第二章 变量与函数 知识点4 一次函数中的极值问题、匀速动点问题及含绝对值的一次函数-【荣恒专项】2026-2027学年九年级全一册数学——代数典型题专项训练

第二章变量与函数 知识点④ 一次函数中的极值问题、匀速动点问题 及含绝对值的一次函数（一） 代数大冲关 (难度等级★) 如图所示，在平面直角坐标系中，点A位于x轴正半轴且OA=2,点B位于 y轴负半轴，已知SA4OB=4,线段AB的垂直平分线交x轴于点C,垂足为点D. (1)求直线DC的解析式； (2)若已知点M-1,-2）,在直线DC上是否存在一点G,使△BMG的周长CamG最小？若存 在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由. W31 中考代数题典型题专项训练 一次函数中的极值问题、匀速动点问题 及含绝对值的一次函数（二） 代数大冲关 (难度等级★★) 在平面直角坐标系中，已知函数y=a-b1x-11(a、b为常数)过点(1,1)、（2,0)，请探究该函数 的图象与性质 (1)求函数的解析式. (2)画出函数y=a-b1x-1I的图象，并结合函数图象，写出该函数的性质. (3)若点A(m,c),B(n,c)为该函数图象上不同的两点，求m+n的值， (4)若关于x的方程a-1x-1川=7x+长有两个不相等的实数根，且·名>0，求k的取 值范围. 32数 第二章变量与函数 一次函数中的极值问题、匀速动点问题 及含绝对值的一次函数（三） 代数大冲关 (难度等级★★★) (南通模拟)已知如图，数轴上A、B、C三点分别对应有理数a、b、c,且满足(a+8)2+1b+21+ 12c-12|=0. (1)求a、b、c的值； (2)若D点在BC之间，且AD+BD=3CD,求D点对应的数； (3)动点P从A点出发以2单位/秒的速度向左运动，动点Q从B点出发以4单位/秒的速度向 左运动，动点M从C点出发以α单位/秒的速度向左运动，三点同时出发，若三点同时到达同一 点E,求a的值，并求E点对应的数； (4)动点P从A点出发以2单位/秒的速度向左运动，动点Q从B点出发以4单位/秒的速度向 左运动，动点M从C点出发以6单位/秒的速度向左运动，三点同时出发，在运动过程中，T为 PQ的中点，R为MQ的中点，是否存在某时刻，T、R两点到原点的距离相等？若存在，求出运动 时间 W33点P的坐标为（号》 一次函数中的三角形、四边形 和面积问题（六） 解：(1)y=x-2k=k(x-2),令x=2,则y =0,所以直线1总过定点B(2,0). (2)如图所示，过点F作FK⊥DE于点K. B D E 易得直线BC的解析式为y=x-2, ∴.可设点D(t,t-2). 又点E(t,-3), .DE=It-2-(-3)1=It+1l. 0B=0C,∴.∠0CB=45°. 又.KD∥OC,.∠KDF=45°， ∴.△KDF是等腰直角三角形. DF=2,∴.FK=1, SaE=号0E·FK=2+1l +D (t>-1), ∴.S= )(t<-1) (3)0M-0N=5. 易得直线BC1的解析式为y=-x+7. :点G(1,a)和H(6,b)在直线B1C1上， ∴.a=6,b=1. 又mn=6,点P(m,m) 6 6 由点G(1,6)和点Pm, m 易得直线PG的解 析武为y=-6x+6 一X+ +6, mm 0M=6+6 m 由点(6,1)和点P,)易得直线PH的解 析式为y=-x+6+1, 6 m m 0N=1+6..0M-0N=5. m 知识点4一次函数中的极值问题、匀速 动点问题及含绝对值的一次函数（一） 解：(1)0A=2,S△40B=4, 参考答案 ∴.0B=4. 又.点B位于y轴负半轴， .点B(0,-4). 点D为AB的中，点A(2,0), 点D(1,-2),4D=7AB=5. 设点C(t,0).在Rt△ADC中，AC2=AD2+ CD2,即(2-t)2=5+(1-t)2+22, 解得t=-3,∴.点C(-3,0) 设直线DC的解析式为y=kc+b. 将点D(1,-2)、C(-3,0)分别代入，得 k+b=-2, =分 {-3张+b=0,解得 3 =-2 13 ∴.