第一章 图形的认识 知识点6 勾股定理-【荣恒专项】2026-2027学年九年级全一册数学——几何典型题专项训练

中考几何题典型题专项训练 知识点6勾股定理（一） 几何大冲关 (难度等级★) 1.把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个 三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一 条直线上，若AB=√2，求CD的长 2.(四川巴中月考)一个等腰直角三角板按如图所示的方式放置.直角顶点C在直线m上，分别 过A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m于点D. (1)求证：EC=BD; (2)若设△AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理. a C 3.如图所示，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为点D, 且交⊙O于点E.连接OC,BE,交于点F. (1)求证：EF=BF; (2)若DC=4,DE=2,求直径AB的长 22◆ 第一章 图形的认识P 勾股定理（二） 几何大冲关 (难度等级★★)】 1.已知⊙O的直径为10，点A,点B,点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D. 0 图1 图2 (1)如图1，若BC为⊙O的直径，AB=6.求AC,BD,CD的长； (2)如图2，若∠CAB=60°，求BD的长 2.(内蒙古包头月考)如图，AB是⊙0的直径，半径OC⊥AB,垂足为O,直线1为⊙0的切线，A 是切点，D是OA上一点，CD的延长线交直线I于点E,F是OB上一点，CF的延长线交⊙O于 点G,连接AC,AG,已知⊙0的半径为3，CE=√34,5BF-5AD=4. (1)求AE的长； (2)求cos∠CAG的值及CG的长， 23 中考几何题典型题专项训练 勾股定理（三） 几何大冲关 (难度等级★★★) 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB=4,BC=6.若不改变矩形ABCD的形状和 大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴 上随之上下移动. (1)当∠OAD=30时，求点C的坐标； (2)设AD的中点为M,连接OM,MC,当四边形0MCD的面积为)时，求OA的长： (3)当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离最大，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD 的值 24◆∴.∠BEA=∠AFC. ,∠BAE+∠CAF=90°， ∠C+∠CAF=90° .∠BAE=∠C, 在△ABE和△CAF中， r∠BAE=∠C, ∠BEA=∠AFC, AB CA, ∴.△ABE≌△CAF(AAS), ∴.AF=BE. 3.解：(1)证明：由题意知，AB=BC,∠ABM= ∠C, .在△ABM和△BCN中， rAB=BC, ∠ABM=∠C, BM=CN. ∴.△ABM≌△BCN(SAS). (2).·△ABM≌△BCN, .∠BAM=∠CBN. :∠BAM+∠ABP=∠APN ∴.∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC= (5-2)×180 -=108°. 5 即∠APN的度数为108°， 全等三角形的判断与性质（六） 解：(1)①全等，理由如下： 在等腰Rt△ADC中，AD=CD,∠ADC=90°， 在正方形DEFG中，GD=ED,∠GDE=90°. 又.：∠ADE+∠EDC=90°，∠ADE+∠ADG =90°， ∴.∠ADG=∠CDE. 在△AGD和△CED中， rAD=CD, ∠ADG=∠CDE, GD=ED, ∴.△AGD≌△CED(SAS): ②如图，过点A作AM⊥GD于点M. 易知DE=GD=GF=EF=2. 由①得△AGD≌△CED, ..AG=CE. 参考答案 又CE=CD,AD=CD, ∴.AG=AD=4 AMLGD.*.GM-7CD-1. 在Rt△AGM中，由勾股定理得AM= √AG-GM=√42-12=15， ∴cos∠GMM=AM-i⑤ AG 4 .FG∥AM, .∠GAM=∠AGF, _15 COSZAGF=GH=4 ..GH= FG 28√15 COS LAGF 15 15 4 (2)①.△AGD≌△CED, ∴.∠GAD=∠ECD. 又.∠ECD+∠ECA+∠DAC=90°， .∴.∠GAD+∠ECA+∠DAC=90°， ∴.∠APC=90°，即AG⊥CP. ②.∵∠APC=90°， ∴.PC=AC·sin∠PAC, ∴.当∠PAC最大时，PC最大 :∠DAC=45°，是定值， ∴，∠GAD最大时，∠PAC最大，PC最大 设点D到AG的距离为h,则h≤2， 咖∠PMD=品=冬≤分 得∠GAD≤30°，即当GD⊥AG时，∠GAD最 大，为30（如图所示）. P(FY D 此时AG=√AD2-GD2=√42-22=25. 