第一章 图形的认识 知识点2 相交线与平行线-【荣恒专项】2026-2027学年九年级全一册数学——几何典型题专项训练

申考几何题典型题专项训练 知识点2相交线与平行线（一） 几何大冲关 (难度等级★) 1.(湖北武汉月考)如图，直线EF分别与直线AB,CD交于点E,F.EM平分 ∠BEF,FN平分∠CFE,且EM∥FN.求证：AB∥CD. 2.(湖北武汉月考)如图，AB∥CD,∠B=∠D,直线EF与AD,BC的延长线分别交于点E,F. 求证：∠DEF=∠F. 3.(吉林模拟)如图，在△ABC中，AB>AC,点D在边AB上，且BD=CA,过点D作DE∥AC,并截 取DE=AB,且点C,E在AB同侧，连接BE.求证：△DEB≌△ABC. 4◆ 第一章 图形的认识 相交线与平行线（二） 几何大冲关 (难度等级★★) 1.(湖北武汉模拟)如图，△ABC中，D,E,F三点分别在AB,AC,BC三边上，过点D的直线与线 段EF的交点为点H,∠1+∠2=180°，∠3=∠C,求证：DE∥BC. D 2 2.(陕西期末)如图，△ABC是⊙0的内接三角形，∠BAC=75°，∠ABC=45°，连接A0并延长，交 ⊙O于点D,连接BD.过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E. (1)求证：AD∥EC; (2)若AB=12,求线段EC的长. 45 中考几何题典型题专项训练 相交线与平行线（三） 几何大冲关 (难度等级★★★)】 在等腰△ABC中，AB=AC,作CM⊥AB交AB于点M,BN⊥AC交AC于点N. 图1 图2 图3 (1)在图1中，求证：△BMC≌△CNB; (2)如图2，在线段CB上取一动点P,过P作PE∥AB交CM于点E,作PF∥AC交BN于点F,求 证：PE+PF=BM; (3)如图3，动点P在线段CB的延长线上，类似(2)，过P作PE∥AB交CM的延长线于点E,作 PF∥AC交NB的延长线于点F,求证：AM·PF+OM·BN=AM·PE. 6◆中考几何题典型题专项训练 .∠DAF=∠F 又.AG平分∠DAE,∴.∠DAF=∠EAF, ∴.∠EAF=∠F,.EA=EF. λ=1，AB=BC=2,.BE=EC=1. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得EA=√5， .CF =EF -EC=5 -1. （2)①证明：EA=EF,EG⊥AF, ∴.AG=GF. 又.·∠AGD=∠FGC,∠DAG=∠F, ∴.△DAG≌△CFG(ASA). .DG=CG,∴.点G为CD边的中点， ②不妨设CD=2,则CG=1. 由①知CF=AD=2. 由题意，得△EGC△GFC, EC CG 1 CC=CF=2 0=分B距=3A第分 知识点2相交线与平行线（一） 1.证明：，'EM平分∠BEF,FN平分∠CFE, ∴.∠BEF=2∠MEF,∠CFE=2∠NFE. ,EM∥FN,∴.∠MEF=∠NFE, .∠BEF=∠CFE,∴.AB∥CD. 2.证明：AB∥CD,∴.∠DCF=∠B. ∠B=∠D,∴.∠DCF=∠D, .∴.AD∥BF,.∠DEF=∠F. 3.证明：.DE∥AC, ∴.∠EDB=∠BAC 又·BD=CA,DE=AB, ∴.△DEB≌△ABC(SAS) 相交线与平行线（二） 1.证明：.·∠1+∠DHE=180°， ∠1+∠2=180， ∴.∠DHE=∠2，∴.DH∥AC, .∴.∠3=∠AED. 又.∠3=C, ∴.∠C=∠AED,.DE∥BC. 2.解：(1)证明：如图，连接OC :CE与⊙0相切于点C, ∴.∠0CE=90°， 又.∠ABC=45°，∴.