第二章 变量与函数 知识点3 一次函数中的三角形、四边形和面积问题-【荣恒专项】2026-2027学年九年级全一册数学——代数典型题专项训练

第二章变量与函数 知识点③ 一次函数中的三角形、四边形和面积问题（一） 代数大冲关 (难度等级★) 1.如图所示，直线y=-+1与x轴、y轴分别交于点AB,以线段B为 直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC,∠BAC=90°，如果在第二象限内有一点 P(a,),且△ABP的面积与△ABC的面积相等，求a的值， 2.(吉林月考)如图所示，在平面直角坐标系中，直线L1:y=x+1与直线2：x=-2相交于点D, 点A是直线L2上异于点D的动点，过点A作AB⊥（于点B,点C的坐标为(0,3） (1)当点A的纵坐标为2时，求点B的坐标 B (2)在直线l2上是否存在点A,使∠BAC=90°？若存在，求出点A的坐标及S△4Bc;若不存在， 说明理由。 W25 中考代数题典型题专项训练 一次函数中的三角形、四边形和面积问题（二） 代数大冲关 (难度等级★★) 1.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OACB是等腰梯形，点A的坐标为(3,0).过点 B(1,2)作直线BM⊥x轴于点M. (1)在直线BM上有点P,连接CP,若∠ACP=90°，求点P的坐标. (2)在(1)的条件下，在坐标轴上是否存在点E,使得以点A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯 形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由。 2.四条直线y=mx-3、y=-1y=3和x=1所围成的四边形的面积是12，求m的值， 26 第二章变量与函数 一次函数中的三角形、四边形和面积问题（三） 代数大冲关 (难度等级★★★) (辽宁沈阳期末)在平面直角坐标系中，直线y=kx+4(k≠0)交x轴于点A(8,0),交y轴于 点B. B 0 0 A 备用图 (1)k的值是 (2)点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上. ①如图，点E为线段OB的中点，且四边形OCED是平行四边形，求口OCED的周长； ②当CE平行于x轴，cD平行于y轴时，连接DE,若△CDE的面积为，请直接写出点C的 坐标. W27 中考代数题典型题专项训练 一次函数中的三角形、四边形和面积问题（四） 代数大冲关 (难度等级★)】 1.如图所示，在平面直角坐标系中，直线(1与y轴、x轴分别相交于点A、B,过点B作直线L2⊥x 轴，已知直线U,的函数解析式为y=x+2. (1)求点A、B的坐标和直线U,的解析式 (2)若点M是直线l2上的点，当△MAB为等腰三角形时，求点M的坐标. 2.如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=-3x-3的图象与x轴、y轴分别交于点A、C, 点B的坐标为(3,0)，点D在第四象限，且四边形CDBA为等腰梯形，CD∥AB (1)求点D的坐标. (2)设点E为第三象限内的一点，连接BE、BC,若BC恰好平分∠DBE,求直线BE的解析式. 28 第二章变量与函数 P 一次函数中的三角形、四边形和面积问题（五） 代数大冲关 (难度等级★★) 如图所示，在平面直角坐标系中，直线l:y=-2x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线： y=kx+2k(k≠0)与x轴交于点C,与直线L交于点P. D B C O N MCO A (a) (b) (1)当k=1时，求点P的坐标 (2)如图(a)所示，k>0,点D为PA的中点，过点D作DE⊥x轴于点E,交直线l2于点F,若 DF=2DE,求k的值. (3)如图(b)所示，点P在第二象限内，PM⊥x轴于点M,以PM为边向左作正方形PMNQ,NQ 的延长线交直线L于点R.