第二章 变量与函数 知识点5 一次函数的应用-【荣恒专项】2026-2027学年九年级全一册数学——代数典型题专项训练

中考代数题典型题专项训练 一次函数中的极值问题、匀速动点问题 及含绝对值的一次函数（二） 解：(1)将点(1,1)、(2,0)分别代人y=a-b 1-1,得88-0解释8 1b=1. ∴.函数的解析式为y=-|x-1|+1. (2)当x≥1时，原函数可化为y=-(x-1)+ 1=-x+2; 当x<1时，原函数可化为y=-（1-x)+1 综上断述y=任1》 函数的图象如图所示 Y 1 01 函数的性质不唯一，如当x=1时，y=-|x-1 |+1有最大值1，无最小值；函数图象关于直 线x=1对称；当x≥1时，y随着x的增大而减 小，当x<1时，y随着x的增大而增大. (3)由题意可得，点A、B的纵坐标相等， ∴.点A、B关于直线x=1对称， ∴.m+n=2. (4)构造函数y=2x+k 若方程-1：-1山+1=分+k有两个不相等 的实数根，即函数y=7+k与函数y=-x -1川+1的图象有两个交点. 又x1·x2>0, 将点(1,1)代入y=7+,解得k= 1 将点(0,0)代入y=之+，解得k=0 :.0<k<2 一次函数中的极值问题、匀速动点问题 及含绝对值的一次函数（三） 解：(1)(a+8)2+1b+21+12c-121=0, ∴.a=-8,b=-2,c=6; (2)设D点对应的数为x,D在BC之间，则 -2<x<6,AD=x-（-8)=x+8,BD=x- （-2)=x+2,CD=6-x, ∴.(x+8)+(x+2)=3(6-x), 14 解得：x=弩，即D点对应的数为 (3)设运动时间为t,则P点对应的数 为：-8-2t; Q点对应的数为：-2-4t; 点M对应的数为：6-at, 三点到达同一点E时，有-8-2t=-2-4t= 6-at, 20 解得t=3,a=3 点E对应的数为-8-2t=-14. (4)存在. 设运动时间为t,则 P点对应的数为：-8-2t; Q点对应的数为：-2-4t; M点对应的数为：6-6t. T为PQ中点， .T对应的数为-5-3t, R为MQ的中点， ∴，R对应的数为2-5t,T、R两点到原点的距 离相等，则1-5-3tl=12-5tl, 解得1=或4=-日（负根舍去）. 知识点5一次函数的应用（一）】 1.解：(1)设每个A类摊位占地面积为x平方 米，则每个B类摊位占地面积为(x-2)平 方米， 由题意得60=60、3 xx-2×5 解得x=5,∴.x-2=3. 经检验，x=5,x-2=3符合题意， 答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每 个B类摊位占地面积为3平方米 (2)设建造A类摊位a个，则建造B类摊位 (90-a)个，总费用为y元，则y=5×40a+ 3×30×(90-a)=110a+8100. 45 :90-a≥3a,.a≤2 又.110>0， .y随a的增大而增大 .当a=22时，y取最大值，为10520. 答：最大费用为10520元. 2.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y= x+b(k≠0)， 将(2,120)，(4,140)分别代入y=x+b, 得0架将收18a .y与x之间的函数关系式为y=10x +100. (2)依题意得(60-42-x)(10x+100)= 1920, 整理得x2-8x+12=0,解得x1=2,x2=6. 要让顾客得到更多实惠， .x=6. 答：这种干果每千克应降价6元 一次函数的应用（二） 解：(1)由题图可知，当x=0时，y2=200, ∴.乙复印店每月的承包费是200元. (2)设复印x页时两复印店实际收费相同， 由题意得0.4x=200+0.15x,解得x=800, 0.4×800=320(元). 答：当每月复印800页时，两复印店实际收费 相同，费用是320元 (3)设复印x页时，两复印店的收费分别为 y甲yz元 "-04,品-015， 40 ∴.y甲=0.4x(x≥0)，yz=0.15x+200(x≥0)： (4)当x=1200时，y甲=0.4×1200=480，yz =0.15×1200+200=380. .480>380, ∴.如果每月复印页数在1200页左右，那么应 选择乙复印店更合算， 一次函数的应用（三） 1.