第一章 图形的认识 知识点9 矩形-【荣恒专项】2026-2027学年九年级全一册数学——几何典型题专项训练

第一章 图形的认识P 知识点⑨矩形（一） 几何大冲关 (难度等级★) 1.(贵州安顺月考)如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM=AB,且BN⊥ AM,垂足为N. (1)求证：△ABN≌△MAD; D B (2)若AD=2,AN=4,求四边形BCMN的面积. 2.(山东聊城月考)如图，已知平行四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长，交DC的 延长线于点F,且AF=AD,连接BF,求证：四边形ABFC是矩形 3.(湖南长沙月考)如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△OAB是等边三角形，AB=4. (1)求证：四边形ABCD是矩形； D 0 (2)求AD的长. 州31 中考几何题典型题专项训练 矩形（二） 几何大冲关 (难度等级★★) 1.(山东青岛月考)如图，在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,E,F分别为OB,OD的中 点，延长AE至点G,使EG=AE,连接CG. (1)求证：△ABE≌△CDF; D (2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由. 2.(黑龙江大庆模拟)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4.点M,N在对角线AC上，且AM= CN,E,F分别是AD,BC的中点. (1)求证：△ABM≌△CDN: (2)点G在对角线AC上，∠EGF=90°，求AG的长. 32◆ 第一章 图形的认识 矩形（三） 几何大冲关 (难度等级★★★) (安徽期末)如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE=AD.EC与BD相交 于点G,与AD相交于点F,AF=AB. 图1 图2 (1)求证：BD⊥EC; (2)若AB=1,求AE的长； (3)如图2，连接AG,求证：EG-DG=√2AG. 33 中考几何题典型题专项训练 矩形（四） 几何大冲关 (难度等级★) 1.(四川遂宁期末)如图，在△ABC中，AB=AC,D,E分别是线段BC,AD的中点，过点A作BC的 平行线交BE的延长线于点F,连接CF. (1)求证：△BDE≌△FAE; (2)求证：四边形ADCF为矩形 2.(贵州贵阳期末)如图，四边形ABCD是矩形，E是BC边上一点，点F在BC的延长线上，且 CF BE. (1)求证：四边形AEFD是平行四边形； (2)连接ED,若∠AED=90°，AB=4,BE=2,求四边形AEFD的面积. 3.如图，点E,F,G,H分别为矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点，连接AC,HE,EC,GA,GF, 已知AG⊥GF,AC=√6，求AB的长. 34◆ 第一章 图形的认识 矩形（五） 几何大冲关 (难度等级★★) (吉林模拟)如图，在矩形ABCD中，AB=3cm,AD=√3cm.动点P从点A出发沿折线AB-BC 向终点C运动，在边AB上以1cm/s的速度运动，在边BC上以3cm/s的速度运动.过点P作 线段PQ与射线DC相交于点Q,且∠PQD=60°，连接PD,BD.设点P的运动时间为xs,△DPQ 与△DBC重合部分图形的面积为ycm2. (备用图) (1)当点P与点A重合时，直接写出DQ的长； (2)当点P在边BC上运动时，直接写出BP的长（用含x的代数式表示）； (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围. 35则AP=EC,∠EBP=90°，∠P=45° ,CG是正方形ABCD的外角平分线， .∠ECG=45°，.∠P=∠ECG 由(1)知∠BAE=∠CEG, ∴.△APE≌△ECG,∴.AE=EG 由(1)中△ABE≌△BCF得AE=BF, ∴.EG=BF :EG∥BF, ∴.四边形BEGF是平行四边形 知识点9矩形（一） 1.解：(1)在矩形ABCD中，∠D=90°，DC∥AB .∠BAN=∠AMD ·.·BW⊥AM. ∴.∠BNA=90° 在△MAD和△ABN中， ∠BAN=∠AMD, ∠BNA=∠D=90°， 又BA=AM, ∴.△ABN≌△MAD(AAS) (2).△ABN≌△MAD,∴.BN=AD, AD=2,∴.BN=2. 又AN=4, ∴.