第一章 图形的认识 知识点11 正方形-【荣恒专项】2026-2027学年九年级全一册数学——几何典型题专项训练

2.解：（1)证明：，四边形ABCD是菱形， ∠BAD=60°， ∴.∠BAC=∠DAC=30°. CELAB,CFLADCE-CF-AC. ,H为对角线AC的中点， .E=H=AC, .∴.CE=EH=FH=CF, ∴.四边形CEHF是菱形. (2).CE LAB,CE=4,SAACE=16, .AE=8 在Rt△AEC中，由勾股定理，得AC= CE +AE*=45,AH=AC=25. 连接BD(图略)，则BD LAC. ·.∠AHB=∠AEC=90°，∠BAH=∠EAC, △AB△ACE六80-0 毁 .BH=√5，.BD=2BH=2√5， Sm=24C·BD=×45×25 =20. 菱形（三） 解：(1)如图：点C即为所求作的点； B A D (2)①证明：·∠ABD=∠ADB,∴.AC⊥BD. 又.A0=A0, ∴.△ABO≌△AD0, ∴.B0=D0 又.A0=C0,AC⊥BD, .四边形ABCD是菱形； B ②解：，四边形ABCD是菱形， ∴.A0=C0,B0=D0,AC⊥BD 又.BD=10, .∴.B0=5. 参考答案 :E为BC的中点， ∴.CE=BE. .A0=C0, ∴.OE为△ABC的中位线 0=号 ∴.AB=13, .菱形的边长为13。 'AC⊥BD,B0=5 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AO=AB2- B02,即：A0=√132-52=12， ..AC=12×2=24. 设点E到AD的距离为h,利用面积相等得 2×24×10=13h, 解得：h=120 13, 即E到A0的距离为贸 A D 知识点11正方形（一）】 1.证明：：四边形ABCD是正方形， ∴.OC=OD,∠0CE=∠0DF=45°，∠C0D =90°， ∴.∠D0F+∠C0F=90. .∠E0F=90°，即∠C0E+∠C0F=90°， ∴.∠COE=∠D0F, ∴.△COE≌△DOF(ASA),∴.CE=DF. 2.解：(1)证明：四边形ABCD是正方形， BD是对角线， ∴.AB=CB,∠ABE=∠CBE=45 rAB=CB, 在△ABE和△CBE中，{∠ABE=∠CBE, BEBE, .△ABE≌△CBE(SAS). (2),△ABE≌△CBE, LAEB=∠CEB=2∠ABC=70 .∠DEC+∠CEB=180°， .∴.∠DEC=180°-∠CEB=110°. .∠DFE+∠ADB=∠DEC,∠ADB=45°， ∴.∠DFE=∠DEC-∠ADB=110°-45°=65° 3.解：(1)证明：四边形ABCD是正方形， 19 中考几何题典型题专项训练 ∴.AB=AD,∠BAF+∠DAE=90° ,DE⊥AG,.∠DAE+∠ADE=90°， ∴.∠BAF=∠ADE. 又BF∥DE,∴.∠BFA=90°=∠AED, ∴.△ABF≌△DAE(AAS), .'BF=AE,..AF-BF =AF-AE =EF. (2)不可能.理由如下： 如图，连接BE,FD,AC D B G :四边形ABCD是正方形，∴.∠BAC=45° DE∥BF, .当DE=BF时，四边形BFDE是平行四 边形 DE=AF,∴.BF=AF, 即此时∠BAF=45°. 而点G不与点B,C重合，∴.∠BAF≠45°， ·.四边形BFDE不可能是平行四边形. 正方形（二） 1.解：(1)证明：.四边形ABCD是正方形， ∴.∠B=90°，AB=BC. FH⊥BH, ∴.∠H=90°=∠B,∠F=90°-∠FEH. .∠AEF=90°，∴.∠AEB=90°-∠FEH, .∴.∠AEB=∠F. ∠B=∠H, 在△ABE和△EHF中 ∠AEB=∠F, AE=EF, ∴.△ABE≌△EHF(AAS), ∴.EH=AB=BC, .∴.BC-EC=EH-EC,即BE=CH. (2)如图，连接DF,过点F作FP⊥CD于 点P C H ,∠H=∠DCH=∠FPC=90°， 20 ∴.四边形PCHF是矩形 由(1)知△ABE≌△EHF,.BE=HF. 又BE=CH,∴.HF=CH, ∴.四边形PCHF是正方形， ∴.PF=CP=CH=BE=x. DC=AB=3, ∴.DP=DC-CP=3-x. 在Rt△DPF中，DF=DP2+PF2= W√(3-x)2+x2=√2x2-6x+9. 2.