第二章 变量与函数 知识点9 二次函数图形中的对称轴和极值-【荣恒专项】2026-2027学年九年级全一册数学——代数典型题专项训练

第二章变量与函数 知识点9 二次函数图象中的对称轴和极值（一） 代数大冲关 （难度等级★) (贵州遵义模拟)如图，抛物线C:y=x2-2x与抛物线C2:y=ax2+bx开口 大小相同、方向相反，它们相交于O,C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B、点A,UA=2UB. (1)求抛物线C2的解析式； (2)在抛物线C2的对称轴上是否存在点P,使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标；若 不存在，请说明理由. W55 中考代数题典型题专项训练 二次函数图象中的对称轴和极值（二） 代数大冲关 (难度等级★★) (云南月考)抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点A的坐标为(-1， 0),点C的坐标为(0，-3).点P为抛物线y=x2+bx+c上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点 D,交直线BC于点E. (1)求b,c的值； (2)设点F在抛物线y=x2+bx+c的对称轴上，当△ACF的周长最小时，直接写出点F的坐标. 56 第二章变量与函数 二次函数图象中的对称轴和极值（三） 代数大冲关 (难度等级★★★) (湖北黄石期未)如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=了2+：+c经过点A(-1,0)、 B(5,0). (1)求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标； c (2)若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积； (3)定点D(0,m)在y轴上，若将该抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到 一条新的抛物线，点P在新的抛物线上运动，求定点D与动点P之间距离的最小值d(用含m的 代数式表示) W57中考代数题典型题专项训练 (2),MN∥AB, ∴.△OMN∽△OBA. 设点M(m,0),由(1)得点B(6,0), 1 六Sa0=2×6×4=12, 2 .) 1 1 又Saow=2mx4=2m, -SAOw-2mm =号(m-3)2+3. .当m=3,即点M(3,0)时，△ANM的面积有 最大值3. (3)设点P(n,0),则Qn,4n(n-6)） 1 1 ①当n<6时，则有84m-6)》 Inl (n-6) 当△OPQ∽△AC0或△OPQ△OCA时，即分 别有-子(n-60)-或-(n-6)-意， 解得n=-2或n=4. ∴.点P(-2,0)或(4,0) 1 ②当n≥6时，则有 4n(n-6) OP n -6) 由题图可知，只能是△OPQ∽△AC0, 即(a-6)=8 4 解得n=14. ∴.点P(14,0) 综上所述，符合条件的点P的坐标为(-2， 0),(4,0),(14,0). 二次函数图象中的特殊 三角形、四边形（六） 解：(1)将点A(3,0),B(-1,0),C(0,-3)分 别代人y=ax2+bx+c, 9a+3b+c=0,ra=1, a-b+c=0,解得{b=-2, c=-3, 【c=-3. ∴.抛物线的解析式为y=x2-2x-3. (2)设直线BC的解析式为y=kx-3. 将点B(-1,0)代入，得k=-3. ∴.直线BC的解析式为y=-3x-3. 设点M(x,-3x-3). 26 'AB2=AM2+BM2,即16=(3-x)2+(3x+ 3)2+(x+1)2+(3x+3)2, 化简整理得5x2+8x+3=0,即(x+1)(5x+ 3)=0, 解得七=-1（不符合题意，合去），6=-子 当x=-时7=-名， 6 点M-多，》 (3)存在. 设Q(x,0),P(n,n2-2n-3).分两种情况 讨论 ①当四边形BCQP为平行四边形时， 则yg-yc=yp-yQ,即0-（-3)=n2-2n-3 -0,解得n=1±√7. 当n=1+√7时，n2-2n-3=3, .点P(1+7,3); 当n=1-√7时，n2-2n-3=3, ∴.点P(1-√7,3). ②当四边形BCPQ为平行四边形时， 显然点P的纵坐标为-3， 则n2-2n-3=-3,解得n=0(不符合题意， 舍去)或n=2. 当n=2时，n2-2n-3=-3, .点P(2,-3). 综上所述，符合条件的点P为(1+√7,3)，（1 -√7,3)或(2，-3) 知识点9二次函数图象中的 对称轴和极值（一） 解：(1)令y=x2-2x=0,则x=0或x=2,即 点B的坐标为(2,0). .0A=2OB, .点A的坐标为(4,0). :抛物线C1:y=x2-2x与抛物线C2:y=ax2 +bx开口大小相同、方向相反， ∴.a=-1. 将点A的坐标代入C2的解析式，得0=-16 +4b,解得b=4, ∴.抛物线C2的解析式为y=-x2+4x. (2)存在点P,使PA+PC的值最小 联立C1,C2的解析式，解得x=0或x=3, 点C(3,3). 如图，作点C关于抛物线C2的对称轴的对称 点C(1,3),连接AC',交抛物线C2的对称轴 于点P,此时PA+PC的值最小. 