第一章 图形的认识 知识点3 三角形的相关概念-【荣恒专项】2026-2027学年九年级全一册数学——几何典型题专项训练

第一章 图形的认识 知识点③三角形的相关概念（一） 几何大冲关 (难度等级★) 1.（湖北宜昌月考)如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=50° (1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的 射线AE是∠DAC的 ； (2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数. 2.（吉林长春模拟)如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格 点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形 (1)使三角形的三边长分别为3,22,5（在图①中画一个满足题意的三角形即可）； (2)使三角形为钝角三角形，且面积为4（在图②中画一个满足题意的三角形即可）. 图① 图② 3.(湖北武汉模拟)如图所示，在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1,点D是边AB的中点，点E是边 BC上一点，若DE平分△ABC的周长，求DE的长. 州7 中考几何题典型题专项训练 三角形的相关概念（二） 几何大冲关 (难度等级★★) 1.如图所示，点I是△ABC的内心，AB=4,AC=3,BC=2.将∠ACB平移，使其顶点C与点I重 合，求图中阴影部分的周长. 2.(甘肃金昌期中)如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD=BA. (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法） ①作∠ABC的角平分线交AD于点E; ②作线段DC的垂直平分线交DC于点F. (2)连接EF,直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系， 3.(江苏苏州期中)如图所示，在△ABC中，点E在BC边上，AE=AB,将线段AC绕点A旋转到 AF的位置，使得∠CAF=∠BAE.连接EF,EF与AC交于点G. (1)求证：EF=BC; (2)若∠ABC=65°，∠ACB=28°，求∠FGC的度数. 8◆ 第一章 图形的认识 三角形的相关概念（三） 几何大冲关 (难度等级★★★) 1.(浙江绍兴模拟)问题：如图，在△ABD中，BA=BD.在BD的延长线上取点E,C,作△AEC,使 EA=EC,若∠BAE=90°，∠B=45°，求∠DAC的度数. 答案：∠DAC=45° 思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，其余条件不 变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由； (2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45”去掉，再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n”,其 余条件不变，求∠DAC的度数. 2.(北京模拟)在△ABC中，∠C=90°，AC>BC,D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接 DE,过点D作DF⊥DE,交BC于点F,连接EF (1)如图1，当E是线段AC的中点时，设AE=a,BF=b,求EF 的长（用含a,b的式子表示）； 图1 图2 (2)当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE,EF,BF之间的数 量关系，并证明. 州9∴.∠HBP=∠MCB,∴.BH∥MC. 又：PE∥AB, .四边形BHEM是平行四边形， ∴.BM=HE,即PE+PF=BM. 证法二：由(1)可得∠FBP=∠ECP. 由PE∥AB,PF∥AC得∠BFP=∠CEP=90°， ·.Rt△FBP∽Rt△ECP, 開隐则. PE PC 即PF+PE_BC PEPC ① PE∥AB,∴.△ECP∽△MCB, BM BC PE=PC ② 由①②可得PF+PE=BM. (3)证法一：如图，在PE上截取PK=PF. PE∥AB,PF∥AC,AB=AC, ∴.∠KPB=∠ABC=∠ACB=∠FPB. 又BP=BP,PK=PF, .△KPB≌△FPB(SAS), ∴.∠KBP=∠FBP. 由(1)可得∠NBC=∠MCB, 又.∠FBP=∠NBC, .∠KBP=∠MCB, .BK∥EC. 又PE∥AB,四边形EKBM是平行四边形， ∴.BM=KE,即BM=PE-PF :∠MBO=∠NBA,∠BMO=∠BNA=90°， △BM0∽△BNA,.MFBN MO BM 由(1)可得AN=AM, 溜- .∴.AM·PF+OM·BN=AM·PE. 证法二：.PE∥AB,∴.△ECP∽△MCB, ÷品-照 nF/AC△PBF△cBN2-8器， 参考答案 P 则Paw.9sfC- CN BM 由(1)可得CN=BM, ∴.PE=PF+BM,即BM=PE-PF .∠MBO=∠NBA,∠BMO=∠BNA=90°， △0△BM,光-8器 又4W=恕- ∴.AM·PF+OM·BN=AM·PE. 知识点3三角形的相关概念（一）】 1解：(1)垂直平分线；平分线， (2),DF是线段AB的垂直平分线， .DB=DA,∴.∠BAD=∠B=40° ,∠B=40°，∠C=50°，∴.∠BAC=90°. .∠DAC=50°. 射线AE是∠DAC的平分线， .∠DAE=25° 2.解：(1)如图①所示，BC=3, AB=√2+22=√5，AC=√22+2=2√2， 则△ABC即为所求. (2)如图②所示，EF=2,△DEF的边EF上 的高为4，由三角形的面积公式知， 1 S△DEr=2X2×4=4, 则△DEF是符合题意的钝角三角形 图① 图② 3.