解：(1)证明：，四边形ABCD为正方形， ∴.CD=AD,∠DCE=∠DAF=90°. 又.CE=AF,.△DCE≌△DAF(SAS), （2)①证明：.△DCE≌△DAF, ∴.DE=DF,∠CDE=∠ADF, ∴.∠EDF=∠ADF+∠ADE=∠CDE+ ∠ADE=∠ADC=90°， ∴.△DFE为等腰直角三角形. DH⊥EF,∴.点H是EF的中点， ∴DH=2BF,m=ER, ∴.HD=HB. ②.四边形ABCD为正方形，.CD=CB. HD =HB,CH=CH, ∴.△DCH≌△BCH(SSS), ∴.∠DCH=∠BCH=45. ·△DEF为等腰直角三角形， ∴.∠DFE=45°， ∴.∠HCE=∠DFK. ∵ 四边形ABCD为正方形， .AD∥BC,.∠DKF=∠HEC DK DF ·.△DKF∽△HEC,HE=HC, ∴.DK·HC=DF·HE. 在等腰Rt△DFH中，DF=√2HF=√2HE, .DK·HC=DF·HE=√2HE2=√2， ∴.HE=1. 正方形（三） 解：【问题解决】 (1)证明：，四边形ABCD是矩形， ∴.∠DAB=∠ABC=90°. ,DE⊥AF, ∴.∠AGD=90°， ∴.∠ADE+∠DAF=90. 又∠BAF+∠DAF=90°， ∴.∠ADE=∠BAF. 又.DE=AF,.△ADE≌△BAF(AAS), .'AD =AB. 四边形ABCD是矩形， ∴.四边形ABCD是正方形 (2)△AHF是等腰三角形. 理由：由(1)知，四边形ABCD是正方形， ∴.∠DAB=∠ABH=90°，DA=AB. 又，AE=BH, ∴.△DAE≌△ABH(SAS), ∴.DE=AH. DE=AF,∴.AH=AF, .△AHF是等腰三角形 【类比迁移】 如图，延长CB到点H,使得BH=AE=6, 连接AH. -------1 B F :四边形ABCD是菱形，∴.AD∥BC,AB=AD, ∴.∠ABH=∠DAB. 又.BH=AE, ∴.△ABH≌△DAE(SAS), ∴.AH=DE,∠AHB=∠DEA=60°. .DE=AF,..AH=AF, .△AHF是等边三角形， .AH=HF=HB+BF=AE +BF=6+2=8, ∴.DE=AH=8. 正方形（四）》 1.解：：四边形ABCD为正方形， ∴.∠BAE=∠D=90°，AB=DA. 又.'AE=DF,.△ABE≌△DAF(SAS), ∴.∠ABE=∠DAF. .·∠ABE+∠BEA=90°， ∴.∠DAF+∠BEA=90°， ∴.∠AGE=∠BGF=90°. :点H为BF的中点，GH=2BF :BC=5,CF=CD-DF=5-2=3, .在Rt△BCF中，BF=√BC2+CF2=W34, GH=BF4 2 2.解：(1)证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC,∠ABC=∠C=90. 参考答案 BH⊥AE,∴.∠AHB=90°， .∠ABH+∠BAE=∠ABH+∠CBF=90°， ∴.∠BAE=∠CBF, ∴.△ABE≌△BCF(ASA),.AE=BF (2):△ABE≌△BCF,∴.BE=CF. 正方形边长是5，BE=2, .DF CD -CF CD-BE=5-2=3. ∴.在Rt△ADF中，AF=√DF2+AD2=/34. 3.解：在正方形ABCD中，∠BAD=∠D= 90°，AB=AD=12. 由折叠性质可知，BF垂直平分AG. 如图所示，设垂足为点H B ∴.∠AFB+∠DAE=∠DAE+∠DEA =90°， .∠AFB=∠DEA, ∴.△ABF≌△DAE,AF=DE=5. .∠AHF=∠D=90°， 又.∠FAH=∠EAD,∴.△AHF∽△ADE, 8 在Rt△ADE中，AE=√AD2+DE=13, “音设解得A-智 4c=24w-0 GB=AB-4G-铝即6B的长为号 正方形（五） 1.解：(1)证明：在正方形ABCD中，BC=CD, ∠BCG=∠DCE=90°. BF⊥DE,∴.∠DGF+∠GDF=90 .∠CBG+∠CGB=90°，∠CGB=∠DGF, ∴.∠GDF=∠CBG, ∴.△BCG≌△DCE(ASA), .∴.BG=DE. (2)设正方形ABCD的边长为a, -.CB-o.CG-GD-je, 州21 中考几何题典型题专项训练 BG= 2a. :∠CBG=∠GDF,∠BGC=∠FGD, .△BCG∽△DFG, 1 √5 器 n2-足，解得cF=点a 2a :AB∥CD是-B=2 GC HG 1 6a, :6=60 5 GF 31 10 2.