第一章 方程组与不等式组 知识点4 一元二次方程的解法、判别式与应用-【荣恒专项】2026-2027学年九年级全一册数学——代数典型题专项训练

经检验，x=80是原方程的解，且符合题意， 答：每套《三国演义》的价格为80元. 2.解：设昆明圆通山动物园原来平均每分钟 接待游客的人数为x,则采用智能闸机验票 的方式后平均每分钟接待游客的人数 为10x. 依题，意得600_5000 10x 5， 解得x=20. 经检验，x=20是原方程的解，且符合题意. 答：昆明圆通山动物园原来平均每分钟接 待游客的人数为20. 3.解：设文学书每本x元，则科普书每本(x+ 8)元 依题意列方程得12000_8000 x+8 解得x=16: 经检验，x=16是原方程的解，且符合题意， .x+8=24. 答：文学书每本16元，科普书每本24元. 分式方程的解法及其应用（二） 1.解：设该爱心人士第一次购买的口罩的单 价为x元，则第二次购买的口罩的单价为 1.4x元 依题意，得50000+10000=770000， 1.4x 解得x=5. 经检验，x=5是原方程的解，且符合题意， 答：该爱心人土第一次购买的口罩的单价 为5元 2.解：设文具店购进B种笔袋x个，则购进A 种笔袋(x+20)个. 由题意可得810-600(1-10%)，解得x x+20 =40. 经检验，x=40是原方程的解，且符合题意， 则x+20=60. 答：文具店购进A种笔袋60个，购进B种 笔袋40个， 3.解：设八年级捐书的学生有x人，则七年级 捐书的学生有(x-150)人. 由题意可得1800 1.5=1800 x-150 解得x=450. 经检验，x=450是原方程的解，且符合 题意 答：八年级的捐书人数是450人. 分式方程的解法及其应用（三） 1.解：(1)设汽车行驶中每千米用电费用为x 参考答案 元，则每千米用油费用为(x+0.5)元. 由题意可得 80.-30,解得x=0.3. +0.5= 经检验，x=0.3是原方程的解，且符合题 意，则30÷x=100. 答：汽车行驶中每千米用电费用是0.3元， 甲、乙两地的距离是100千米， (2)由(1)可知汽车行驶中每千米用油费用 为0.3+0.5=0.8（元）. 设汽车用电行驶y千米 由题意可得0.3y+0.8(100-y)≤50， 解得y≥60. 答：至少需要用电行驶60千米 2.解：(1)设一等奖奖品的单价为4x元，则二 等奖奖品的单价为3x元. 依题意，得0+1275-600=25， 4x 3x 解得x=15. 经检验，x=15是原方程的解，且符合题意. ∴.4x=60,3x=45. 答：一等奖奖品的单价为60元，二等奖奖品 的单价为45元. （2)设购买一等奖奖品m件，二等奖奖品 n件. 依题意，得60m+45n=1275, n=85-4m 3 .m,n均为正整数，且4≤m≤10， 名9 .共有3种购买方案： 方案1：购买4件一等奖奖品，23件二等奖 奖品； 方案2：购买7件一等奖奖品，19件二等奖 奖品； 方案3：购买10件一等奖奖品，15件二等奖 奖品. 知识点4一元二次方程的解法、 判别式与应用（一） 1.解：解不等式5(a-2)+8<6(a-1)+7, 得a>-3, ∴.最小整数解为-2. 将a=-2代入方程x2+2ax+a+1=0, 得x2-4x-1=0. 配方，得(x-2)2=5. 直接开平方，得x-2=±√5， 解得x1=2+√5，x2=2-5. 2.解：(1)根据题意，得△=（2m)2-4(m2+ 州3 中考代数题典型题专项训练 m)≥0，解得m≤0. （2)根据题意，得x1+x2=-2m,x1x2=m2 +m. 好+x=(x1+x2)2-2x1x2=12, ∴.（-2m)2-2(m2+m)=12,即m2-m-6 =0, 解得m1=-2,m2=3(舍去). 故m的值为-2. 3.解：(1)方程有两个不相等的实数根， ∴.△=4+4k>0, 解得k>-1. ∴.k的取值范围为k>-1. (2)由根与系数的关系得a+b=-2,ab= -k, ..-a ab-1 -k-1 ,a+1b+1=ab+a+b+1=-k-2+1 =1. 一元二次方程的解法、 判别式与应用（二） 1.解：(1)证明：：△=(k+3)2-4×3k=k2+ 6k+9-12k=(k-3)2≥0， .方程总有两个实数根. (2).(x+3)(x+k)=0, .x1=-3,x2=-k, 又该方程有一个根大于1， .-k>1,解得k<-1, 即k的范围为k<-1. 2.解：(1)原方程化为x2-2mx+m2-m=0, 是一元二次方程. 由题意知△=4m2-4(m2-m)=4m≥0， ∴.m≥0，即m的取值范围是m≥0. (2)设方程两实根分别为x1,x2, 则x1+x2=2m,x1x2=m2-m. 由题意知x+x3=12, 即(x1+x2)2-2x1x2=12, ∴.4m2-2(m2-m)=12, 整理，得m2+m-6=0, 解得m=2或m=-3, m≥0， .m=2 3.解：设销售价每千克降低x元 由题意，得(38-x-22)(160+3·120= 3640. 整理，得x2-12x+27=0, 解得x=3或x=9. 要尽可能让顾客得到实惠， x=9, 4 ∴.销售价为每千克38-9=29（元） 答：水果的销售价为每千克29元. 一元二次方程的解法、 判别式与应用（三） 1.