直线DC的解析式为y=- 2x-2 (2)存在. 如答图所示，连接GA. 点G位于线段AB的垂直平分线上， ∴.GB=GA. ·.C△Bwc=BM+GM+GB=BM+(GM+GA). ∴，.C△BMc取最小值时GM+GA取最小值. 当点A、G、M在同一条直线上时，GM+GA最 小，此时点G落在点G处 设直线AM的解析式为y=mx+n. 将点A(2,0)、M -1,)分别代人，得 2m+n=0, 3 m 2’ -m+n=- 9解得 2,1 ln=-3. 2-3. 3 ∴.直线AM的解析式为y= 2t-3, 3 [y= 「x三 联立方程组 13 解得 4, 15 =-2x-2’ y=- 8 在直线0c上存在点c(子，曾》，使得 C△BwG最小， 13 中考代数题典型题专项训练 一次函数中的极值问题、匀速动点问题 及含绝对值的一次函数（二） 解：(1)将点(1,1)、(2,0)分别代人y=a-b 1-1,得88-0解释8 1b=1. ∴.函数的解析式为y=-|x-1|+1. (2)当x≥1时，原函数可化为y=-(x-1)+ 1=-x+2; 当x<1时，原函数可化为y=-（1-x)+1 综上断述y=任1》 函数的图象如图所示 Y 1 01 函数的性质不唯一，如当x=1时，y=-|x-1 |+1有最大值1，无最小值；函数图象关于直 线x=1对称；当x≥1时，y随着x的增大而减 小，当x<1时，y随着x的增大而增大. (3)由题意可得，点A、B的纵坐标相等， ∴.点A、B关于直线x=1对称， ∴.m+n=2. (4)构造函数y=2x+k 若方程-1：-1山+1=分+k有两个不相等 的实数根，即函数y=7+k与函数y=-x -1川+1的图象有两个交点. 又x1·x2>0, 将点(1,1)代入y=7+,解得k= 1 将点(0,0)代入y=之+，解得k=0 :.0<k<2 一次函数中的极值问题、匀速动点问题 及含绝对值的一次函数（三） 解：(1)(a+8)2+1b+21+12c-121=0, ∴.a=-8,b=-2,c=6; (2)设D点对应的数为x,D在BC之间，则 -2<x<6,AD=x-（-8)=x+8,BD=x- （-2)=x+2,CD=6-x, ∴.(x+8)+(x+2)=3(6-x), 14 解得：x=弩，即D点对应的数为 (3)设运动时间为t,则P点对应的数 为：-8-2t; Q点对应的数为：-2-4t; 点M对应的数为：6-at, 三点到达同一点E时，有-8-2t=-2-4t= 6-at, 20 解得t=3,a=3 点E对应的数为-8-2t=-14. (4)存在. 设运动时间为t,则 P点对应的数为：-8-2t; Q点对应的数为：-2-4t; M点对应的数为：6-6t. T为PQ中点， .T对应的数为-5-3t, R为MQ的中点， ∴，R对应的数为2-5t,T、R两点到原点的距 离相等，则1-5-3tl=12-5tl, 解得1=或4=-日（负根舍去）. 知识点5一次函数的应用（一）】 1.解：(1)设每个A类摊位占地面积为x平方 米，则每个B类摊位占地面积为(x-2)平 方米， 由题意得60=60、3 xx-2×5 解得x=5,∴.x-2=3. 经检验，x=5,x-2=3符合题意， 答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每 个B类摊位占地面积为3平方米 (2)设建造A类摊位a个，则建造B类摊位 (90-a)个，总费用为y元，则y=5×40a+ 3×30×(90-a)=110a+8100. 45 :90-a≥3a,.a≤2 又.110>0， .y随a的增大而增大 .当a=22时，y取最大值，为10520. 答：最大费用为10520元. 2.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y= x+b(k≠0)， 将(2,120)，(4,140)分别代入y=x+b, 得0架将收18a .y与x之间的函数关系式为y=10x +100.