2+(2x)2,解得x=5, 在Rt△OME中，OM2=OE2+ME2, 即32=（√5）2+ME2,解得ME=2. ∴.MN=4. 知识点2圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系（一） 1.证明：(1)，AB=CD, .AB CD,BAD+AC =BC+AC, AD=BC. (2).AD=BC,..AD=BC. 由同弧所对的圆周角相等，得∠ADE= ∠CBE,∠DAE=∠BCE, .△ADE≌△CBE(ASA),.AE=CE. 2.解：(1)如图所示，连接AD. :'∠BCD和∠BAD为同弧所对的圆周角， ∴.∠BAD=∠BCD=60. ·AB是⊙0的直径，∴.∠ADB=90°， ∴.∠ABD=90°-60°=30° (2)AP是⊙O的切线，AB⊥AP 在Rt△ABP中，：∠ABD=30°，AB=6, ∴.AP=AB·tan∠ABD=2√3，∠P=60° 在Rt△APD中，PD=AP·cos∠P=3. 3.解：(1)证明：连接0C. 点C是劣弧BF的中点，.BC=FC, ∴.∠FAC=∠BAC. 又.OA=OC,.∠OAC=∠OCA, ∴.∠FAC=∠OCA,∴.AD∥OC. 又，CE⊥AD,∴.OC⊥CE. :0C为⊙0的半径， ∴.CE是⊙O的切线 (2)连接OF,CF. .·∠BAC=30°，∴.∠B0C=60°， BC=FC,.∠C0F=60°， 又.OC=0F,∴.△OCF为等边三角形， ∴.∠FC0=60°，∴.∠FC0=∠B0C, FC∥AB. ∴.SAFCA=S△Fc0: .AB=4,∴.0A=0F=0C=2, _60π·222 S阴影=S角形0p=360之=行m, 圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系（二） 1.解：(1)证明：连接OD .AC=CD=DB,∠AOB=180°， ÷∠B0D=3×180°=609 CD=DB, 六∠ED=∠DAB=)∠B0D=309 .OA =OD. ∴.∠AD0=∠DAB=30. ,DE⊥AC于E,∴.∠E=90°. .∠EAD+∠EDA=90° .∠EDA=60° ∴.∠ED0=∠EDA+∠AD0=90°. ∴.OD⊥DE. ∴DE是⊙O的切线。 (2)连接BD: AB是⊙O的直径， ∴.∠ADB=90° .∠DAB=30°，AB=6. :BD=2AB=3, .AD=√62-32=35. 2.解：(1)如图①，连接0D, 图① 参考答案 .OA为半径的圆与BC相切于点D, .OD⊥BC,∴.∠ODB=90°， 在△ABC中，∠C=90°， ∴.∠ODB=∠C,.OD∥AC, .∠CAD=∠AD0=25°. .OA =OD, ∴.∠0AD=∠ODA=25°， ∴.∠B0D=2∠0AD=50°， .∠B=90°-∠B0D=40°， (2)如图②，连接OF,0D, 图② 由(1)得0D∥AC, ∴.∠AFO=∠FOD, OA=OF,点F为AD的中点， ∴.∠A=∠AFO,∠AOF=∠FOD, .∠A=∠AF0=∠AOF=60°， ∴.∠B=90°-∠A=30°， 0A=0D=2,∴.0B=20D=4, .'AB=0A +OB=6. 圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系（三） 解：(1)证明：连接AD, ,AB是⊙0的直径，.∠ADB=90° ,AB=AC,∴.∠BAD=∠CAD, .BD=ED,.OD⊥BE. (2)AB是⊙0的直径， ∴.∠AEB=90°，∴.∠BEC=90°. 由(1)可知BD=CD=DE, .BC=2DE=210. :四边形ABDE内接于⊙O, ∴.∠BAC+∠BDE=180°. 又.∠CDE+∠BDE=180°， M25 中考几何题典型题专项训练 ∴.∠CDE=∠BAC. 又，∠C=∠C,∴.△CDE∽△CAB, g=DE,即CE=0 CBAB' 2√1010’ .CE=2,..AE =AC-CE AB-CE=8. 8君 .设SAcE=5k,S△08r=6k,k>0. .BD =CD,..SACDE SABDE=5k. BD=CD,AO=BO, ∴.OD∥AC,∴.△OBF△ABE, S△0BE OB)2 1 SAABE (AB)=4, .SAABE=4S△0BF=24k, ∴.S△cB=SAcE+S△BDB+S△ABE=34k 由(2)知△CDE∽△CAB, SACDE CD 2 5 SACAB C 34 C-5=0 CA 34 34 BC=2CD,∴. BC170 AC-17 知识点3圆内接三角形、四边形（一）】 1.解：如图所示，延长AD,BC交于点E. D ∠A=90°，∴.∠BCD=90°，∠DCE=90 :∠B+∠E=90°，∠EDC+∠E=90°， .∠B=∠EDC 5,.Cos L EDC=DC_3 ·cosB= ED5' 解得ED-号 .cos B=- 3 5 amB-品-青解得M=17×号-祭 ,468 26 .AD-EA-ED-0-06 2.解：(1)证明：如图所示，连接OA,交BC于 点F, 则OA=OD,∴.∠D=∠DAO. ∠D=∠C,∴.∠C=∠DAO. ∠BAE=∠C,.∠BAE=∠DAO. ,BD是⊙O的直径，∴.∠DAB=90° 即∠DA0+∠OAB=90°. ∴.∠BAE+∠OAB=90°，即∠OAE=90° ∴.AE⊥0A,.AE与⊙0相切于点A. (2):AE∥BC,AE⊥OA,∴.OA⊥BC. .AB-AC.FB-7BC.AB=AC. BC=2√7，AC=22, ∴.BF=√7，AB=2V2. 在Rt△ABF中，AF=√AB2-BF2=1. 在Rt△OFB中，OB2=BF2+(OA-AF)2, 即0B2=7+(0B-1)2,解得0B=4, ∴.BD=8. .在Rt△ABD中， AD=WBD2-AB2=2√/14. 圆内接三角形、四边形（二） 1.解：(1)如图，连接OA. 设∠E=x, .AE=AB, ∴.∠ABE=∠E=x. .OA=OB, ∴.∠OAB=∠AB0=x,∠AOB=180°- ∠OAB-∠AB0=180°-2x. ,AE是圆O的切线， ∴.OA⊥AE,即∠OAE=90°. ∴.∠BAE=∠OAB+∠OAE=x+90° 在△ABE中，由三角形的内角和定理得： ∠ABE+∠E+∠BAE=180°， 即x+x+x+90°=180°，