易知点F与点P重合， ∴.CP=CE+EF=AG+EF=2√3+2， ∴线段PC的最大值为2√3+2. 知识点6勾股定理（一） 1.解：如图所示，过点A作AM⊥BC于点M. 在等腰直角△ABC中，AB=AC=√2， .∴.AD=BC=2,AM=MC=1. 在Rt△ADM中，MD=√AD2-AM2=3. 州9 中考几何题典型题专项训练 ∴.CD=MD-MC=√3-1. B 公 D 2.证明：(1)：△ABC为等腰直角三角形， ∴.∠ACB=90°，AC=BC, ∴.∠ACE+∠BCD=90°. .∠ACE+∠CAE=90°， ∴.∠CAE=∠BCD. 在△AEC和△CDB中， r∠CEA=∠BDC=90°， ∠CAE=∠BCD, LAC=CB, ∴.△AEC≌△CDB(AAS),∴.EC=BD (2)由(1)知BD=EC=a,CD=AE=b, 1 S梯形AB8=2（a+b)(a+b) =+6+28 又：S梯形AEDB=SAAEC+S△BGD+S△ABC =+2+0=6+2, 22+ab+22=w+2 整理，得a2+b2=c2. 3.解：(1)CD为圆的切线， ∴.OC⊥CD,∠OCD=90°. 又，AD⊥CD,∴.∠ADC=90 ,AB是直径，.∠AEB=90°， ∴.四边形CDEF是矩形 ∴.OC⊥EB,.EF=BF (2)由(1)得DC=EF=FB=4,CF=DE=2. 设半径为r,则0F=r-2. 在Rt△OBF中，OF2+FB2=OB2, 即(r-2)2+42=2, 解得r=5,AB=10. 勾股定理（二） 1.解：(1)如图，BC是⊙0的直径， 10 .∠CAB=∠BDC=90° ,在直角△CAB中，BC=10,AB=6, 由勾股定理得到： AC=√BC-AB2=√102-62=8. :AD平分∠CAB, .CD=BD. .CD=BD. 在直角△BDC中，BC=10,CD2+BD =BC2, ∴.易求BD=CD=52; (2)如图，连接OB,OD. :AD平分∠CAB,且∠CAB=60°， ∠DMB=7∠CMB=30, ∴.∠DOB=2∠DAB=60. 又.OB=OD, ∴.△OBD是等边三角形， ∴.BD=OB=OD :⊙0的直径为10，则0B=5, .BD=5. 2.解：(1)过点C作CHLl于点H, ∴.∠AHC=90°， ,直线l为⊙O的切线，A是切点，OC⊥AB, ∴.∠AOC=∠OAH=90°， ∴.四边形AOCH是矩形. .0A=0C, ∴.四边形AOCH是正方形， .AH=CH=OC=3. 在Rt△EHC中， .E+HC=CE2,CE=√34， .EH=5,∴.AE=EH-AH=2. (2).0C⊥AB,∴.∠A0C=∠B0C=90°， ∴.∠AGC=∠CAB=45°， .∠GCA=∠ACF, ∴.△GCA∽△ACF, ∴.∠CAG=∠CFA. 在Rt△EAD和Rt△EHC中， ,tan∠AED=tan∠HEC, 六0-服0=2x号-号 36 ,5BF-5AD=4,∴.BF=2, 0B=3,.F0=1. 在Rt△C0F中，CF=√OC+0F=√10， 六cos∠CAG=CosLCFA=10 10 △CCA△ACF,. AC CG FC CA 在Rt△AOC中，AC=√/OA2+OC2=3√2， ·CG=910 51 勾股定理（三） 解：(1)如图，过点C作CELy轴，垂足为点E. y 0 A 矩形ABCD中，CD⊥AD, ∴.∠CDE+∠AD0=90. 又∠OAD+∠AD0=90°， ∴.∠CDE=∠OAD=30°. 在R△CBD中，CB=CD=2, DE=√CD2-CE2=25. 在Rt△OAD中，∠OAD=30°， 0D=24D=3 .点C的坐标为(2,3+23) (2):M为AD的中点， .DM=3,∴.SADCM=6. 21 又：S四边形0MCD=2, 9 六Sa00M=2,.Sa0MD=9, 设01=，0D=y,则2+y=36,2y=9. 参考答案P 由此得x2+y2=2y,即x=y. 将x=y代人x2+y2=36得x2=18, 解得x=3√2，x=-3√2（不符合题意，舍 去)， ∴.OA的长为3√2. (3)0C的最大值为8. 如图，M为AD的中点， 0 .OM-7AD-3.CM-CD+D-5, ∴.OC≤OM+CM=8, 当O,M,C三点在同一直线时，0C取得最大 值8. 过点O作ON⊥AD,垂足为点N. .'∠CDM=∠ONM=90°，∠CMD=∠OMN, ∴.△CMD∽△OMN, 职别器品 得MN=号，0N=, 9 5 AN=AM-MN=号 在Rt△0AN中，0A=√ON+AN=65 5 cos∠0AD=4-￥5 OA5 知识点7勾股定理的逆定理（一） 1.解：(1)：四边形ABCD是平行四边形， ∴.对角线AC与BD相互平分， ÷0M=0C=2AC,0B=0D=2BD, .AC=26,BD=10, .0A=13,0D=5. AD=12. ∴.△A0D的周长=5+12+13=30. (2)由(1)知0A=13,0D=5,AD=12, .52+122=132, .在△A0D中，AD2+D02=A02, ∴.△AOD是直角三角形 2.解：(1)如图所示，点D即为所求. 州11