解：(1)设乙的行驶路程y(千米)和行驶时 间x(小时)(1≤x≤3)之间的函数解析式 为y=hx+b(k≠0)， 将(1,30)，(3,50)代入， 得传。290解得合0 ∴.乙的行驶路程y(千米)和行驶时间x(小 时)(1≤x≤3)之间的函数解析式是y=10x +20(1≤x≤3). (2)设A、B两地之间的距离为s千米，甲的 速度为60÷3=20（千米/时），乙在第1小 时的速度为30÷1=30（千米/时），根据题 意可得-60-s-50 20 30 解得s=80. 答：A、B两地之间的距离是80千米 2.解：(1)60 解析：.：甲车出发5小时行驶了300km, ∴.甲车的速度为300÷5=60(km/h). (2)设甲车离开A城的距离与行驶时间的 函数关系式为y=t(k≠0)， 将(5,300)代入得5k=300,解得k=60, ∴.y=60t(0≤t≤5)， 参考答案 将t=2.5代入得y=60×2.5=150, 设乙车离开A城的距离与甲车的行驶时间（到 B城)的函数关系式为y=kt+b(k1≠0)， 将(1,0，(25,150)代人得+6，=0， 12.5k1+b1=150, 解得=100， 1b1=-100. .y=100t-100, 将y=300代人得100t-100=300, 解得t=4, ∴.乙车从A城到B城用了4-1=3(h), ∴.乙车返回A城时，甲车的行驶时间为1+ 3+3=7(h), 设乙车离开A城的距离与甲车的行驶时间 (返回A城)的函数关系式为y=k2t+b2(k2 ≠0)， 将(4,300)，(7,0)代人得h+b,=30, 17k2+b2=0, 解得，=-100， 1b2=700. ∴.y=-100t+700, 甲，乙两车再次相遇时，60t=-100t+700, 解得t=35 Γ8’ 放甲车出发受h时，与乙车再次相遇。 一次函数的应用（四） 1.解：(1)设A奖品的单价为x元，B奖品的 单价为y元. 由题意可得+28：解得0， .A奖品的单价为30元，B奖品的单价为 15元. (2)设购买A奖品a个，则购买B奖品(30 -a)个，共需w元 由题意可得a≥(30-a),解得a≥7.5 .a为正整数，∴.a≥8. ∴.w=30a+15(30-a)=15a+450. 15>0,∴.w随着a的增大而增大 当a=8时，30-a=22,此时w取得最 小值. ∴.当购买A奖品8个、B奖品22个时最 省钱. 2.解：(1)设选择甲种卡消费时y与x的函数 解析式为y甲=kx. 将(5,100)代入，得100=5k1,解得k1=20. ∴.所求解析式为y甲=20x. W15 中考代数题典型题专项训练 设选择乙种卡消费时y与x的函数解析式 为yz=k2x+b2 将点A(0,100)、C(20,300)分别代入，得 r100=b2, 解得 「k2=10, 1300=20k2+b2, b2=100. ∴.所求解析式为yz=10x+100. =10x+10,解得=0. (2)联立方程组？=20x, ly=200 ∴.点B(10,200) 观察图象可得： 当0<x<10时，选择甲种卡消费更合算； 当x=10时，选择甲种卡和乙种卡的费用相等； 当x>10时，选择乙种卡消费更合算 一次函数的应用（五） 1.解：(1)设今年每套A型一体机的价格为x 万元，每套B型一体机的价格为y万元. 由题意可得化m+69o解[仁及 F1y=1.8. .今年每套A型一体机的价格为1.2万元， 每套B型一体机的价格为1.8万元. (2)设该市明年购买A型一体机m套，则购 买B型一体机(1100-m)套 由题意可得1.8(1100-m)≥1.2×(1+ 25%)m,解得m≤600. 设明年需投入w万元， w=1.2×(1+25%)m+1.8(1100-m)= -0.3m+1980. .·-0.3<0,所以w随着m的增大而减小. ,m≤600， ·.当m=600时，0有最小值. w=-0.3×600+1980=1800 ∴.该市明年至少投入1800万元才能完成 采购计划. 2.解：(1)753.64.5 解析：乙车的速度为(270-60×2)÷2=75 (km/h). a=270÷75=3.6,b=270÷60=4.5. (2)60×3.6=216(km). 当2<x≤3.6时，设y=k1x+b1: 由题盒可得。9216， 解得6=135， 1b1=-270. ∴.y=135x-270(2<x≤3.6). 当3.6<x≤4.5时，设y=k2x+b2 由题意可得.6+6。