第二章 圆知识点5 正多边形与圆-【荣恒专项】2026-2027学年九年级全一册数学——几何典型题专项训练

.∠CPO=∠CPB=x. .AC是⊙0的直径，∴.∠ABC=90° 又.PO垂直平分AB,.BC∥OP, ∴.∠OPC=∠PCB=∠CPB,BC=BP. 设OF=t,则BC=PB=2t. 易证△PB△P0R品路、 即PB2=PF·P0,(2t)2=PF·(PF+t). 解得PF=1+五或，五（不合 2 2 题意，舍去) 易证△PFE∽△CBE, :PE-F-7-1 CE CB 4 切线的判定与性质（六） 解：(1)证明：AC为直径， .∠ADC=90°， ∴.∠ACE+∠CAD=90°， 又∠DAE=∠ACE, .∴.∠DAE+∠DAC=90°， .OA⊥AP, .AP为⊙0的切线： (2)证明：如图，连接OB, A 公 PA,PB为圆O的切线，∴.PA=PB, 又OB=OA,OP=OP, ∴.△OBP≌△OAP(SSS), ∴.∠BOD=∠DOA, .AD=DB, .∠FAD=∠ACE, 在△AOB中，∠AOF=∠BOF,OA=OB, .OF⊥AB, 参考答案 .∠AFD=∠ADE=90° 又∠ACE=∠DAE, ∴.∠FAD=∠DAE, ∴.△FADM△DAE. (3)在R△0F1中，m∠0MP=7, 设OF=x,则AF=2x,OA=√5x,DF=0D- 0F=0A-0F=(5-1)x, 易知∠AP0=∠OAF,∴.AP=2OA=2√5x, 由(2)知∠FAD=∠ACE, ∴.tan∠ACE=tan∠FAD, 张- 2 又AC=20A=2V5x, .AE=(5-√5)x, 怎- 2√5x 2 知识点5正多边形与圆（一） 1.证明：.ABCDE是正五边形， ·∠A=(5-2)·1800 5 =108°=∠ABC= ∠c. 又BC=CD, ∠CBD=∠CDB=180°，108°=36， 2 ∴.∠ABD=108°-36°=72°， ∴.∠A+∠ABD=108°+72°=180°， ∴.AE∥BD. 2.解：如图，连接OC,OD. B :五边形ABCDE是正五边形， ∠C0D=360° 5 72°， ∠cPD=7∠c0D=360, ∴.90°-36°=54°， ∴.∠CPD的余角的度数为54°， 3.解：如图，连接BD. 31 中考几何题典型题专项训练 :DE=CE且正方形边长为1， 2 在Rt△ABD中，BD=√12+12=√2， ,∠DBE=∠FCE,∠CFE=∠BDE, ·.△DEB△FEC, 1 FC_CE FC_2 5 2 正多边形与圆（二） 1.解：如图，连接OC,0D. A D E ,圆O是正方形ABCD的外接圆， ∴.O是对角线AC、BD的交点， LODE-LADC-45. OE⊥CD, ∴.∠0ED=90° ∴.∠D0E=180°-∠0ED-∠0DE=45°， ∴.OE=DE=2, 在Rt△ODE中，OD=√OE+DE=2, ∴.这个正方形外接圆⊙0的面积是π·2 =4m. 2.解：(1)如图，连接OB,OC B 32 ,四边形ABCD为正方形， .∠B0C=90°， :∠BPC-2∠B0C=459 (2)过点O作OE⊥BC于点E, :OB=0C,∠B0C=90°， .∠0BE=45°， ∴.OE=BE, 在Rt△OBE中，OE2+BE2=OB2, /0B2 :BE=2 。4=42, -W2 .BC=2BE=2×42=8√2 正多边形与圆（三） 解：(1)证明：如图，连接圆心0与正五边形 除A外的各顶点， 在正五边形中，∠A0E=360°÷5=72°， LABE=7∠A0E=36,同理∠BAC=7× 72°=36°，∴.AM=BM, ∴.△ABM是等腰三角形且底角等于36° .∠B0D=∠B0C+∠C0D=72°+72° =144°， ∠BAD=2LB0D=72, ∴.∠BNA=180°-∠BAD-∠ABE=72°， ∴.AB=NB,即△ABN为等腰三角形 (2)证明：∠ABM=∠ABE,∠AEB= ∠AOB=36°=∠BAM, △BAW△BB,-8而AB=BN, BM_BN,设BM=y,AB=, BN BE 则AM=AN=y,AE=BN=x, .'∠AMN=∠MAB+∠MBA=72°=∠BAN, ∠ANM=∠ANB, ∴.△AMN∽△BAN, 微器脚竖= y 两边同除以，得()=1-，设， 则+4-1=0，解得4=5或125 2 (舍)， 器-器 2 (3).