∠A0C=90°， ∴.∠A0C+∠0CE=180°， .∴.AD∥EC. 2 (2)如图，过点A作AF⊥EC,垂足为F OA=OC,∴.四边形AOCF为正方形 ∠ABC=45°，∠BAC=75°， .∠ACB=60°.∴.∠D=60. AD是直径， ∴.∠ABD=90°，∴.∠BAD=30° 在R△ABD中，AD=AB c0s300=8V3. .AF=CF=OA=4√3. AD∥EC,∴.∠E=∠BAD=30° 在Rt△AEF中，EF=,AF tan30。=12. ∴.EC=EF+FC=12+4√5. 相交线与平行线（三） 证明：(1).AB=AC,∴.∠MBC=∠NCB. 在△BMC和△CNB中， .∠CMB=∠BNC=90°，∠MBC=∠NCB, BC=CB, ∴.△BMC≌△CNB(AAS) (2)证法一：如图，延长EP至H,使PH=PF, 连接BH. M 0 H ,PE∥AB,PF∥AC, ∴.∠HPB=∠EPC=∠ABC=∠ACB=∠FPB, 又.BP=BP,PH=PF, ∴.△HPB≌△FPB(SAS), ∴.∠HBP=∠FBP. 由(1)可得∠NBC=∠MCB. ∴.∠HBP=∠MCB,∴.BH∥MC. 又：PE∥AB, .四边形BHEM是平行四边形， ∴.BM=HE,即PE+PF=BM. 证法二：由(1)可得∠FBP=∠ECP. 由PE∥AB,PF∥AC得∠BFP=∠CEP=90°， ·.Rt△FBP∽Rt△ECP, 開隐则. PE PC 即PF+PE_BC PEPC ① PE∥AB,∴.△ECP∽△MCB, BM BC PE=PC ② 由①②可得PF+PE=BM. (3)证法一：如图，在PE上截取PK=PF. PE∥AB,PF∥AC,AB=AC, ∴.∠KPB=∠ABC=∠ACB=∠FPB. 又BP=BP,PK=PF, .△KPB≌△FPB(SAS), ∴.∠KBP=∠FBP. 由(1)可得∠NBC=∠MCB, 又.∠FBP=∠NBC, .∠KBP=∠MCB, .BK∥EC. 又PE∥AB,四边形EKBM是平行四边形， ∴.BM=KE,即BM=PE-PF :∠MBO=∠NBA,∠BMO=∠BNA=90°， △BM0∽△BNA,.MFBN MO BM 由(1)可得AN=AM, 溜- .∴.AM·PF+OM·BN=AM·PE. 证法二：.PE∥AB,∴.△ECP∽△MCB, ÷品-照 nF/AC△PBF△cBN2-8器， 参考答案 P 则Paw.9sfC- CN BM 由(1)可得CN=BM, ∴.PE=PF+BM,即BM=PE-PF .∠MBO=∠NBA,∠BMO=∠BNA=90°， △0△BM,光-8器 又4W=恕- ∴.AM·PF+OM·BN=AM·PE. 知识点3三角形的相关概念（一）】 1解：(1)垂直平分线；平分线， (2),DF是线段AB的垂直平分线， .DB=DA,∴.∠BAD=∠B=40° ,∠B=40°，∠C=50°，∴.∠BAC=90°. .∠DAC=50°. 射线AE是∠DAC的平分线， .∠DAE=25° 2.解：(1)如图①所示，BC=3, AB=√2+22=√5，AC=√22+2=2√2， 则△ABC即为所求. (2)如图②所示，EF=2,△DEF的边EF上 的高为4，由三角形的面积公式知， 1 S△DEr=2X2×4=4, 则△DEF是符合题意的钝角三角形 图① 图② 3.解：如图所示，延长BC至点F,使CF=AC F :DE平分△ABC的周长，AD=BD, ∴.AC+CE=BE, .BE =CF+CE=EF, .DE/AF,DE-TAF. ,∠ACF=180°-∠ACB=120°，CF=AC=1, 六AF=5.DE= 2 刚3