第一章 图形的认识 知识点7 勾股定理的逆定理-【荣恒专项】2026-2027学年九年级全一册数学——几何典型题专项训练

∴.∠AGC=∠CAB=45°， .∠GCA=∠ACF, ∴.△GCA∽△ACF, ∴.∠CAG=∠CFA. 在Rt△EAD和Rt△EHC中， ,tan∠AED=tan∠HEC, 六0-服0=2x号-号 36 ,5BF-5AD=4,∴.BF=2, 0B=3,.F0=1. 在Rt△C0F中，CF=√OC+0F=√10， 六cos∠CAG=CosLCFA=10 10 △CCA△ACF,. AC CG FC CA 在Rt△AOC中，AC=√/OA2+OC2=3√2， ·CG=910 51 勾股定理（三） 解：(1)如图，过点C作CELy轴，垂足为点E. y 0 A 矩形ABCD中，CD⊥AD, ∴.∠CDE+∠AD0=90. 又∠OAD+∠AD0=90°， ∴.∠CDE=∠OAD=30°. 在R△CBD中，CB=CD=2, DE=√CD2-CE2=25. 在Rt△OAD中，∠OAD=30°， 0D=24D=3 .点C的坐标为(2,3+23) (2):M为AD的中点， .DM=3,∴.SADCM=6. 21 又：S四边形0MCD=2, 9 六Sa00M=2,.Sa0MD=9, 设01=，0D=y,则2+y=36,2y=9. 参考答案P 由此得x2+y2=2y,即x=y. 将x=y代人x2+y2=36得x2=18, 解得x=3√2，x=-3√2（不符合题意，舍 去)， ∴.OA的长为3√2. (3)0C的最大值为8. 如图，M为AD的中点， 0 .OM-7AD-3.CM-CD+D-5, ∴.OC≤OM+CM=8, 当O,M,C三点在同一直线时，0C取得最大 值8. 过点O作ON⊥AD,垂足为点N. .'∠CDM=∠ONM=90°，∠CMD=∠OMN, ∴.△CMD∽△OMN, 职别器品 得MN=号，0N=, 9 5 AN=AM-MN=号 在Rt△0AN中，0A=√ON+AN=65 5 cos∠0AD=4-￥5 OA5 知识点7勾股定理的逆定理（一） 1.解：(1)：四边形ABCD是平行四边形， ∴.对角线AC与BD相互平分， ÷0M=0C=2AC,0B=0D=2BD, .AC=26,BD=10, .0A=13,0D=5. AD=12. ∴.△A0D的周长=5+12+13=30. (2)由(1)知0A=13,0D=5,AD=12, .52+122=132, .在△A0D中，AD2+D02=A02, ∴.△AOD是直角三角形 2.解：(1)如图所示，点D即为所求. 州11 中考几何题典型题专项训练 (2)连接AD.由(1)可得CD=BD, .'BC=CD+BD=6. 在△ABC中， AC2+BC2=22+62=40, AB2=(2√10)2=40， .'AC2 +BC2 AB2. .∠ACB=90°，即AC⊥BC, 5Saw=280.4c=3x3×2=3. 勾股定理的逆定理（二） 1.解：(1)证明：如图所示，连接OC D 由题意可得OC=0B=3,OP=0B+PB=5. 在△0CP中，0C2+PC2=32+42=52= 0P2. ∴.△OCP为直角三角形，∠0CP=90° 即OC⊥PC,.PC是⊙O的切线. (2)过点C作CD⊥OP于点D,则∠ODC= ∠0CP=90°. .∠COD=∠POC, .∴.△OCD∽△OPC, OC OP PC OD=OC-CD' 0D=0c9 0m=3,CD-P℃.0c12 OP 5 AD=0A+0D=24 tan L CAB CD_1 ΓAD=2 2.解：如图所示，将△ACE绕点A旋转，使AC 与AB重合，点E的对应点为点E',连接 DE',过点E作E'M⊥BD于点M. 12 B M 由旋转性质可知，∠BAE'=∠CAE, AE'=AE,BE'=CE. .∠BAC=120°，∠DAE=60°. ∴.∠DAE'=∠BAD+∠BAE'=∠BAD+ ∠CAE=60°. 又.AD=AD,.△DAE'≌△DAE .DE=DE',∠ADE=∠ADE. ,∠ABC=∠ACE=∠ABE'=30°， ∴.∠DBE'=60. 设CE=a,则BE'=a,BD=2CE=2a, .BM=BE'·cosDBE'=2 a B'M=BE·sin DBE'=5。 2a, DM =BD BM=30 2a. 在Rt△MDE'中，DE'=√DM+E'M=5a. 在△BDE'中BE2+DE2=BD2, 且B=2BD, ∴.△BDE是直角三角形，∠BDE'=30°. 乙ADE=LADE'=7X(180-∠BDE) =75. 过点D作DN⊥AB于点N. 那么△BDN为直角三角形.