第三章 统计与概率 知识点2 概率初步-【荣恒专项】2026-2027学年九年级全一册数学——代数典型题专项训练

中考代数题典型题专项训练 知识点2 概率初步（一） 代数大冲关 (难度等级★) 1.(辽宁营口期末)某校复学后设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗； ②戴口罩监督岗：③就餐监督岗：④操场活动监督岗.李老师和王老师 报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗. (1)李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为； (2)用列表法或画树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率. 2.（陕西模拟)从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2,3,3,6. (1)将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的 概率为 (2)将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽 取一张.请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率 3.(吉林模拟)第一盒中有1个白球、1个黑球，第二盒中有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外 无其他差别.分别从每个盒中随机取出1个球.用画树状图或列表的方法，求取出的2个球都 是白球的概率 82 第三章统计与概率 概率初步（二） 代数大冲关 (难度等级★★) 1.(内蒙古通辽模拟)如图，甲、乙两个转盘都被均分成3个面积相等的扇形，每个扇形中都标有 相应的数字，同时转动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘），当转盘 停止后，把甲、乙两个转盘中指针所指的数字分别记为x,y.请用画树状图或列表法求点(x,y)落 在平面直角坐标系中第一象限内的概率. 甲转盘 乙转盘 2.(湖北随州月考)疫苗接种初期，为更好地响应国家对符合条件的人群接种疫苗的号召，某市 教育部门随机抽取了该市部分七、八、九年级教师，了解教师的疫苗接种情况，得到如下统 计表： 已接种 未接种 合计 七年级 30 10 40 八年级 35 15 a 九年级 40 b 60 合计 105 150 (1)表中，a= .b= ,C3 (2)由表中数据可知，统计的教师中接种率最高的是 年级教师（填“七”“八”或“九”）； (3)若该市初中七、八、九年级一共约有8000名教师，根据抽样结果估计未接种的教师有 人； (4)为更好地响应号召，立德中学从最初接种的4名教师（其中七年级1名，八年级1名，九年 级2名)中随机选取2名教师谈谈接种的感受，请用列表或画树状图的方法，求选中的2名教 师恰好不在同一年级的概率. W83 中考代数题典型题专项训练 概率初步（三） 代数大冲关 (难度等级★★★) 1.（云南昆明官渡一模)四张正面分别写有数字：-2，-1,0,1的卡片.它们的背面完全相同，现 将这四张卡片背面朝上洗匀 (1)从中任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数字为负数的概率是； (2)先从中任意抽取一张卡片，以其正面数字作为x的值，然后再从剩余的卡片中随机抽一 张，以其正面的数字作为y的值，请用列表法或画树状图法.求点P(x,y)在第二象限的概率。 2.（陕西宝鸡模拟)一个不透明的袋子中装有标号分别为2,3,4,5的四个小球，这些小球除标号 数字外都相同 (1)将袋子中的小球摇匀，然后从袋子中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为偶数的小球的 概率； (2)小明和小华用这四个小球玩摸球游戏，规则是：将袋子中的小球摇匀，小明从袋子中随机 摸出一个小球.记下标号数字后放回袋子里.然后再将袋子中的小球摇匀，小华此时从袋子中 随机摸出一个小球.并记下标号数字，若两次摸到小球的标号数字都是奇数，则小明获胜；若 两次摸到小球的标号数字都是偶数，则小华获胜；否则，视为平局.若为平局，继续上述游戏， 直至分出胜负为止，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平 84 第三章统计与概率 概率初步（四） 代数大冲关 (难度等级★) 1.(吉林月考)“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物.如图，现有 三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片A,B,C,卡片除正面图案不同外，其余均相同.将三 张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再 从中随机抽取一张卡片.请用画树状图或列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中含有 A卡片的概率 B 2.