在Rt△ABN中，由勾股定理， 得AB=25, S矩形8cm=2×2V5=4V5, 1 六S64aN=S△MD=2×2×4=4, ∴.S@助形Cw=S矩4形Bn-SAABN-SAMD=4V5-8. 2.证明：四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AB=CD,AD=BC, ∴.∠BAE=∠CFE,∠ABE=∠FCE. E为BC的中点， ∴.EB=EC. ∴.△ABE≌△FCE(AAS), ∴.AB=CF. ,AB∥CF, ∴.四边形ABFC是平行四边形 AF AD, ∴.BC=AF .平行四边形ABFC是矩形 3.解：(1)证明：，△OAB是等边三角形， ∴.OA=OB. 四边形ABCD是平行四边形， 0B=0D=2BD,0A=0C=2AC, 参考答案 ∴.BD=AC, ∴.四边形ABCD是矩形 (2):四边形ABCD是矩形，.∠BAD=90° .△OAB是等边三角形，∴.∠AB0=60°， ∴.∠ADB=90°-60°=30° .'.AD= AB 4 tan∠ADBtan30o=4V5. 矩形（二） 1.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB=CD,AB∥CD,OB=OD,OA=OC, ∴.∠ABE=∠CDF. E,F分别为OB,OD的中点， .BE-20B,DF-T0D, ∴.BE=DF. rAB=CD, 在△ABE和△CDF中， ∠ABE=∠CDF, BE DF, .△ABE≌△CDF(SAS). (2)当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形. 理由如下： AC=20A,AC =2AB,.'.AB=OA E是OB的中点， .AG⊥OB, ∴.∠0EG=90° 同理可得CF⊥OD,∴.EG∥CF. 由(1)知AE=CF. 又.EG=AE,∴.EG=CF ∴.四边形EGCF是平行四边形 ∠0EG=90°， .四边形EGCF是矩形。 2.解：(1)证明：四边形ABCD是矩形， ∴.AB=CD,AB∥CD,∴.∠MAB=∠NCD. 在△ABM和△CDN中， AB CD, ∠MAB=∠NCD, LAM=CN, ∴.△ABM≌△CDN(SAS) (2)如图，连接EF,交AC于点O. B :四边形ABCD是矩形， 415 中考几何题典型题专项训练 ∴.AD=BC,AD∥BC,∠ABC=90°， ∴.∠EA0=∠FC0,AC=√AB2+BC2=5. E,F分别是AD,BC的中点. .AE BF=CF, .四边形ABFE是矩形，·.EF=AB=3. r∠EOA=∠FOC, 在△AE0和△CF0中，{∠EA0=∠FC0, LAE=CF, .△AEO≌△CFO(AAS), 3 E0=F0=EF=2) 40=0=34C= 5 .O是EF,AC的中点， LEGF90.OC-EF-3 2 .AG=0A-0G=1或AG=0A+0G=4, .AG的长为1或4. 矩形（三） 解：(1)证明：，四边形ABCD是矩形， 点E在BA的延长线上， .∠EAF=∠DAB=90°， 又.AE=AD,AF=AB, .△AEF≌△ADB, ∴.∠AEF=∠ADB, ∴.LGEB+∠GBE=∠ADB+∠ABD=90°，即 ∠EGB=90°， 故BD⊥EC. (2)由矩形性质知AE∥CD, ∴.∠AEF=∠DCE,∠EAF=∠CDF, △AEP-ADCF,8-茶， 即AE·DF=AF·DC. 设AE=AD=a(a>0), 则有a·(a-1)=1,化简得a2-a-1=0. 解得a=15或5（合， 5的长为'告5 (3)证法一：如图1，在线段EG上取点P, 使得EP=DG. 在△AEP与△ADG中，AE=AD, ∠AEP=∠ADG,EP=DG, .△AEP≌△ADG(SAS), ∴.AP=AG,∠EAP=∠DAG, 16 .∠PAG=∠PAD+∠DAG=∠PAD+∠EAP =∠DAE=90°， ∴.△PAG为等腰直角三角形. 于是EG-DG=EG-EP=PG=N2AG. 0 D 图1 图2 证法二：如图2，过点A作AG的垂线，与DB 的延长线交于点Q. 在△AEG与△ADQ中，AE=AD,∠AEG= ∠ADQ,∠EAG=90°+∠DAG=∠DAQ, ∴.△AEG≌△ADQ(AAS), ∴EG=DQ,AG=AQ, ∴.△AGQ为等腰直角三角形 于是EG-DG=DQ-DG=QG=√2AG. 矩形（四） 1.证明：(1).AF∥BC, ∴.∠DBE=∠AFE. ·E是线段AD的中点， .DE =AE. ,∠DEB=∠AEF, .△BDE≌△FAE(AAS). (2),△BDE≌△FAE, ∴.AF=BD. :D是线段BC的中点， .BD =CD,..AF =CD. AF∥CD, ∴.四边形ADCF是平行四边形 'AB=AC,∴AD⊥BC, .∠ADC=90°，∴.四边形ADCF为矩形 2.