=26·解得60， 4.5k2+b2=270, b2=0. ∴.y=60x(3.6<x≤4.5). 16 「135x-270(2<x≤3.6)， 综上所述，=60x(3.6<x≤4.5)： (3)甲车到达距B地70km处时行驶的时 间为(270-70)÷60-9()<3.6h 此时甲、乙两车之间的距离为135×号 270=180(km). 当甲车到达距B地70km处时，甲、乙两车 之间的距离为180km. 一次函数的应用（六） 1.解：(1)2440 解析：由图象可知，当t=24时，y=0. ∴.当t=24时，甲、乙两人相遇； ,乙先到达目的地， ∴.乙的速度大于甲的速度， ∴.甲的速度为2400÷60=40(m/min): (2),:甲、乙两人相向而行，且在24min时 相遇， ∴.甲、乙两人的速度和为2400÷24=100 (m/min). ∴.乙的速度为100-40=60(m/min). ∴.乙从图书馆回学校的时间为2400÷60= 40(min), 则t=40时甲、乙之间的距离为40×40= 1600(m). ∴.点A的坐标为(40,1600). 设线段AB所表示的函数表达式为y=t +b. 把点A(40,1600),B(60,2400)分别代人， 得8三0解得化0 1b=0. ∴.线段AB的解析式为y=40t(40≤t≤60). 2.解：(1)设货车乙在遇到货车甲之前，它离 开出发地的路程y关于时间x的函数解析 式为y=hx+b. 将点(1.6,0)、(2.6,80)分别代入， 得公6+80部得合三0128 当y=200-80=120时，即120=80x-128, 解得x=3.1. ∴.所求的函数解析式为y=80x-128(1.6 ≤x≤3.1). (2).货车甲的速度为80÷1.6=50(km/h), ∴.货车甲正常到达B地的时间为200÷50 =4(h). ∴.货车乙到达B地的时间至多为4+1 =5(h), 又18÷60=0.3(h), ∴.货车乙返回B地所用的时间至多为5- 3.1-0.3=1.6(h). 设货车乙返回B地的速度为vkm/h. 由题意可得1.6v≥120，解得v≥75. .货车乙返回B地的速度至少为每小时 75km. 知识点6二次函数的图象与性质及二 次函数与方程、不等式之间的关系（一） 1.解：(1)：抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k 的对称轴是y轴， -+k-6 2 0,即2+k-6=0, 解得k=-3或k=2. 当k=2时，二次函数解析式为y=x2+6,它 的图象与x轴无交点，不满足题意，舍去. 当k=-3时，二次函数解析式为y=x2-9, 它的图象与x轴有两个交点，满足题意 .k=-3. (2)点P到y轴的距离为2， ∴.点P的横坐标为-2或2. 又点P在抛物线y=x2+(2+k-6)x+ 3k上， 且由(1)知k=-3, .当x=2时，y=-5; 当x=-2时，y=-5. ∴.点P的坐标为(2，-5)或(-2，-5) 2.解：(1)由题意可得，抛物线的对称轴直线x 、 -2a=1. 2a (2)把抛物线沿y轴向下平移3|a|个单位， 可得抛物线y'=ax2-2ax+3-31al. .此时抛物线的顶点落在x轴上， .△=(-2a)2-4a(3-31al)=0, 化简得4a2-12a+12a|al=0. 当a>0时，可得4a2-12a+12a2=0. 解得a=子或a=0(不符合题意舍去)： 当a<0时，可得4a2-12a-12a2=0, 解得a=-多或a=0(不符合题意，含去). 3 .a= a=是 (3)当x=2时，y2=3,即Q(2,3), 又抛物线的对称轴为直线x=1, ∴.点Q关于对称轴对称的点为(0,3) 当α>0时，抛物线开口向上，若满足y1> y2,则a>2或a<0(不符合题意，舍去)； 当a<0时，抛物线开口向下，若满足y1> 参考答案 y2,则0<a<2,不符合题意，舍去 综上，a的取值范围是a>2. 二次函数的图象与性质及二次函数与 方程、不等式之间的关系（二） 1.解：(1)抛物线y=x2+mx经过点A(2,0), ∴.4+2m=0,∴.m=-2. 直线y=-x+b经过点A(2,0), ∴.-2+b=0,∴.b=2. (2)当x2-2x=-x+2时，x1=-1,x2=2. .点B的坐标为(-1,3). 