第二章 变量与函数 知识点8 二次函数图象中的特殊三角形、四边形-【荣恒专项】2026-2027学年九年级全一册数学——代数典型题专项训练

第二章变量与函数 知识点8 二次函数图象中的特殊三角形、四边形（一） 代数大冲关 (难度等级 (重庆模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过，点A(C B(4,1).直线AB交x轴于点C,P是直线AB下方抛物线上的一个动点. 作PD⊥AB,垂足为D,PE∥x轴，交AB于点E. 备用图 (1)求抛物线的函数表达式； (2)当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值； (3)把抛物线y=x2+bx+c平移，使得新抛物线的顶点为(2)中求得的点P.M是新抛物线上一 点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边 形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来. W49 中考代数题典型题专项训练 二次函数图象中的特殊三角形、四边形（二） 代数大冲关 (难度等级★★) （四川成都月考)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(4, 0)两点，与y轴交于点C(0,-2) 图1 图2 (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD,BC交于点E,连接BD,记△BDE的面积为 S,△1BE的面积为S,求的最大值： (3)如图2，连接AC,BC,过点O作直线l∥BC,点P,Q分别为直线1和抛物线上的点.试探究： 在第一象限是否存在这样的点P,Q,使△PQB∽△CAB.若存在，请求出所有符合条件的点P的 坐标；若不存在，请说明理由 50 第二章变量与函数 二次函数图象中的特殊三角形、四边形（三） 代数大冲关 (难度等级★★★) (四川南充一模)如图，抛物线与x轴负半轴交于点A,正半轴交于点B,与y轴交于点C,OB= OC=3OA=3.P是对称轴上一动点，PH⊥x轴于H. YA B 0 图1 图2（备用）》 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上求一点Q,使得以O,B,P,Q为顶点的四边形是平行四边形； (3)若Q为x轴上一动点，求CQ+2B0的最小值 W51 中考代数题典型题专项训练 二次函数图象中的特殊三角形、四边形（四） 代数大冲关 (难度等级★) (辽宁铁岭模拟)如图(a)所示，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点A(-2,0)、B(6,0),与y轴 交于点C,顶点为D,直线AD交y轴于点E. D D E E B A B 0 0 (a) (b) (1)求抛物线的解析式； (2)如图(b)所示，将△AOE沿直线AD平移得到△NMP. ①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标； ②在△NMP移动过程中，存在点M使△MBD为直角三角形，请写出所有符合条件的点M的 坐标 52 第二章变量与函数 二次函数图象中的特殊三角形、四边形（五） 代数大冲关 (难度等级★★) (湖南常德期末)如图所示，已知二次函数的图象过点O(0,0),A(8,4),与x轴交于另一点B,且 对称轴是直线x=3, (1)求该二次函数的解析式； 0 (2)若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于点N,当△ANM的面积最大时，求点M的坐标； (3)P是x轴上的点，过点P作PQ⊥x轴，与抛物线交于点Q,过点A作AC⊥x轴于点C,当以 O,P,Q为顶点的三角形与以O,A,C为顶点的三角形相似时，求点P的坐标 W53 中考代数题典型题专项训练 二次函数图象中的特殊三角形、四边形（六） 代数大冲关 (难度等级★★★) (山东济宁模拟)如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(3,0),B(-1,0), C(0,-3). (1)求抛物线的解析式， (2)若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M,求切点M的坐标. (3)若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边 形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由 54中考代数题典型题专项训练 设直线BD的解析式为y=kx+b. 