解：（1)证明：，四边形ABCD与四边形 OEFG都是正方形， ∴.D0=OC,G0=OE,∠G0E=90°，DB⊥ AC, ∴.∠G0E=∠D0C=90°， ∴.∠GOD+∠DOE=∠DOE+∠COE=90°， .∴.∠G0D=∠C0E. ,D0=C0, 在△D0G和△COE中， ∠DOG=∠COE, LOG=OE, ∴.△DOG≌△COE(SAS). (2)如图，过点M作MH⊥DO于点H. E AM=2.DA=2DM= .∠MDB=45°， 4,D0= :.MHI DH DM.sin 45 =32 DA·c0s45°=√2， H0=D0-DH=2-32=2 4 4 ∴.在Rt△MHO中，由勾股定理，得MO= 22 √M+HO 32 +2) -5 DG⊥BD,MH⊥D0,.MH∥DG, 25 80-8即-高得60=25， 2 即正方形OEFG的边长为25. 正方形（六） 解：(1)四边形BEFE是正方形 理由：由旋转可知∠E'=∠AEB=90°， ∠EBE'=90°， 又.·∠AEB+∠FEB=180°，∠AEB=90°， ∴.∠FEB=90°. ∴，四边形BEFE是矩形 由旋转可知，BE=BE,∴.四边形BE'FE是正 方形. (2)CF=FE'. 证明：如图，过点D作DH⊥AE,垂足为H. H 则∠DHA=90°，∠1+∠3=90°. DA=DE,AH-TAE. :四边形ABCD是正方形， ∴.AB=DA,∠DAB=90 ∴.1+∠2=90°.∴.∠2=∠3 .∠AEB=∠DHA=90°， ∴.△AEB≌△DHA(AAS) ∴.AH=BE. 由(1)知四边形BEFE是正方形， ∴.BE=E'F,AH=E'F. 由旋转可得CE'=AE,FE=之CB, ∴.CF=FE (3)317. 详解：由(1)知四边形BE'FE是正方形， ∴.FE'=BE,由旋转得CE=AE,CF=3, ∴.BE=FE'=AE-3, 在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2,即AE2+ (AE-3)2=152,解得AE=12或-9（舍）， 作DH⊥AE于H点，·'∠DAH+∠ADH= ∠DAH+∠EAB=90°， ∴.∠ADH=∠EAB,又∠AHD=∠AEB=90°， △DM△ABE,股-品=1， ∴.DH=AE=12, .AH=√AD-Df=√152-12=9， ∴.HE=3, .DE=√HE2+Df=√32+122=3√17 B 第二章圆 知识点1圆的垂径定理（一） 1.解：如图，连接0C B :弦CD⊥AB于点E,CD=6,AB=8, *CE-ED-]CD-3.0C-ZAB-4. 在Rt△OEC中，∠OEC=90°，CE=3,OC =4, .0E=√42-32=万. 2.解：AB是⊙0的直径，弦CD⊥AB,CD=6, .∴.CE=DE=3. 如图，连接OD,设⊙0的半径为r, 则OD=OB=r,AB=2r. 参考答案 BE=1, ∴.0E=r-1, .2=32+(r-1)2, ∴.r=5, ∴.0E=4,AE=9, 5am=3x3x9= 1 2 1 Sa0m=2×3×4=6, 27 :'SAAOD=2 15 -6= 2, ,OF⊥AD, ∴.AF=DF, .11515 3.解：(1)证明：AD是⊙0的直径，AD⊥BC 于点E, ∴.BD=CD,.∠BAD=∠CAD. (2)如图， G AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E, ∴.BE=CE. ·在△BGC中，点O,点E分别是边BG,BC 的中点， 0E是△BGC的中位线0E=26C, ∴.GC=20E=6. 在Rt△B0E中，0B=5,0E=3, 由勾股定理可得BE=√OB2-OE2=4. ∠BEA=∠BCG=90°， .AE∥CG, ∴.∠FOA=∠FGC,∠OAF=∠GCF, :.△A0F∽△CGF,FG-cC-6 .OF OA 5 又.OF+FG=5, 0r- 圆的垂径定理（二） 1.解：(1)证明：∠ADC=∠G, .AC=AD. 23第一章 图形的认识P 知识点①正方形（一） ⊙ 几何大冲关 (难度等级★) 扫码 1.(内蒙古呼伦贝尔期末)如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O, 改 E,F分别是边BC,CD上的点，且∠EOF=90°.求证：CE=DF D 0 B E 2.