∠MAN=36°，根据对称性可知：∠MAH =∠NMH=7LMAN=18, 而40L能器-5， 2 ·sinl8°=sin∠MAH=ML= AM=AM=2BM =5-1 4 知识点6与圆有关的计算（一）】 1.解：(1)证明：OB=0C,∠B=30°， ∴.∠0CB=∠B=30° 又.C0平分∠ACB, ∴.∠ACB=2∠OCB=60°. ∴.∠BAC=90°，∴.OA⊥AC, .AC是⊙O的切线. (2)如图，连接OD,设OC交⊙0于点F. B :⊙0切BC于点D,∴.OD⊥BC. 又0B=0C,∠B=30°，BC=12, ∠C0D=∠B0D=60,CD=2BC=6, 在Rt△COD中，tan∠COD=GD OD' 0D= CD一=6=25， tan L COD 即⊙0的半径长为23。 (3)0D=23,∠D0F=60°， Snw=a-S050w=7×6×25- 60m×(25)2=63-2m 360 参考答案 2.解：(1)证明：如图，连接OD ,⊙O与BC相切于点D,∴.OD⊥BC, ∴.∠ODB=90 .∠C=90°， ∴.OD∥AC,∴.∠CAD=∠ODA. .·OA=OD,∴.∠OAD=∠ODA, .∠OAD=∠CAD,.AD平分∠BAC (2)如图，连接OF. AD平分∠BAC,且∠CAD=25°， .∠BAC=2∠DAC=50°， .∠E0F=2∠BAC=100°， ·劣弧EF的长为100πx1=5 180 m. E B D C 与圆有关的计算（二） 1.解：(1)证明：如图，连接OA. 则∠COA=2∠B. .·AD=AB, .∠B=∠D=30°，.∠C0A=60°， ∴.∠0AD=180°-60°-30°=90°， ∴.OA⊥AD,即直线AD是⊙O的切线. (2).BC=4,∴.0A=0C=2 在Rt△OAD中，OA=2,∠D=30°， ∴.0D=20A=4,AD=2√3， ∴Sm=70A·A0=7×2x25= 23. .·∠C0A=60°， .S扇形c0A= 60m×2_2m 360 Γ3’ S明影=S60n-S前形0a4=23-2 2.解：(1)证明：四边形ABCD内接于⊙0， ∴.D+∠ABC=180°. .·∠EBC+∠ABC=180°， 州33第二章 圆 知识点⑤正多边形与圆（一） 几何大冲关 (难度等级★) 重点题讲解 @扫码 1.(福建福州模拟)如图，ABCDE是⊙O的内接正五边形，求证：AE∥BD 改 B E 0 2.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,P为DE上的点（点P不与点D,E重合），求∠CPD的余角 的度数 B 3.如图，⊙O的内接正方形ABCD,E为边CD上一点，且DE=CE,延长BE交⊙O于点F,连接 FC,若正方形边长为1，求弦FC的长. 0 459 中考几何题典型题专项训练 正多边形与圆（二） 几何大冲关 (难度等级★★) 1.已知正方形ABCD的边心距OE=√2cm,求这个正方形外接圆⊙O的面积. 0 2.如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O,点P在劣弧CD上（不与C点重合）， (1)求∠BPC的度数； 0 (2)若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长 60◆ 第二章圆 正多边形与圆（三） 几何大冲关 (难度等级★★★) (内蒙古呼和浩特模拟)某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研 究，发现多处出现著名的黄金分割比5,1≈0.618.如图，圆内接正五边形ABCDE,圆心为O, 2 OA与BE交于点H,AC,AD与BE分别交于点M,N.根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形 进行研究.（其他可同理得出) (1)求证：△ABM是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出△BAN的 形状； （2)水证微-心且其比值&-5， 2； (3)由对称性知A01BE,由(1)(2)可知Y是一-个黄金分制数据此求i血18的值 州61