将点B(4,0)、D(1,-5)分别代入， 得+6=0：解 h=5 , k+b=-5, 620 3 :直线BD的解析式为y=了-9 3 过点M作MN⊥OE于点N,设点M (,号m-》则点0,3m-》 5 又.∠MCE=∠BDC<90°， 3m、 “CW=-4-5m+20-85 3m+ 3=3-3m. :∠BDC=∠MCE, ·tan∠MCE=tan∠BDC=M- m CN 85 33m =4, 32 解得m= 231 283.-101 m9 23,-231 二次函数图象中的长度、角度 和面积问题（六） 解：(1)顶点A(1,4), ∴.可设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4. 将点B(3,0)代入，得(3-1)2a+4=0, 解得a=-1. .抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4= -x2+2x+3. (2)OM将四边形OBAD分成面积相等的两部 分.理由如下： DE∥OA,∴.△ODA与△OEA同底等高， SAOA=S△0EA, .SAODA+S△A0M=S△0BH+S△A0M, 即S四边形OMD=S△OMB: 点M是BE的中点，.SAOME=S△oBMr .S四边形oMD=S△0Bw,即OM将四边形OBAD分 成面积相等的两部分. (3)将点P(m,n)代入抛物线y=-x2+2x+3 中，得n=-m2+2m+3. ,m+n=-1,∴.n=-m-1,代入上式，得- m-1=-m2+2m+3, 解得m1=4,m2=-1(不合题意，舍去)， ∴.点P(4,-5). 如图所示，连接CA,过点D作DQ∥CA交PC 22 的延长线于点Q,由(2)知点N为PQ的中点. Q 设直线PC的解析式为y=kx+b. 将点C(-1,0)、P(4,-5)分别代入， 得60解得伦士 ∴.直线PC的解析式为y=-x-1. 同理可得直线AC的解析式为y=2x+2. .DQ∥CA, ∴.可设直线DQ的解析式为y=2x+b. 将点D(0,3)代入，解得b=3, ∴.直线DQ的解析式为y=2x+3. 联立方程组二，1解 x=-3 ly=2x+3, 1 y=3 点-号) :点N为PQ的中点， 3+4 4 35 7 ∴.xw= 2 3,N 2、 3 即点个》 知识点8二次函数图象中的特殊 三角形、四边形（一）】 解：(1)抛物线y=x2+bx+c经过点A(0, -1),点B(4,1), 7 {6be=1解 b=-2’ lc=-1, 该抛物线的函数表达式为y=-子-1， (2).A(0,-1),B(4,1), ·.直线AB的函数表达式为y=2x-1. ∴.C(2,0) 设P,P-7-,其中0<<4 点E在直线y=之-1上，PB∥x轴， 2-7,2-7-月 .PE=-2t2+8t=-2(t-2)2+8. .PD⊥AB, .∴.△PDE∽△AOC. .A0=1,0C=2, .AC=√5 .△A0C的周长为3+√5. 令△PmE的周长为1，则3+5-伦 1=35+5.[-2(4-2)2+8]=-65+10 5 5 （t-2）2+245+8. 5 当t=2时，△PDE的周长取得最大值，最大值 为345+8 此时点P的坐标为(2，-4). (3)如图所示，满足条件的点M的坐标有(2， -4),(6,12),(-2,12). C/ P(M,) 由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为y =x2-4x,对称轴为直线x=2. ①若AB是平行四边形的对角线， 当MN与AB互相平分时，四边形ANBM是平 行四边形， 即MN经过AB的中点C(2,0). 点N的横坐标为2， ∴.点M的横坐标为2， ∴.点M的坐标为(2，-4). ②若AB是平行四边形的边， i.当MN LAB时，四边形ABWM是平行四 边形. A(0,-1),B(4,1),点N的横坐标为2， ∴.点M的横坐标为2-4=-2. ∴.点M的坐标为(-2,12). iⅱ.当NM LAB时，四边形ABMN是平行四 边形. A(0,-1),B(4,1),点N的横坐标为2， 参考答案 ∴.点M的横坐标为2+4=6. .点M的坐标为(6,12). 二次函数图象中的特殊 三角形、四边形（二） 解：(1)解法一：将(4,0)，(0，-2)，(-1,0) 分别代入y=ax2+bx+c, 1 r16a+4b+c=0, 得{c=-2, 解得6=-3 La-b+c=0, -2’ c=-2. 抛物线的函数表达式为y=2-多-2 解法二：.