解：(1)设北区居民有x人，则南区居民有 (18000-x)人. 依题意得18000-x≤3x, 解得x≥4500. 答：北区居民至少有4500人. (2)依题意得1500(1+m)2+2700(1+ 4m)=18000×90%, 整理得5m2+46m-40=0, 解得m1=0.8=80%,m2=-10(不合题 意，舍去) 答：m的值为80%. 2.解：(1)设B产品的销售单价为x元，则A 产品的销售单价为(x+100)元. 根据题意，得x+（x+100)=500, 解得x=200. 则x+100=300 答：A产品的销售单价为300元，B产品的 销售单价为200元. (2)设去年每个车间生产产品的数量为t件 根据题意，得300(1+a%)·t+200(1+3a%) ·t(1-a%)=50t·（1+30% 29 设a%=m,则原方程可化简为5m2-m=0. 解得m=行，m=0(合去)。 .∴.a=20. 答：a的值是20. 知识点5不等式与不等式组的解法 与应用（一） 1.解：圆圆的解答过程有错误 正确的解答过程如下： 由①，得2+2x>-1, 心2x>-3x>- 由②，得1-x<2, .-x<1..x>-1. 不等式组的解集为x>-1. 2.解：(1)(-2)※3=（-2)2×W3-(-2) ×5-3√5=43+23-33=35. （2)3※m≥-6. 则32m-3m-3m≥-6， 解得m≥-2， 将解集表示在数轴上如下：中考代数题典型题专项训练 知识点4 一元二次方程的解法、判别式与应用（一） 代数大冲关 (难度等级★) 1.(湖北荆州期中)已知a是不等式5(a-2)+8<6(a-1)+7的最小整数 解，请用配方法解关于x的方程x2+2ax+a+1=0. 2.(湖北黄石期末)已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有实数根. (1)求m的取值范围： (2)若该方程的两个实数根分别为x1,x2,且x+x2=12,求m的值. 3.(广西玉林期末)已知关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根 (1)求k的取值范围； (2)若方程的两个不相等的实数根是a6,求，千1+的值 10 第一章方程组与不等式组P 一元二次方程的解法、判别式与应用（二） 代数大冲关 (难度等级★★) 1.(北京石景山一模)关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+3k=0. (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个根大于1，求k的取值范围。 2.（四川南充一模)已知m为实数，关于x的方程x(x-2m)+m(m-1)=0有实数根， (1)求m的取值范围； (2)若方程两实根的平方和为12，试求m的值. 3.(山东菏泽期中)列方程（组）解应用题：端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况， 下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将 增加120千克， 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客 得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元 W11 中考代数题典型题专项训练 一元二次方程的解法、判别式与应用（三） 代数大冲关 (难度等级★★★) 1.(广东广州越秀一模)为了提高公众对创建文明城市工作的支持，市文明办在某社区开展“创 文”宣传工作.据了解，该社区居民共有18000人，分南、北两个区域，南区居民数量不超过北 区居民数量的3倍： (1)求北区居民至少有多少人； (2)通过调查发现：南、北两区居民了解“创文”工作的人数分别为1500和2700.为了提高居 民对“创文”工作的支持，工作人员用了两个月的时间加强社区宣传.南区居民了解“创文”工 作的人数月平均增长率为m.北区居民了解的人数两个月的增长率为4m.两个月后，该社区 居民中了解“创文”工作的人数达到90%，求m的值. 2.（重庆月考)某工厂有甲乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间 生产产品的数量相同且全部售出.已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件 A产品与1件B产品售价和为500元. (1)A、B两种产品的销售单价分别是多少元？ (2)随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期.今年，该工厂计划依托工业互联 网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间，预计A产品在售价不变的情况下产量将 在去年的基础上增加a%;B产品产量将在去年的基础上减少a%,但B产品的销售单价将提 29 高3a%.则今年A,B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加5a%.求a的值. 12