(青海西宁期末)如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE,CE,并延长CE交AD于 点F (1)求证：△ABE≌△CBE; (2)若∠AEC=140°，求∠DFE的度数， 3.(内蒙古呼和浩特期末)如图，在正方形ABCD中，G是BC边上任意一点（不与点B,C重合）， DE⊥AG于点E,BF∥DE,且交AG于点F. (1)求证：AF-BF=EF; E (2)四边形BFDE可能是平行四边形吗？如果可能，请指出此时点G的位 置；如果不可能，请说明理由. 439 中考几何题典型题专项训练 正方形（二） 几何大冲关 (难度等级★★) 1.(湖北荆门期末)如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点，∠AEF=90°，且EF=AE, FH⊥BH. (1)求证：BE=CH; (2)若AB=3,BE=x,用x表示DF的长. 2.(海南期末)如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且点E不与点B,C重合，点F 是BA延长线上一点，且AF=CE. (1)求证：△DCE≌△DAF. (2)如图2，连接EF,交AD于点K,过点D作DH⊥EF, G 垂足为H,延长DH交BF于点G,连接HB,HC. ①求证：HD=HB; 图1 图2 ②若DK·HC=√2，求HE的长. 40◆ 第一章 图形的认识P 正方形（三） 几何大冲关 (难度等级★★★) (甘肃白银模拟)【问题解决】如图1，在矩形ABCD中，点E,F分别在AB,BC边上，DE=AF, DE⊥AF于点G. E 图1 图2 (1)求证：四边形ABCD是正方形； (2)延长CB到，点H,使得BH=AE,判断△AHF的形状，并说明理由. 【类比迁移】如图2，在菱形ABCD中，点E,F分别在AB,BC边上，DE与AF相交于点G,DE= AF,∠AED=60°，AE=6,BF=2,求DE的长 441 中考几何题典型题专项训练 正方形（四） 几何大冲关 (难度等级★) 1.如图所示，已知正方形ABCD的边长为5，点E,F分别在AD,DC上，AE=DF=2,BE与AF交 于点G,点H为BF的中点，连接GH,求GH的长 G H 2.如图所示，正方形ABCD中，点E是BC上的一点，连接AE,过点B作BH⊥AE于点H,延长BH 交CD于点F,连接AF (1)求证：AE=BF; (2)若正方形边长是5，BE=2,求AF的长 H E 3.(天津月考)如图所示，正方形纸片ABCD的边长为I2,E是边CD上一点，连接AE.折叠该纸 片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B,得到折痕BF,点F在AD上.若DE=5,求 GE的长。 42◆ 第一章 图形的认识 正方形（五） 几何大冲关 (难度等级★★) 1.如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE,过顶点B作BF⊥DE于点F,BF 分别交AC于点H,交DC于点G. (1)求证：BG=DE; (2)若点G为cD的中点，求的值， 2.(湖南株洲月考)如图，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD的对角线AC,BD的交点， 连接CE,DG (1)求证：△DOG≌△C0E; (2)若DG1BD,正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段0G相交于点M,AM=2,求正方形 OEFG的边长. 443 中考几何题典型题专项训练 正方形（六） 几何大冲关 (难度等级★★★) (山西模拟)问题情境：如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按 顺时针方向旋转90°，得到△CBE'(点A的对应点为点C).延长AE交CE'于点F,连接DE. 图1 图2 猜想证明： (1)试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由； (2)如图2，若DA=DE,请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明； 解决问题： (3)如图1，若AB=15,CF=3,请直接写出DE的长. 44◆