·A(-1,0),B(4,0)在抛物线上， b-1+4_3 -2a2=2 ∴.b=-3a. :C(0,-2)在抛物线上， .c=-2,∴.y=ax2-3ax-2, 将(-1,0)代人了=am2-3as-2,得a=2 ∴抛物线的两数表达式为y=2-*-2 (2)过点B作AD边上的高BH,过点D作DG ⊥x轴于点G, 交BC于点F,过点A作AK⊥x轴，交BC的延 长线于点K, S12DE·BE DE DF SAE,删 AEAK B(4,0),C(0,-2), “直线BC的表达式为y=2x-2, 当=-1时y=多K=是 设0(m7n-m-2j0<m<4, r2m-2 23 中考代数题典型题专项训练 ·DF=- 2m2+2m, 1 2m+2m 4 :.62 m2+ 1 m 2 4 (m-2)2+ 5 .0<m<4, 当m=2时，取最大值号 (3)存在. 由(2)可得直线1的表达式为y=2,设P (m,2}(m>0). ①当点P在直线BQ右侧时，如图，过P作PW ⊥x轴，过Q作QM⊥NP交NP的延长线 于M, 0 则∠QMP=∠PNB=90°，易知∠QPB= ∠ACB=90°， ∴.∠QPM+∠MQP=90°，∠QPM+∠BPN =90°， ∴.∠MQP=∠NPB,∴.△QPM△PBN, ·器部-别 △PQB∽△CAB,:gB=AC=5-1 B即8C252 MP=2BN=m-2,M0=2P= 4 0(m,m-2 将Q的坐标代人y=女-子-2中，得m 60(m-0含去)， P ②当点P在直线BQ左侧时，由①的方法同理 可得Q(m,2, 24 此时P6+24,3+4 5,5 综上，在第一象限存在符合条件的点P,Q, 所有符合条件的点P的坐标为》， 6+2413+41 5 5 二次函数图象中的特殊 三角形、四边形（三） 解：(1).·0B=0C=30A=3, ∴.A(-1,0),B(3,0),C(0,3), 设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c, 将A(-1,0),B(3,0),C(0,3)代入， ra-b+c=0, ra=-1, 得9a+3b+3=0,解得{b=2, c=3, lc=3, ∴.抛物线的解析式是y=-x2+2x+3. (2).抛物线y=-x2+2x+3的对称轴是直 线x=1,P在对称轴上，Q在抛物线上， ∴.设P(1,m),Q(n,-n2+2n+3), 以O,B,P,Q为顶点的四边形是平行四边形， 分三种情况： ①以OB、PQ为对角线， 易知0B中点的坐标为（生，0生9），即 (3),P四的中点的坐标为 /1+nm+(-n2+2n+3) 2’ 2 ,OB的中点和PQ 的中点重合， r0+3=1+n, {0+0=m+(-n2+2n+3), 解得m三-3， ln=2, .Q的坐标为(2,3). ②以OP、BQ为对角线，同理可得 lm+0n2+2n+3+0,解得{， 1+0=n+3, ln=-2, ∴.Q的坐标为(-2，-5). ③以OQ、BP为对角线，同理可得 n的+3+0=m+0,解得45， 「n+0=1+3, n=4, ∴.Q的坐标为(4，-5). 综上所述，以0，B,P,Q为顶点的四边形是平 行四边形时，Q的坐标为(2,3)或(-2，-5) 或(4，-5). (3)以B为顶点，BA为一边，在x轴下方作射线 BE,使∠ABE=30°，BE交y轴于E,如图， 连接CQ,过Q作QF⊥BE于F, ,∠ABE=30°，QF⊥BE, ..QF-7BQ, CQ+2BQ最小，即CQ+QF最小， 则当C、Q、F共线时，CQ+2BQ最小 过C作cG1BE于C,交x轴于Q,则cQ+2 BQ的最小值即为CG的长度. .∠CQ'0=∠BQ'G,∠COQ'=∠BGQ', ∴.∠OCQ'=∠Q'BG=30°， 又0C=3, ÷00'=0c·an30°=3，cQ'=oC c0s30° =25, 0B=3. .Q'B=0B-0Q'=3-√3. Q'G=Q'B·sin30=3-3 2 cc=c0+0c=2+3 ∴CQ+380的最小值为2+35 2 2 二次函数图象中的特殊 三角形、四边形（四） 解：(1)将点A(-2,0)、B(6,0)分别代入 y=am+bx+6中，得a-2b+6=0, 136a+6b+6=0, 1 解得0=-2， b=2. 抛物线的解析式为)=-分+2x+6, (2)①抛物线y=-72+2x+6=-分(x- 2)2+8,.顶点D(2,8). 由点A(-2,0)、D(2,8)可得直线AD的解析 式为y=2x+4. 由题意得MN∥AB,MN=OA=2. 参考答案 设点N(n,2n+4),则点M(n+2,2n+4). ·点M在抛物线上， 2n+4=-2(n+2-22+8, 解得n=-2±2√3. ∴.