结合图象可知，不等式x2+mx>-x+b的 解集为x<-1或x>2. (3)抛物线y=x2-2x的顶点坐标为(1，-1)， 过点M作直线y=t,则点N在直线y=t上， 由图象可知，当t=-1时，xM=3,xw=3-3 =0.此时线段MN与她物线只有一个公共 点(1，-1)；当t=0时，xM=2,xw=2-3= -1,-1<0,线段MN与抛物线有两个公共 点(0,0)和(2,0)；当t=3时，xM=-1,线 段MN与抛物线只有一个公共点(-1,3). 综上可知，当-1≤xw<2或xw=3时，线段 MN与抛物线只有一个公共点. B OMy= 2.解：(1)将点(-2,4)代入y=x2+bx+c, 得-2b+c=0,.c=2b, 又，b=2,∴.c=4, .y=x2+2x+4=(x+1)2+3, ∴.抛物线的顶点坐标为(-1,3). (2).函数图象的顶点坐标是(m,n), 3,n-4c,&-8663 b 4二 4 m=26-￥=-4x-)-(-}= -m2-4m. (3y=+s+26=e+)-g+28 抛物线的对称轴为直线x=一2， b 当b≤0时，c=2b≤0，又函数图象不经过第 三象限， ∴.c=0,∴.b=0. 此时y=x2,当-3≤x≤4时，函数的最小值 是0，最大值是16， 州17申考代数题典型题专项训练 知识点⑤ 一次函数的应用（一） 代数大冲关 (难度等级★) 1.（广东模拟)某社区拟建A,B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位 的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米.建A类摊位每平方米 的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元.用60平方米建A类摊位的个数恰好是 用同样面积建B类推位个数的？ (1)求每个A,B类摊位占地面积各为多少平方米； (2)该社区拟建A,B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍，求建 造这90个摊位的最大费用. 2.（江西南昌一模)洪城小超市以每千克42元的价格购进一种千干果，计划以每千克60元的价格 销售.为了让顾客得到更多实惠，现决定降价销售.已知这种干果销售量y(千克)与每千克降 价x(元)(0<x<18)之间满足一次函数关系，其图象如图所示 (1)求y与x之间的函数关系式； +y(千克) 140 120-- (2)若洪城小超市要获利1920元，则这种干果每千克应降价多少元？01234x元) 34 第二章变量与函数 一次函数的应用（二） 代数大冲关 (难度等级★★) (海南琼海一模)某学校有批复印任务，原来由甲复印店承接，按每100页40元计费.现乙复印 店表示：若学校先按月付给一定数额的承包费，则可按每100页15元收费.两复印店每月收费 情况如图所示 ↑y(元) 60 (甲) (1)乙复印店每月的承包费是多少元？ 400H (乙) 200 02004006008001000x(页) (2)当每月复印多少页时两复印店实际收费相同？费用是多少元？ (3)求甲、乙复印店费用的函数表达式； (4)如果每月复印页数在1200页左右，那么应选择哪家复印店更合算？ W35 中考代数题典型题专项训练 一次函数的应用（三） 代数大冲关 (难度等级★★★) 1.(上海长宁二模)如图反映的是甲、乙两名自行车爱好者同时骑车从A地到B地进行训练时 各自行驶路程y(千米)和行驶时间x(小时)之间关系的部分图象，根据图象提供的信息，解答 下列问题： (1)求乙的行驶路程y(千米)和行驶时间x(小时)(1≤x≤3)之间的函数↑千米) 解析式； 60 …2甲 50 乙 30 01 3x(小时) (2)如果甲的速度一直保持不变，乙在骑行3小时之后又以第1小时的速度骑行，结果两人同 时到达B地，求A、B两地之间的距离. 2.(辽宁大连甘井子一模)甲、乙两车先后从A城出发前往B城，乙到达B城后立即以原速度返 回A城，在整个行程中，甲、乙两车离开A城的距离y(单位：km)与甲车的行驶时间t(单位：h) 的函数图象如图所示 (1)甲车的速度为 km/h; 个y/km (2)求甲车出发后多长时间与乙车再次相遇 300F 为 乙 0 2.5 36数 第二章变量与函数 一次函数的应用（四） 代数大冲关 (难度等级★) 1.