又由前知 ∠ABC=30°，得∠BDN=60°. ∴.∠NDE=∠BDN-∠BDE'=60°-30° =30°， ∠NDA=∠ADE'-∠NDE'=75°-30°= 45°.故△AND为等腰直角三角形 在Rt△BDW中，BN=BD·sin∠BDN=√3a, DN=BD·cos∠BDN=a. 在Rt△ADN中，AN=DN=a, .AB=AN+BN=a+5a=2√5， 解得a=3-√3. .DE=DE'=3a×(3-√5)=3√5-3. 勾股定理的逆定理（三） 解：(1)△AEM是等边三角形. PA=PD,PM=BP, ∴.四边形ABDM是平行四边形， /0瓷-C ·△CDE是等边三角形， ∴.DE=EC,∠DEC=60°， ∴.ME=AE,∠AEM=∠DEC=60°， ∴.△AEM是等边三角形. (2)△AEM是等边三角形 如图所示，连接BD,交AC于点F,交AE 于点G,连接DM. :点P是AD的中点，PM=BP, .四边形ABDM是平行四边形， .∴AM IBD. ,·△ABC和△CDE是等边三角形， .∴.BC=AC,CD=CE,∠ACB=∠DCE =60°， ∴.∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD, 即∠BCD=∠ACE, ∴.△BCD≌△ACE,∴.BD=AE, .AM=AE. ,'∠CBD=∠CAE,∠BFC=∠AFG, ..△BFC∽△AFG, .∴.∠AGF=∠BCF=60. .'AM∥BD,∴.∠MAE=∠AGF=60°， ∴.△AME是等边三角形 (3)设CD=a,则CE=a,AC=BC=2a,AE =ME=√3a, AC2=CE2+AE2,∴.∠AEC=90 如图(b)所示，当△CDE绕点C顺时针旋 转时，点E的轨迹为以点C为圆心，CE的 长为半径的⊙C. E (b) 过点A作⊙C的切线，切点为E,此时 ∠AEC=90°. 参考答案 分以下两种情况讨论： ①如图(c)所示，当点D落在AC的中点 处时，LAEC=90,cos∠ACB=Cg=1， =AC=2, A (c) ∴.∠ACE=60°，此时α=60°； ②如图(d)所示，当点E落在BC的中点 处时，∠AC=90，°AC-光=， (d) ∴.∠ACE=60°，此时a为∠ACE的补角， 即α=300°. 综上所述，α=60°或300°. 知识点8平行四边形（一） 1.证明：DE=DC, ∴.∠DEC=∠C. ∠B=∠C. .∠DEC=∠B,∴.AB∥DE. AD∥BC, ∴.四边形ABED为平行四边形， .AD =BE. 2.证明：四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,AD∥BC EC,FD-ADBE-DF. DF∥BE, ∴.四边形BEDF是平行四边形 3.证明：(1).BE=CF, .BE +EC=CF +EC,BC=EF, 13第一章图形的认识 知识点⑦勾股定理的逆定理（一） 几何大冲关 (难度等级★) 1.(广西月考)如图，已知□ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AD=12, BD=10,AC=26. (1)求△AD0的周长； (2)求证：△AD0是直角三角形 2.(福建厦门模拟)已知点D在△ABC的BC边上，且△ACD和△ADB面积相等. (1)请用尺规作图作出点D(不写做法，保留作图痕迹)； (2)若AC=2,BD=3,AB=210,求△ABD的面积 25 中考几何题典型题专项训练 勾股定理的逆定理（二） 几何大冲关 (难度等级★★) 1.如图，C是⊙0上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙0的半径为3，PB=2,PC=4. (1)求证：PC是⊙0的切线； (2)求tan∠CAB的值. 2.如图，在△ABC中，AB=AC=2√3，∠BAC=120°，点D,E都在边BC上，∠DAE=60°.若BD= 2CE,求DE的长. 26◆ 第一章 图形的认识 勾股定理的逆定理（三） 几何大冲关 (难度等级★★★)】 △ABC与△CDE是等边三角形，连接AD,取AD的中点P,连接BP并延长至点M,使PM=BP, 连接AM、EM、AE,将△CDE绕点C顺时针旋转， 图a 图b (1)如图a所示，当点D在BC上，点E在AC上时，判断△AEM的形状，并说明理由； (2)将△CDE绕点C顺时针转至如图b所示的位置，判断△AEM的形状，并说明理由； (3)若CD=BC,将△CDE由如图a所示的位置绕点C顺时针旋转角a(0°≤a<360),当ME= 3CD时，求a的值， 州27