解：如图所示，延长BC至点F,使CF=AC F :DE平分△ABC的周长，AD=BD, ∴.AC+CE=BE, .BE =CF+CE=EF, .DE/AF,DE-TAF. ,∠ACF=180°-∠ACB=120°，CF=AC=1, 六AF=5.DE= 2 刚3 中考几何题典型题专项训练 三角形的相关概念（二） 1.解：如图所示，设平移后三角形的两边与 AB分别交于点M、N,连接AI、BI. 由平移可知，IM∥AC,∴.∠CAI=∠AIM. :点I是△ABC的内心，即AI平分∠CAM, ∴.∠CAI=∠IAM. ∴.∠AM=∠IAM,∴.MI=MA.同理，NM=NB. ∴.△IMN的周长为MI+MN+NI=MA+ MN+NB=AB=4. 2.解：(1)如图，①BE即为所求作的∠ABC的 角平分线， ②过F的垂线是所求作的线段DC的垂直 平分线。 (2)如图，连接EF, BA=BD,BE平分∠ABC,∴.AE=DE, 由作图可知：DF=CF, .EF是△DAC的中位线， EF∥AC,EF=AC D 3.解：(1)由旋转性质可知，AC=AF. ·.∠CAF=∠BAE, ·.∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE, 即∠EAF=∠BAC 又.AB=AE, ∴.△ABC≌△AEF(SAS),∴.BC=EF (2).'AE=AB,∴.∠AEB=∠B=65 :△ABC≌△AEF, .∴.∠AEF=∠B=65° .∠FEC=180°-∠AEB-∠AEF=180°- 65°-65°=50°. 49 .∠FGC=∠FEC+∠C=50°+28°=78°. 三角形的相关概念（三） 1.解：(1)∠DAC的度数不会改变； EA=EC, ∴.∠AED=2∠C,① ·∠BAE=90°， ∴.∠B=180°-90°-∠AED=90°-2∠C, ∠BAD=2[180°-(90-2∠C)1=450 +∠C, ∴.∠DAE=90°-∠BAD=90°-（45°+ ∠C)=45°-∠C,② 由①，②得，∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°； (2)设∠ABC=m°， 则∠BAD=2(180-m）=90-2m, ∠AEB=180°-n°-m°， .∠DAE=n°-LBAD=n°-90°+2m°， .·EA=EC, .CE4FE 90 ÷∠DAC=∠DAE+LCAE=n°-90°+2 1 m3490--m= 1 2.解：(1)D,E分别是AB,AC的中点， ∴.DE∥BC,AE=EC. DE⊥DF, ∴.∠EDF=90° ∴.∠DFB=90. ∠C=90°，.DF∥AC. 0=nA路-船-1 ∴.BF=FC. AE=a,BF=b, ∴.在Rt△ECF中，EF=√CE2+CF2= √AE2+BF2=√a2+b2 (2)依题意补全图形，如图. E 线段AE,EF,BF之间的数量关系：AE2+ BF2 =EF2 证明：延长ED至点G,使得DG=DE,连接 BG,FG. ·DE⊥DF,∴.FE=FG D为AB的中点，.AD=BD, ,∠ADE=∠BDG, ∴.△ADE≌△BDG(SAS), ∴.∠AED=∠BGD,AE=BG,∴.CE∥BG, .∴.∠GBF=∠ACB=90°. 在Rt△GBF中，BG2+BF2=GF2， ∴.AE2+BF2=EF2 知识点4与三角形有关的计算（一） 1.证明：'∠ABE=∠ACD,∠DFB=∠EFC, BD=CE, ∴.△DFB≌△EFC(AAS). ∴.FB=FC,∴.∠FBC=∠FCB. ∴.∠FBC+∠ABE=∠FCB+∠ACD, 即∠ABC=∠ACB. ∴.△ABC是等腰三角形 2.解：(1)证明：DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.∠BED=∠CFD=90° D是BC的中点，∴.BD=CD. ∠BED=∠CFD, 在△BED和△CFD中，{∠B=∠C, BD =CD. ∴.△BED≌△CFD(AAS),∴.DE=DF. (2),∠BDE=40°，∴.∠B=50°， ∴.∠C=50°， .∠BAC=180°-∠B-∠C=80°. 3.解：(1)如图，△ABC即为所求. (2)如图，△ACD即为所求. BD=√12+22=√5. 与三角形有关的计算（二） 1.解：(1)证明：AB=AC,∴.∠B=∠C rAB=AC, 在△ABD和△ACE中 ∠B=∠C, BD =CE, ∴.△ABD≌△ACE(SAS),∴.AD=AE (2).AD=AE,∴.∠ADE=∠AED. .∠AED是△AEC的外角， 参考答案 ∴.∠AED=∠C+∠EAC. .∠DAC=∠DAE+∠EAC,∠C=∠DAE, .∠AED=∠DAC,∴.∠ADE=∠DAC. 同理∠AEB=∠BAE. .BF∥AC,∠C=45°， .∠FBD=45°，∠F=∠DAC. ∠BDF=∠ADE,∠F=∠BDF. ∴.满足条件的等腰三角形有△ABE, △ACD,△DAE和△DBF. 2.解：(1)证明：在△ADB和△ADC中， rAD =AD, ∠ADB=∠ADC, BD CD, ∴.△ADB≌△ADC(SAS),.∠B=∠ACB. (2)在Rt△ADB中， BD=√AB2-AD2=W52-4=3, .'BD CD=3,AC =AB=CE=5, .BE=2BD+CE=2×3+5=11. 在Rt△ADE中， AE=√AD2+DE=√42+82=45， CAABE =AB+BE +AE=5+11+45=16 +45, S6aE=2BE·A0=7x1x4=2. 与三角形有关的计算（三） 解：(1)①证明：，点B关于CN的对称点为点D, ∴.△ABC≌△ADC(SSS), ∴.∠ABC=∠ADC,∠ACB=∠ACD=45°， ∴.∠BCD=90. AF =AB, ∴.∠ABC=∠AFB,∴.∠AFB=∠ADC :∠AFB+∠AFC=180°， ∴.∠ADC+∠AFC=180°， ∴.∠FAD=360°-（∠AFC+∠D+∠FCD) =90°， ∴.AF⊥AD ②过A作AP⊥AC交CM于P, MP B F ∴.△APC是等腰直角三角形，∠PAC=90°， AP=AC. ∠PAF+∠FAC=∠DAC+∠FAC=90°， 5