设直线AC的解析式为y=x+m A(4,0),C(1,3), 一供0解得[化4 lm=4. ∴.直线AC的解析式为y=-x+4. 当x=2时，y=-2+4=2, ∴.点P的坐标为(2,2). 二次函数图象中的对称轴和极值（二）】 解：(1)把点A,C的坐标代入抛物线的解 析式， 得-名0解特化子 lc=-3. (2)由(1)知，b=-2,c=-3, ∴.抛物线的解析式为y=x2-2x-3, ∴.对称轴为x=1. 令y=0,得y=x2-2x-3=0, 解得x=-1或x=3, .点B的坐标为(3,0) 设直线BC与抛物线的对称轴交于点F,连接 AF,AC,如图所示， 此时AF+CF=BF+CF=BC的值最小. AC为定值， ∴.此时△ACF的周长最小. 设直线BC的解析式为y=kx+m(k≠0)， 将点B(3,0),C(0,-3)代入， 得改+0解得. ∴.直线BC的解析式为y=x-3, 当x=1时，y=x-3=-2, ∴.点F的坐标为(1，-2) 参考答案/ 二次函数图象中的对称轴和极值（三） 解：(1)将点A(-1,0)、B(5,0)分别代入y= 1 3+b+c, 4 -b+c=0, b=- 得 25 解得 3, +5b+c=0, c=-3 .124.51 ∴抛物线的解析式为y=3-3-3=3 (-4x-5)=3（(x-2)2-3, .点M(2,-3) (2)令=8，解得x=号×82- 3x8- 3 =9, 点C(8,9) 1 六.Sa边形wBc=SABc+S6AwB=2×6X9+2× 6×3=27+9=36. (3)由题意可得，将抛物线的解析式为y=号 (x-2)2-3的图象向左平移2个单位，再向 上平移3个单位得到的新的抛物线的解析式 为y日x-2+2)-3+3= “点P在抛物线y=子上， 可设点P,) 由题意可知点D(0,m), Pm2=m+(-m 令n2=t,t≥0. Pm=1+(-m°=g+i- 9 m+m2 =g+1-子m小e+m 2 1- 3m 9 其对称轴为t=-一 1=3m 2×9 2 分以下两种情况讨论： ①当3m- >0，即m>时，Pm m-1- 2 3 4 3m、9 4 27 中考代数题典型题专项训练 即d=/3m-4 912m-9 2 ②当对称轴3m-号≤0，即m≤时，Pm随： 的增大而增大， .当t=0时，PD小值=m2,.d=lml. 3 m≤2 综上所述，d= √/12m-9 2 (m>2) 知识点10二次函数的应用（一） 1.解：(1)40(1+25%)=50，设y=k+b,k ≠0， 根据题意得？5=5k+b, 170=10k+b, 解得k=-1,b=80, ∴.y=-x+80, 根据题意得x>0, l-x+80≥50， 且x为正整数， .0<x≤30，x为正整数， ∴.y=-x+80(0<x≤30，且x为正整数)： 故答案为50. (2)设所获利润为P元，根据题意得 P=(y-40)·x=（-x+80-40)x=-(x -20)2+400. 即P是关于x的二次函数， a=-1<0, P有最大值， .当x=20时，P最大值=400，此时y=60, ∴.当销售价为60元/件时，所获利润最大， 最大利润为400元. 2.解：(1)设钢笔、笔记本的单价分别为x元、 y元， 根影慧意科红十y8:解供0， y=6. 答：钢笔、笔记本的单价分别为10元、6元. (2)设钢笔的单价为a元，购买数量为b 支，支付钢笔和笔记本的总金额为W元 ①当30≤b≤50时， a=10-0.1(b-30)=-0.1b+13, 0=b(-0.1b+13)+6(100-b)=-0.1(b -35)2+722.5. ,当b=30时，w=720, 当b=50时，w=700, ∴.当30≤b≤50时，700≤w≤722.5. ②当50<b≤60时， a=-0.1×50+13=8, w=8b+6(100-b)=2b+600. 28 .2>0,.700<w≤720. 综上所述，当b=50时，w取得最小值，最小 值为700. 答：这次奖励获得一等奖的学生为50人时， 购买奖品总金额最少，最少为700元. 二次函数的应用（二） 解：(1)：长方形的长AD=4m,宽AB=3m, 抛物线的最高点E到BC的距离为4m, .'OD=OA=2 m,OH =AB=3 m, ∴.D(2,0),E0=EH-0H=4-3=1(m), .E(0,1). 将点D,E的坐标代入y=kx2+m, 1 得+m=0解得压=4 m=1, lm=1. 该抛物线的函数表达式为y=-+1. (2),GM=2m,∴.OM=0G=1m. 当x=1时y=子1，)， .MN=4 m, Skaw=MN.GM=子×2=2(m), :每个B型活动板房的成本是425+多×50 =500(元). 答：每个B型活动板房的成本是500元. (3)根据题意，得 w=(n-500)[100+20(650-n21】 10」 =-2(n-600)2+20000. .·每月最多能生产160个B型活动板房， 100+20(650-m2≤160， 10 解得n≥620. -2<0, ∴.当n≥620时，w随n的增大而减小， ∴.当n=620时，w取得最大值，0最大值= 19200. 答：公司将销售单价n定为620元时，每月销 售B型活动板房获利润w最大，最大利润 是19200元. 二次函数的应用（三） 解：(1)由题可知抛物线C:y=日2+c+ c过点(0,4)和(4,8)，将两点坐标代入C2中， 解得c=4,b=2