(江西期末)为庆祝建党100周年，某大学组织志愿者周末到社区进行党史学习宣讲，决定从 A,B,C,D四名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者参加 抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同不透明卡片的正面，把四张卡片背面 朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机 抽取第二张，记下名字 (1)“A志愿者被选中”是 事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）； (2)请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果，并求出A,B两名志愿者被 选中的概率， W85 中考代数题典型题专项训练 概率初步（五） 代数大冲关 (难度等级★★) (内蒙古呼和浩特模拟)某大学为了解大学生对中国共产党党史知识的学习情况，在大学一年级 和二年级举行有关党史知识测试活动.现从一、二两个年级中各随机抽取20名学生的测试成绩 (满分50分，30分及30分以上为合格；40分及40分以上为优秀)进行整理.描述和分析，给出 了下面的部分信息， 大学一年级20名学生的测试成绩为： 39,50,39,50,49,30,30,49,49,49,43,43,43,37,37,37,43,43,37,25 大学二年级20名学生的测试成绩条形统计图如图所示，两个年级抽取的学生的测试成绩的平 均数、众数、中位数、优秀率如下表所示。 ↑人数 年级 平均数 众数 中位数 优秀率 3 大一 e b 43 之 2 39.5 44 c 0 2530313241 444650成绩 请你根据上面提供的所有信息，解答下列问题： (1)上表中a= ,b= ,C ,m= ,n= 根据样本统计数据，你认为该大学一、二年级中哪个年级学生掌握党史知识较好，并说明理由 (写出一条理由即可)： (2)已知该大学一、二年级共1240名学生参加了此次测试活动，通过计算，估计参加此次测试 活动成绩合格的学生人数能否超过1000人； (3)从样本中测试成绩为满分的一、二年级的学生中随机抽取两名学生，用列举法求两人在同一 年级的概率。 86 第三章统计与概率 概率初步（六） 代数大冲关 (难度等级★★★) 1.(辽宁沈阳模拟)小华有三张卡片，小明有两张卡片，卡片除正面上的数字不同外其他都相同， 卡片上的数字如图所示，小华从自己的三张卡片中随机抽取一张，之后小明也从自己的两张 卡片中随机抽取一张，请用画树状图（或列表）的方法，求抽取的两张卡片上的数字和为7的 概率. 2.(四川南充一模)4张看上去无差别的卡片上分别印有正三角形、菱形、正五边形、圆.将印有 图案的一面朝下，混合均匀 (1)从中随机抽取1张，抽到的图案是中心对称图形的概率为 (2)从中随机抽取两张，求抽到的图案都是中心对称图形的概率 w87中考代数题典型题专项训练 (3)由题意可得，2020年该地区农民家庭人均 月纯收入的最低值如下： 月份 1 2 3 4 5 6 家庭人均月 500300 150 200 300 450 纯收入/元 月份 7 4 9 10 11 12 家庭人均月 纯收入/元 620790960113013001470 由上表可知当地农民2020年家庭人均年纯收 人（元）为500+300+150+200+300+450+ 620+790+960+1130+1300+1470> 4000. ∴.可以预测该地区所有贫困家庭能在今年实 现全面脱贫， 知识点2概率初步（一）】 1解：(1) (2)画树状图如下： 李老师： 4 李老师：①②③④①②3④①②3④①②3④ 共有16种等可能的结果，其中李老师和王 老师被分配到同一个监督岗的结果数为4， 所以李老师和王老师被分配到同一个监督 岗的概率是名-子 2.解：(1)将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从 中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面 数字是3的概率为子-2，赦答案为 (2)解：画树状图如图所示： 开始 共有12种等可能的结果，抽取的这两张牌 的牌面数字恰好相同的结果有2种， ∴.抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的 概率为品-日 3.解：解法一： 根据题意，画树状图如下： 开始 第一盒 白 黑 第二盒白黑黑 白黑黑 由树状图可以看出，所有等可能出现的结 果，共有6种，意取出的2个球都是白球的 38 结果有1种， .P(取出的2个球都是白球)= 6 解法二： 根据题意，列表如下： 结果 第一盒 白 黑 第二盒 （白，白) (白，黑) 黑 (黑，白) (黑，黑) 黑 (黑，白) (黑，黑) 由表可以看出，所有等可能出现的结果共 有6种，且取出的2个球都是白球的结果有 1种， “P(取出的2个球都是白球)=6 概率初步（二） 1.解：画树状图如图所示： 5 3 y26-4 26-4 26 共有9种等可能的结果，x,y都为正数的结 果有4种， ∴·点(x,y)落在平面直角坐标系第一象限 内的概率为号 2.解：(1)a=35+15=50,b=60-40=20, c=10+15+20=45. 故答案为50,20,45 (2)七年级教师的接种率为30÷40×100% =75%,八年级教师的接种率为35÷50× 100%=70%,九年级教师的接种率为40÷ 60×100%≈67%. .75%>70%>67%, ∴.统计的教师中接种率最高的是七年级 教师. 故答案为七 (3)根据抽样结果估计未接种的教师有 80w0×点-240w(人0 故答案为2400. （4)解：把七年级1名教师记为A,八年级1 名教师记为B,九年级2名教师记为C,D. 画树状图如下： 开始 共有12种等可能的结果，选中的2名教师 恰好不在同一年级的结果有10种 ∴.选中的2名教师恰好不在同一年级的概 率为8名 概率初步（三） 1.