若PR=PC,求点P的坐标 W29 中考代数题典型题专项训练 一次函数中的三角形、四边形和面积问题（六） 代数大冲关 (难度等级★★★) 已知点C(0,-2),直线l:y=kx-2k,无论k取何值，直线总过定点B. y个M C G B 0 B (a) (b) (1)求点B的坐标 (2)如图()所示，若点D为直线BC上一动点（点(-1，-3）除外)，过点D作x轴的垂线交y -3于点E,点F在直线BC上，与点D相距√2个单位长度，点D的横坐标为t,△DEF的面积为 S,求S与t的函数关系式 (3)如图(b)所示，若直线BC关于x轴对称后再向上平移5个单位得到直线B,C,点G(1,a)和 H(6,b)是直线B,C1上两点，点P(m,n)为第一象限内的一点(G,H两点除外)，且mn=6,直线 PG和PH分别交y轴于M、N两点.线段OM、ON有什么数量关系？说明理由 30·线段BC所在直线的解析式为y=-5 +2 2.解：(1)将函数y=2x的图象向下平移1 个单位长度得到y=7-1, “这个一次函数的解析式为y=2-1 (2)把x=-2代入y=2x-1,得y=-2. 把点(-2，-2)代入y=mx,得m=1. 如图，：当x>-2时，对于x的每一个值， 函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y= 子-1的值， ∴名≤ms1 一次函数的图象与性质（三） 解：(1)直线l:y=x+b中，当x=-1时，y =-2,当x=0时，y=1, 六{66=-2解得伤： 1b=1, ·.直线1的解析式为y=3x+1. (2)依题意可得直线'的解析式为y=x+3, 如图解化i得仁 y=4, ∴.两直线的交点为(1,4). 直线'：y=x+3与y轴的交点为(0,3)， ∴直线'被直线（和y轴所截线段的长为 √+(4-3)7=√2. y 81 7 6 4 3 2 -10123x 参考答案 (3)把y=a代入y=3x+1,得a=3x+1, 解得x=兮 把y=a代入y=x+3,得a=x+3, 解得x=a-3. 当a-3+”兮=0时，a=: 当分(a-3+0)=“号时，a=7: 当号兮+0)=a-3时a=号 综上所述，的值为子或7或号 知识点3一次函数中的三角形、 四边形和面积问题（一） 1.解：在y=-3x+1中，令y=0,得x=V3; 令x=0,得y=1. .点A(V3,0)、B(0,1), .0A=3,0B=1. ,△ABC为等腰直角三角形， ∴.AC=AB=√OA2+0B2=2. Sm=Sac=AB·AC=2 如答图所示，连接OP, B 0 A =号x·0A=5 S△A0P=2X 2 Sam=2×(-a）·0B=-2, 1 5anm=20M·0B=项 21 由S△BOP+S△AOB-SAA0P=SAABP, 即-受+号-存=2解得a 2 -4 2.解：(1)联立方程组=*1解得：三-2， lx=-2, ly=-1. .点D的坐标为(-2，-1) .直线2⊥x轴，直线L1的解析式为y=x+ 1,.∠ADB=45° 又：ABLL1,∴.△ABD为等腰直角三角形. 如答图(a)所示，过点B作BE⊥AD于点E, 点E即为AD的中点. 州9 中考代数题典型题专项训练 ,点A(-2,2)、D(-2,-1), 点E(-2,2),即点B的纵坐标为2 将y=2代人y=x+1,得x=-, 点叫-22)} 答图(a) (2)存在. 易知点A在点D上方，如答图(b)所示， 若∠BAC=90°，则AC∥L1. ∴.可设直线AC的解析式为y=x+n. 将点C(0,3)代入，解得n=3. ∴.直线AC的解析式为y=x+3. 令x=-2,得y=1, .点A(-2,1). ∴.AD的中点E的坐标为(-2,0)，即点B 的纵坐标为0. 将y=0代入y=x+1,解得x=-1, .点B(-1,0) Sc=24CAB=7×22xw万-2 ∴.在直线L2上存在点A(-2,1),使∠BAC =90°，此时S△ABc=2. 答图(b) 一次函数中的三角形、四边形 和面积问题（二） 1.解：(1)如答图(a)所示，过点C作CN⊥x 轴于点N,连接PA. 10 .点B(1,2),BM⊥x轴， ∴.直线BM的解析式为x=1. .四边形OACB是等腰梯形， ∴.yc=yg=2. 由等腰梯形的性质可知M0=NA=1. 点A(3,0), ∴.点N(2,0),∴.点C(2,2) 设点P(1,a). 