解：(1)证明：四边形ABCD是矩形， ∴.AD∥BC,AD=BC CF=BE, ∴.CF+EC=BE+EC,即EF=BC. .EF =AD, ∴.四边形AEFD是平行四边形 (2)如图. ,四边形ABCD是矩形，∴.∠B=90°， 在Rt△ABE中，AB=4,BE=2, .由勾股定理得，EA2=16+4=20,即EA =2W5, .AD∥BC,.∠DAE=∠AEB. ,∠B=∠AED=90°，∴.△ABE△DEA, 5=A,即2=25 EA-ADP25AD,AD =10. 由(1)得四边形AEFD是平行四边形， .'EF=AD=10, 又AB=4, ∴.SCAEFD=EF·AB=10×4=40. 3.解：，四边形ABCD为矩形， ∴.AB=CD,AD=BC, ∠B=∠D=∠BCD=90°， ∴.∠AGD+∠DAG=90. .AG⊥GF,.∠AGD+∠CGF=90°， .∴.∠DAG=∠CGF, .∴.△ADG∽△GCF, AD DG GC-CF 设AB=CD=x,AD=BC=y. :点F,G分别为BC、CD的中点， *DG-CG-7*.CF=7> 义=2 … 2x2 4C=6,2+y2=6即2+7=6， 解得x1=2,x2=-2(不合题意，舍去)， ∴.AB=2. 矩形（五）】 解：(1)DQ=1cm 详解：如图，在矩形ABCD中，∠ADQ=90°， 在Rt△ADQ中，∠AQD=60°，AD=√3cm, ∴.DQ AD √3 tam∠AQD tan60°=1cm A(P) B 参考答案 (2)BP=(3x-3√3)cm(3≤x≤4). 详解：如图. C Q 点P在AB上以1cm/s的速度运动，且AB =3cm, ·.点P在AB上的运动时间为3s, .点P在BC上运动的时间为(x-3)s. 点P在BC上以√3cm/s的速度运动，且 BC=AD=√3cm, :点P在BC上最多运动5=16， ∴.点P最多运动3+1=4s, ∴.BP=3(x-3)=(√3x-3√3)cm,且3≤x ≤4. (3)设BD与PQ的交点为F. 在矩形ABCD中，AD=BC=√3cm,AB=DC= 3 cm. an∠BDC BC_3 DC3,.LBDC=30°， .∠PQD=60°，.∠DFQ=90°. 当0≤x≤2时，如图①所示. A B D Q 图① .DQ=x+1, FQ=D0·cos60°=x+1 , DF=DQ·sin60=3(x+1) 2 y=0DF=分9+0 ++ +4x+8, 即++ 81 当2<x≤3时，如图②所示. 刚17 中考几何题典型题专项训练 D 图② .CQ=DQ-DC=x+1-3=x-2. ∴.CG=CQ·tan60°=√3(x-2). ∴y=SADF0-Sac0 -g2++--2》-2y =352+93-153 8 4、 8 即y=35 4 8 当3<x<4时，如图③新示. D 图③ .PC=BC-BP=3-(3x-3√3)=-3x +43, y=CD.CP-2x3(45) -33 2x+63, 即y-33 t+65. 知识点10菱形（一） 1.证明：.四边形ABCD是菱形， .∠B=∠D,AB=AD. rAB=AD, 在△ABE和△ADF中， ∠B=∠D, BE =DF, ∴.△ABE≌△ADF(SAS), ∴.∠BAE=∠DAF. 2.证明：(1)，四边形ABCD是菱形， ∴.AB=CD,AB∥CD,∴.∠BAE=∠DCF rAB=CD, 在△ABE和△CDF中，∠BAE=∠DCF, LAE =CF, ∴.△ABE≌△CDF(SAS). 18 (2)如图，连接BD,交AC于点O. ,四边形ABCD是菱形， ∴.BD⊥AC,A0=C0,B0=D0 AE=CF,∴.E0=F0, ∴.四边形BEDF是平行四边形 又BD⊥EF, ·.平行四边形BEDF是菱形 3.解：(1)证明：△BED沿直线BD折叠，点 E与点F重合， ∴.BE=BF,DE=DF,∠EDB=∠FDB. 又，四边形ABCD是矩形，且E,F分别是 线段AD,BC上的点， ∴.DE∥BF,∠EDB=∠FBD, ∴.∠FDB=∠FBD, ∴BF=DF,∴BE=BF=DF=DE, ∴.四边形BEDF是菱形 (2)ED=2AE,E是线段AD上的点， D=子D, ,四边形BEDF是菱形，四边形ABCD是 矩形， ∴.S菱形BEDF= 1EF·BD=ED·AB EAD·AB AB·AD=33, 小方，0-号x35, 解得EF·BD=4√3， 菱形（二）】 1.证明：(1)，四边形ABCD是平行四边形， 对角线AC与BD交于点E, ∴.EB=ED,AB∥CD,∴.∠EBP=∠EDQ. r∠EBP=∠EDQ, 在△PBE和△QDE中 EB=ED」 L∠BEP=∠DEQ, ∴.△PBE≌△QDE(ASA). (2)·△PBE≌△QDE,.EP=EQ. 同理△BME≌△DNE,∴.EM=EN, .四边形PMQN是平行四边形. :PQ⊥MN,∴.平行四边形PMQN是菱形