第二章 变量与函数 知识点14 函数中的规律探究问题-【荣恒专项】2026-2027学年九年级全一册数学——代数典型题专项训练

第二章变量与函数 知识点14 函数中的规律探究问题（一） 代数大冲关 (难度等级★) 1.(辽宁营口月考)在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B在y轴的正 半轴上，△AOB为等边三角形，射线OP⊥AB,在射线OP上依次取点P,P2, P3,…,Pn,使OP=1,PP2=2,P2P3=4,…,Pm-1Pn=2-(n为正整数，点Po即为原点 O),分别过点P,P2,P3,…,Pn向y轴作垂线，垂足分别为点H1,H2,H3,…,Hn,求点Hn的 坐标. y↑ P H H B P. /P2 A H 2.(辽宁辽阳模拟)如图所示，等边三角形ABC的边长为1，顶点B与原点O重合，点C在x轴的正 半轴上，过点B作BA1⊥AC于点A,过点A1作AB,∥OA,交OC于点B1,过点B,作B,A2⊥AC 于点A2,过点A2作AB2∥OA,交OC于点B2…按此规律进行下去，求点A220的坐标. O(B) BBB C W73 申考代数题典型题专项训练 函数中的规律探究问题（二） 代数大冲关 (难度等级★★) 1.(江苏淮安模拟)如图所示，在平面直角坐标系中，直线1为正比例函数y=x的图象，点A,的 坐标为(1,0)，过点A1作x轴的垂线交直线1于点D1,以A,D1为边作正方形A,B,C,D1;过点 C1作直线1的垂线，垂足为A2,交x轴于点B2,以AB2为边作正方形AB2C2D2;过点C2作x 轴的垂线，垂足为A3,交直线1于点D3,以A3D3为边作正方形A3B,C3D3…按此规律操作下 去，求所得到的正方形A B C D的面积 YA D D D A BB A B 2.(辽宁锦州月考)如图所示，射线OM在第一象限，且与x轴正半轴的夹角为60°，过点D(6,0) 作DA⊥OM于点A,作线段OD的垂直平分线BE交x轴于点E,交AD于点B:作射线OB,以 AB为边在△AOB的外侧作正方形ABCA1,延长A,C交射线OB于点B1,以A,B,为边在 △A,OB,的外侧作正方形A,B,C1A2,延长A2C1交射线OB于点B2,以A2B2为边在△A2OB2的 外侧作正方形A2B2C2A3…按此规律进行下去，求正方形A2o17B2o17C2o17A2o1s的周长， M A. A. 6 B, 74 第二章变量与函数 P 函数中的规律探究问题（三） 代数大冲关 (难度等级★★★) (湖北舒列期未)如图所示，在平面直角坐标系中，直线了=了+分别与轴y轴交于点卫， Q,在Rt△0PQ中从左向右依次作正方形AB,C,C2,A,B,C,C,A3B,C,C4,…,A,BC,Cn+1,点A1, A2,A3,…,An在x轴上，点B,在y轴上，点C1,C2,C3,…,Cn+1在直线PQ上，再将每个正方形分 割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，其中每个小正方形的边都与坐标轴平行，从左至 右的小正方形（阴影部分）的面积分别记为S,S2,S,…,Sn,求Sn的值. Q B 0 A p W75中考代数题典型题专项训练 ,S△ABC=3,.SA0Bc=3. :点C在反比例函数y=m二1的图象上， X .Im-11=2SA08c=6. :反比例函数y=m一1的图象在第二、四 象限， .m-1=-6,∴.m=-5, ∴.点A(2,0),m=-5. (2)点A(2,0),.0A=2, 又.AB=22, ∴.在Rt△AOB中，由勾股定理，得OB=2 ,点B在y轴正半轴上，∴.点B(0,2) CB⊥y轴，∴设点C的坐标为(b,2). :反比例函数表达式为y=:,点C在反 比例函数的图象上， 2=66-3, ∴.点C(-3,2) 又点C在一次函数y=kx-2k的图象上， 2=-3k-2k, ·k=-2 5, ·一次函数的表达式为y=-2x+4 5t+ 5 一次函数和反比例函数综合题（三） 1.解：(1).·△A0C的面积为4， 21=4, 解得k=-8或k=8(不符合题意，舍去)， ·反比例函数的关系式为y=-8 把点A(-2,a)和点B(b,-1)代入y= 、 -x’ 得a=4,b=8. (2)根据一次函数与反比例函数的图象可 知，不等式mx+n>的解集为x<-2或 0<x<8. (3)作点A(-2,4)关于y轴的对称点 A'(2,4),则直线A'B与y轴的交点即为所 求的点P. 设直线A'B的关系式为y=cx+d, 把点A'(2,4),B(8,-1)代入， 得4察 6 17 d=3' 34 直线48的关系式为y=一名+好， .17 三x+?与y轴的交点坐标 直线y=-石x+7 为0， 即点P的坐标为(0，号) 2.解：(1).点A(1,a)在正比例函数y=x的 图象上， .a=1,∴.A(1,1) 又：点A在反比例函数y=兰(x>0)的图 象上， .k=1×1=1. (2)过点A作AE⊥x轴于点E,过点B作 BD⊥x轴于点D. ∴.∠AEC=∠BDC=90°， ∴.∠BCD+∠CBD=90. .∠ACB=90°， ∴.∠BCD+∠ACE=90°， ∴.