点M(23,4√3)或(-23，-43). ②.直线AD的解析式为y=2x+4, ∴.点E(0,4),0E=4. 由平移的性质得PM=OE=4,MN=OA=2. 设点P(x,2x+4),则点M(x,2x). 点B(6,0)、D(2,8), .MD2=(2-x)2+(8-2x)2=5x2-36x+68, DB2=(6-2)2+82=80, BM=(x-6)2+(2x)2=5x2-12x+36. 分以下三种情况讨论： i.当∠DBM=90时，DB2+BM2=MD2,即80 +5x2-12x+36=5x2-36x+68,獬得x=- 2,.点M(-2,-4); i.当∠MDB=90°时，MD2+DB2=BM2,即 5x2-36x+68+80=5x2-12x+36,解得x= 号所以点学，： i.当∠DMB=90°时，MD2+BM2=DB2,即 5x2-36x+68+5x2-12x+36=80,解得x =12±221 5 ÷点M12+2②，24+4②四]或12-2② 5,5 5 24-421 5 综上所述，符合条件的点M的坐标为(-2， -4借2号，4四咸 5 5 12-22124-421 5 5 二次函数图象中的特殊 三角形、四边形（五） 解：(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c. 由点0(0,0)，A(8,4)及对称轴x=3, 1 c=0, b3, a=4 得-2 解得b=一2 4=64a+8b+c, c=0. 二次函数的解析式为y女-子=子 1 (x-6). 425 中考代数题典型题专项训练 (2),MN∥AB, ∴.△OMN∽△OBA. 设点M(m,0),由(1)得点B(6,0), 1 六Sa0=2×6×4=12, 2 .) 1 1 又Saow=2mx4=2m, -SAOw-2mm =号(m-3)2+3. .当m=3,即点M(3,0)时，△ANM的面积有 最大值3. (3)设点P(n,0),则Qn,4n(n-6)） 1 1 ①当n<6时，则有84m-6)》 Inl (n-6) 当△OPQ∽△AC0或△OPQ△OCA时，即分 别有-子(n-60)-或-(n-6)-意， 解得n=-2或n=4. ∴.点P(-2,0)或(4,0) 1 ②当n≥6时，则有 4n(n-6) OP n -6) 由题图可知，只能是△OPQ∽△AC0, 即(a-6)=8 4 解得n=14. ∴.点P(14,0) 综上所述，符合条件的点P的坐标为(-2， 0),(4,0),(14,0). 二次函数图象中的特殊 三角形、四边形（六） 解：(1)将点A(3,0),B(-1,0),C(0,-3)分 别代人y=ax2+bx+c, 9a+3b+c=0,ra=1, a-b+c=0,解得{b=-2, c=-3, 【c=-3. ∴.抛物线的解析式为y=x2-2x-3. (2)设直线BC的解析式为y=kx-3. 将点B(-1,0)代入，得k=-3. ∴.直线BC的解析式为y=-3x-3. 设点M(x,-3x-3). 26 'AB2=AM2+BM2,即16=(3-x)2+(3x+ 3)2+(x+1)2+(3x+3)2, 化简整理得5x2+8x+3=0,即(x+1)(5x+ 3)=0, 解得七=-1（不符合题意，合去），6=-子 当x=-时7=-名， 6 点M-多，》 (3)存在. 设Q(x,0),P(n,n2-2n-3).分两种情况 讨论 ①当四边形BCQP为平行四边形时， 则yg-yc=yp-yQ,即0-（-3)=n2-2n-3 -0,解得n=1±√7. 当n=1+√7时，n2-2n-3=3, .点P(1+7,3); 当n=1-√7时，n2-2n-3=3, ∴.点P(1-√7,3). ②当四边形BCPQ为平行四边形时， 显然点P的纵坐标为-3， 则n2-2n-3=-3,解得n=0(不符合题意， 舍去)或n=2. 当n=2时，n2-2n-3=-3, .点P(2,-3). 综上所述，符合条件的点P为(1+√7,3)，（1 -√7,3)或(2，-3) 知识点9二次函数图象中的 对称轴和极值（一） 解：(1)令y=x2-2x=0,则x=0或x=2,即 点B的坐标为(2,0). .0A=2OB, .点A的坐标为(4,0). :抛物线C1:y=x2-2x与抛物线C2:y=ax2 +bx开口大小相同、方向相反， ∴.a=-1. 将点A的坐标代入C2的解析式，得0=-16 +4b,解得b=4, ∴.抛物线C2的解析式为y=-x2+4x. (2)存在点P,使PA+PC的值最小 联立C1,C2的解析式，解得x=0或x=3, 点C(3,3). 如图，作点C关于抛物线C2的对称轴的对称 点C(1,3),连接AC',交抛物线C2的对称轴 于点P,此时PA+PC的值最小.