解：(1)从中任意抽取张卡片，则所抽卡片 上数字为负数的概率是子-分 故答案为 (2)解：画树状图如图， 开始 1 共有12种等可能的结果，点P(x,y)在第二 象限的结果有2种， 点P(,)在第二象限的概率为号-石 2.解：(1)·不透明的袋子中装有标号分别为 2,3,4,5的四个小球，随机摸出一个小球， 摸到标号数字为偶数的小球有2种情况， ~摸到标号数字为侧数的小球的概率是子 (2)列表如下： 2 3 5 2 (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) 4 (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) 5 (5,2) (5,3) (5,4)(5,5) 所有等可能的情况有16种，其中小明、小华 获胜的结果各有4种， 则小明获胜的概率是4=1 16=4, 小华获胜的概率是4=人 16=4, :1.1 4=4, .这个游戏规则对双方是公平的. 概率初步（四） 1.解：解法一： 根据题意，画树状图如下： 第一张 B 第二张ABC AB C 由树状图可以看出，所有等可能出现的结 参考答案 果共有9种，且抽出的两张卡片中含有A 卡片的结果有5种，所以P(小吉同学抽出 的两张卡片中含有A卡片)= 5 解法二： 根据题意，列表如下： 结果 第一张 B 第二张 A (A,A) (B,A) (C,A) B (A,B) (B,B)(C,B) C (A,C)(B,C)(C,C) 由表可以看出，所有等可能出现的结果共 有9种，且抽出的两张卡片中含有A卡片 的结果有5种，所以P(小吉同学抽出的两 张卡片中含有入卡片)= 5 2.解：(1)随机 (2)解法一： 根据题意，列表如下： 第一张 A B C ① 第二张 A (B,A)(C,A)(D,A) B (A,B) (C,B)(D,B) C (A,C)(B,C) (D,C) D (A,D)(B,D)(C,D) 由表可知所有可能出现的结果共有12种， 这些结果出现的可能性相等，其中抽到A,B 两名志愿者的情况只有2种，所以P(A,B 两名志感者被选中)=26 21 解法二： 根据题意，画树状图如图： 第一张 A B C D 第二张B C D A C D A B D A B C 由图可知所有可能出现的结果共有12种， 这些结果出现的可能性相等，其中抽到A,B 两名志愿者的情况只有2种，所以P(A,B 两名志愿者被选中)=12=6 21 概率初步（五） 解：(1)将大学一年级20名同学成绩整理如 下表： 成绩 253037 39 4349 50 人数 1 2 4 2 5 4 2 39 中考代数题典型题专项训练 a=41.1,b=43,c=42.5,m=55%,n=65%. 从优秀率看，大学二年级样本优秀率达到 65%高于大学一年级的55%，.估计大学二 年级学生的优秀率高，∴用优秀率评价，估计 大学二年级学生掌握党史知识较好 (2):样本的合格率为3 40 ×100%, 估计总体的合格率为品x10%， ∴.估计参加测试的两个年级合格学生为1240 X7×100%=1147(人) “.估计参加此次测试活动成绩合格的学生人 数超过了1000人. (3)大学一年级满分的有2人，设为A、B,大 学二年级满分的有3人，设为1、2、3， 则从这5人中选取2人的所有情况为AB,A1, A2,A3,B1,B2,B3,12,13,23,共有10种，且每 种情况的可能性相等，抽取到的两人在同一 年级的情况有4种， 一两人在同一年级的概率为4=2 910-5 概率初步（六） 1.解：画树状图如图， 开始 小华 小明4 5 4 5 5 和6 7 6 7 共有6种等可能的结果，抽取的两张卡片上 的数字和为7的结果有3种， ∴.抽取的两张卡片上的数字和为7的概率 2.解：(1)因为菱形、圆为中心对称图形，故从 中随机抽取1张，抽到的图案是中心对称图 形的概率为子分， 故答案为分 (2)分别用A、B、C、D表示正三角形、菱形、 正五边形、圆， 画树状图如图， 开始 B C DA C D AB D A B C :共有12种等可能的果，抽到卡片上印有 的图案都是中心对称图形的有2种情况. 40 ∴.抽到卡片上印有的图案都是中心对称图 形的概率为品-6 第四章 总复习 知识点1方程组与不等式组（一） 1解： 把②代人①，得2(y-1)+y=7,解得y=3. 将y=3代人①，得x=2, 把x=2,y=3代入方程ax+y=4,得2a+3 1 =4,解得a= 2.解：(1)证明：△=(2m+1)2-4×1×(m -2)=4m2+4m+1-4m+8=4m2+9>0, ·.无论m取何值，此方程总有两个不相等 的实数根. (2)由根与系数的关系可知x1+x2=-（2m +1),x1x2=m-2. x1+x2+3x1x2=1, ∴.-(2m+1)+3(m-2)=1,解得m=8. 3.解：(1)设该市一级水费的单价为x元，二 级水费的单价为y元. 做题意，得r名4-12y=5L.4 解得x=3.2, ly=6.5. 答：该市一级水费的单价为3.2元，二级水 费的单价为6.5元. (2)3.2×12=38.4(元)，且38.4<64.4， ∴.用水量超过12m3. 设用水量为am3. 依题意，得38.4+6.5(a-12)=64.4, 解得a=16. 答：当缴纳水费为64.4元时，用水量为 16m3. 方程组与不等式组（二）】 1.解：(1)设足球的单价是x元，则篮球的单 价是(2x-30)元. 依题意，得120=2×20930解得x=60 900 经检验，x=60是原方程的根，且符合题意， ∴.2x-30=2×60-30=90. 答：足球的单价是60元，篮球的单价是 90元. (2)设学校购买m个篮球，则购买(200- m)个足球. 依题意，得90m+60(200-m)≤15500， 解得加≤