∠ACE=∠CBD. CA=CB, ∴.△CEA≌△BDC, ∴.CE=BD,AE=CD. C(-2,0),A(1,1), ∴.OD=3,BD=3,∴.B(-3,3). 设AB所在直线的解析式为y=nx+b,n ≠0， 1 ∫1=n+b, n=-2' 则3=-3n+b, 解得 3 b=2' AB所在直线的解析式为y=之+是 知识点14函数中的规律探究问题（一） 1.解：由题意可得OP,=1=21-1, 0P2=1+2=3=22-1, 0P3=1+2+4=7=23-1, 依此类推，OP.=1+2+4+…+2n-1 =2”-1, ∴.OHn=OP cos∠B0P=(2"-1)cos30° =3(2”-1) 2 ·点H的坐标为0,3(2-1} 2 2解：由题意可得点A的坐标为分号》， 1-2} BA1⊥AC于点A1, .A1为AC的中点， 点A的坐标为 +42×》 1} B1A2⊥AC于点A2, ∴.A2为AC的中点， ·点A2的坐标为 卟1 依此类推，点A,的坐标为1-， 2+2n+1 点4的坐标为1-2a,高】 2202122021 函数中的规律探究问题（二） 1.解：由直线1为正比例函数y=x可得， ∠D10A1=45°， .D1A1=0A1=1 ∴.第1个正方形的边长为1； 第2个正方形的边长为1×3× 1-3 22 第3个正方形的边长为3×3 1 : 第4个正方形的边长为3× 依此类推，第n个正方形的边长 为引 .S正方形，G =丁- 参考答案 2.解：由题意可知∠A0D=60°，∠AD0=30°， BE垂直平分OD, ∴.B0=BD,∠B0D=∠AD0=30°， LA0B=60°-30°=30,0A=20D=3, AB=0Axm0=3×9=5, .BC=3, .正方形ABCA1的周长为43， AB,=5+号x3=5+1,BG=5+1, .正方形AB1C1A2的周长为4(3+1). 同理48，=（万+1）+(5+1) （1+9》5+1),8,G=1+9}+10. .正方形A2B2C2A3的周长为4(3+1) (+》 4a=+}5++1+9} *1)=1+ 3)(3+1), aG-1+9(5+ 正方形AB,C3A4的周长为4(5+ 1+ 依此类推，正方形A20B2oC207A201s的周长 为45+11+号或41+ 2016 2017 函数中的规律探究问题（三）】 解：令x=0,得y=号令y=0,得x=13, 点P13,0,0,号》， 0p=13,00-号m∠0P0=8品-分 :四边形AB,C,C2为正方形， ∴AB1∥CC2, m∠840=m∠0P0=号，即8说-分 在Rt△OA1B1中，由勾股定理易得AB,= √100B1. 35 中考代数题典型题专项训练 ∠QBC1=∠OPQ, QC 1 tan LQB,C,=B,C,=3’ 六0c,=8,G=4a=g0B ∴.在Rt△QB,C1中，由勾股定理易得QB -90a 00=0B,+QB,=0B,+90B,-号0B,= 号解得0B,=1 如答图所示，由B1D∥x轴，A1E∥y轴，易得 ∠A1B1D=∠B1A10, y本 0 p AD 1 ∴.tan∠A1B1D= B1D-3 A1D=OB1=1,∴.B1D=3. 在正方形A1B1C1C2中，易得B,F=A,D=1,则 DF=B D-B F=2, ∴.S1=DF2=4. 当n≥2时，tan∠BnAnAn-1= An-1B 1 A B3 A,B,A.B.= AB An-1Bn-1 An-1Cn An-1B。+BC元 AnB 3An-1Bn 3 A-1B。+AB。=A-1B。+3A-1B。=4 即后一个正方形的边长是前一个正方形的边 长的 则Sn= Slx… S2 ×S1 /312 x…×(4)×4 (n-1)个 4322 42n-3 第三章统计与概率 知识点1数据的分析（一） 解：(1)47478 36 解析：八年级及格的人数是4；平均数是 74+61+83+91+60+85+46+84+74+82 10 =74; 将八年级的成绩按从小到大的顺序排列，排 在中间的两个数是74,82，故中位数是74+82 2 =78 (2)估计两个年级体质健康等级达到优秀的 学生共有200×品+30×0=40+30= 2 70(人) (3)七年级学生的体质健康情况更好.因为七 年级的优秀人数多，没有不及格的，且平均数 较高 数据的分析（二）》 1.解：(1)15012 解析：A组的频数a比B组的频数b小15， A组的频率比B组的频率小18%-8% =10%， 因此调查人数为15÷10%=150，a=150× 8%=12. 故答案为150,12. (2)1444 解析：360°×150=360°×40%=144°，即 n=144, E组所占的百分比为1-8%-18%-30% -40%=4%. 故答案为144,4. (3)C组的频数为150×30%=45， 补全频数分布直方图如图所示 测试成绩频数分布直方图 ↑频数 60 为 30 0 B A E V 0 50.560.570.580.590.5100.5成绩/分 (4)E组的频数为150×4%=6， 1500×60+6=660(人). 150 答：成绩在80分以上的学生大约有660人 2.解：(1)500108 解析：本次调查的样本容量是150÷30%