在Rt△ACP中，AC2+CP2=AP2,即(12+ 22)+[12+(2-a)2]=22+a2,解得a 点P的坐标为1,2) B B P 0 M E A花 (a) (b) (2)坐标轴上存在点E,使得以点A、C、P、E 为顶点的四边形为直角梯形 如答图(b)所示，分以下两种情况进行 讨论. ①点E在x轴上，PE∥CA,记点E为E1,此 时∠CPE1=∠ACP=90°. 易知直线CA的解析式为y=-2x+6, ∴.可设直线PE1为y=-2x+b1,将点P （1,)代入，解得6=乃， ·.直线PE,的解析式为y=-2x+2 7 1 当)=0时，-2+子-0，解得x=子点 E(子 ②点E在y轴上，AE∥CP,记点E为E2,此 时∠CAE2=∠ACP=90°. 易知直线CP的解析式为y=2x+1, ·可设直线E,为y=2x+6,将点A(3,0), 代入解得4=一多， 直线极，得解析式为y=之多 当x=0时y=-是点0，引 综上所述，点E的坐标为（子，0或0，-） 2.解：直线y=mx-3与y=-1交于点 (品-，与y=3交于点（点3 如图所示，四条直线围成的四边形是直角 梯形. x=1 y=3 y=-1 当m>0时（记直线y=mx-3为l1),梯形 的面积s=2[(品-+（品-川×4 =12, 解得m=1. 经检验，l1与y=-1的交点为(2，-1)，在 (1,-1)右侧，符合要求 当m<0时（记直线y=mx-3为l2),梯形 的面积s=2[(1-品)+(1-】×4 =12, 解得m=-2. 经检验，l2与y=-1的交点为(-1，-1)， 在(1，-1)的左侧，符合要求 综上所述，m=1或m=-2. 一次函数中的三角形、四边形 和面积问题（三） 解：(1)- 解析：将点A(8,0)代人y=x+4,得0=8k+ 4,解得k=分 (2)①由(1)可知直线AB的解析式为y= 2t+4. 1 当x=0时，y=-2x+4=4, .点B的坐标为(0,4)， .0B=4. 点E为OB的中点， 参考答案 ∴BE=0E=20B=2 点A的坐标为(8,0)， ∴.OA=8. ,四边形OCED是平行四边形， ∴.CE∥DA, BC BE ·AC-OE 1, .BC=AC, ∴.CE是△ABO的中位线， CE=20A=4 ,四边形OCED是平行四边形， ∴.OD=CE=4,0C=DE. 在Rt△D0E中，∠D0E=90°，0D=4,0E=2, .DE=√0D2+0E2=25, ∴.COOCDE=2(0D+DE)=2×(4+2V5)=8+ 4w5. ②设点C的坐标为，-子+4， 则CE=IxI,CD= 1 -2x+4 am=C0.E=-+2- 4 x2-8x+33=0或x2-8x-33=0. 方程x2-8x+33=0无解； 解方程x2-8x-33=0,得x1=-3,x2=11. ∴点C的坐标为-3，)或1，-3》 一次函数中的三角形、四边形 和面积问题（四） 1.解：(1)在y=x+2中，令x=0,得y=2;令 y=0,得x=-2. ∴.点A(0,2),点B(-2,0),直线2的解析 式为x=-2. (2)如图所示，由点B(-2,0),A(0,2),得 AB=22. M B 0 分以下三种情况进行讨论. ①当MB=MA时，记点M为M1 州11 中考代数题典型题专项训练 .∠ABM1=45° ∴.△BM1A为等腰直角三角形，所以点M1 (-2,2). ②当BA=BM时，记点M为M2、M3 BA=2√2， .点M2(-2,2√2)，点M3(-2,-2√2). ③当AM=AB时，记点M为M4: 此时△M4AB为等腰直角三角形，所以点 M4(-2,4). 2.解：(1)四边形CDBA为等腰梯形，CD∥AB, ∴.CA=DB. 又点C(0,-3),点A(-1,0), .OA=1. 根据对称性，可知点D的横坐标为3-1=2. .点D的坐标为(2，-3) (2)如图所示，设BE与y轴的交点为点M. .点B(3,0)、C(0,-3), ∴.OB=OC,△OBC为等腰直角三角形， ∠0BC=∠0CB=45°. .CD∥AB, ∴.∠DCB=∠OBC=∠OCB. .BC平分∠DBE,∴.∠MBC=∠DBC. 又.BC=BC,∴.△MBC≌△DBC, ∴.CM=CD. 点D(2,-3), ∴.CD=2=CM,∴.