(河南期末)学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买3个A奖品和2个B 奖品共需120元：购买5个A奖品和4个B奖品共需210元. (1)求A、B两种奖品的单价. (2)学校准备购买A、B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的，.请设计出 最省钱的购买方案，并说明理由 2.(湖南常德模拟)某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元， 选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示 (1)分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数解析式. y/元 甲 C乙 300 100 05 20x/次 (2)请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算， W37 中考代数题典型题专项训练 一次函数的应用（五） 代数大冲关 (难度等级★★) 1.(湖北孝感月考)为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一 体机.经市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格贵0.6万元，且 用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机. (1)求今年每套A型一体机、B型一体机的价格各是多少万元 (2)该市明年计划采购A型一体机、B型一体机共1100套，考虑物价因素，预计明年每套A型 一体机的价格比今年上涨25%，每套B型一体机的价格不变.若购买B型一体机的总费用不 低于购买A型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？ 2.(吉林长春模)已知A、B两地之间一条公路长270km.甲、乙两车同时出发，甲车以60k/h 的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的 地后停止.甲、乙两车相距的路程y(km)与甲车的行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示， (1)乙车的速度为 km/h,a=」 ,b= y/km← (2)求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式. 270 0 2 a b x/h (3)当甲车到达距B地70km处时，求甲、乙两车之间的距离. 38 第二章变量与函数 一次函数的应用（六） 代数大冲关 (难度等级★★★) 1.(江苏盐城模拟)学校与图书馆在同一条笔直的道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学 校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地.两人之间的距离y(m)与时间t(min) 之间的函数关系如图所示， (1)根据图象信息，当t= 时甲、乙两人相遇，甲的速ym 度为 m/min. 2400 -B (2)求线段AB的解析式. 24 60 t/min 2.(浙江宁波模拟)A、B两地相距200km.早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地， 行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系.B地收到消息后立即派货车乙从B地出发 去接运甲车上的物资.货车乙遇到甲后，用了18mn将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开 往B地.两辆货车离开各自出发地的路程y(km)与时间x(h)的函数关系如图所示.（通话等 其他时间忽略不计) (1)求货车乙在遇到货车甲之前，它离开出发地的路程y关于时ykm个 间x的函数解析式. 80 1.62.6 x/h (2)因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最 多晚1h,货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？ W39