点M(0,-1) 设BE的解析式为y=kx+b. 将点B(3,0)、M(0,-1)分别代入， 1 得[+0郭 [k=3’ lb=-1. :直线B的解析式为=了-1 一次函数中的三角形、四边形 和面积问题（五） 解：(1)当k=1时，直线2的解析式为y=x +2. 2 ry=x+2, =31 联立方程组 =2x+3,解得 1 8 =3 12 点P的坐标为3,3) 281 (2)在直线l2中当y=0时，x+2k=0, …k≠0， .x=-2,∴.点C(-2,0),则0C=2. 1 在直线4中，当y=0时，-2x+3=0,解得x =6, .点A(6,0),0A=6. 如图所示，过点P作PG⊥DF于点G,PH⊥OE 于点H. COHE .·∠PGD=∠AED,∠PDG=∠ADE,PD=AD, △PDG≌△MDE,DE=DG=7DP, ∴.DG=FG,PD=PF, ∴.∠PFD=∠PDF. :∠PFD+∠PCA=90°，∠PDF+∠PAC= ∠ADE+∠PAC=90°， ∴.∠PCA=∠PAC,∴.PC=PA CH=3CM=4,0m=2 将x=2代入y=-7+3,得y=2, .点P(2,2). 将点P(2,2)代入y=c+2,得k=2 (3).PQ=PM,PR=PC, .Rt△PQR≌Rt△PMC, .CM=RQ,∴.NR=NC. 设NR=NC=a,则点R(-a-2,a), 代入y=-2+3,得-2-a-2)+3=a, 解得a=8,.点R(-10,8). 设点P(m,n), 将点P(m,n)代人y=-2x+3,得-2m+3 =n. .RQ=MC,.8-n=-2-m, 14 1 m= 联立方程组 2m+3=m,解得 3 l8-n=-2-m, 16 n= 3 点P的坐标为（号》 一次函数中的三角形、四边形 和面积问题（六） 解：(1)y=x-2k=k(x-2),令x=2,则y =0,所以直线1总过定点B(2,0). (2)如图所示，过点F作FK⊥DE于点K. B D E 易得直线BC的解析式为y=x-2, ∴.可设点D(t,t-2). 又点E(t,-3), .DE=It-2-(-3)1=It+1l. 0B=0C,∴.∠0CB=45°. 又.KD∥OC,.∠KDF=45°， ∴.△KDF是等腰直角三角形. DF=2,∴.FK=1, SaE=号0E·FK=2+1l +D (t>-1), ∴.S= )(t<-1) (3)0M-0N=5. 易得直线BC1的解析式为y=-x+7. :点G(1,a)和H(6,b)在直线B1C1上， ∴.a=6,b=1. 又mn=6,点P(m,m) 6 6 由点G(1,6)和点Pm, m 易得直线PG的解 析武为y=-6x+6 一X+ +6, mm 0M=6+6 m 由点(6,1)和点P,)易得直线PH的解 析式为y=-x+6+1, 6 m m 0N=1+6..0M-0N=5. m 知识点4一次函数中的极值问题、匀速 动点问题及含绝对值的一次函数（一） 解：(1)0A=2,S△40B=4, 参考答案 ∴.0B=4. 又.点B位于y轴负半轴， .点B(0,-4). 点D为AB的中，点A(2,0), 点D(1,-2),4D=7AB=5. 设点C(t,0).在Rt△ADC中，AC2=AD2+ CD2,即(2-t)2=5+(1-t)2+22, 解得t=-3,∴.点C(-3,0) 设直线DC的解析式为y=kc+b. 将点D(1,-2)、C(-3,0)分别代入，得 k+b=-2, =分 {-3张+b=0,解得 3 =-2 13 ∴.直线DC的解析式为y=- 2x-2 (2)存在. 如答图所示，连接GA. 点G位于线段AB的垂直平分线上， ∴.GB=GA. ·.C△Bwc=BM+GM+GB=BM+(GM+GA). ∴，.C△BMc取最小值时GM+GA取最小值. 当点A、G、M在同一条直线上时，GM+GA最 小，此时点G落在点G处 设直线AM的解析式为y=mx+n. 将点A(2,0)、M -1,)分别代人，得 2m+n=0, 3 m 2’ -m+n=- 9解得 2,1 ln=-3. 2-3. 3 ∴.直线AM的解析式为y= 2t-3, 3 [y= 「x三 联立方程组 13 解得 4, 15 =-2x-2’ y=- 8 在直线0c上存在点c(子，曾》，使得 C△BwG最小， 13