辽宁省朝阳市第一高级中学2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题

2025一2026学年度上学期期末考试高二试题 数 学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1.设x,y∈R,向量a=(2,x,1),b=1,-2,y),c=(2,-4,4),且a⊥b,b∥c,则1a+b等于(.) A.22 B.32 C.3 D.4 2.图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的 口径AB=4√2，深度MO=2,信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立如图2所示的 平面直角坐标系xOy,若P是该抛物线上一点，P到y轴的距 离为d,,到直线3x+4y+12=0的距离为d,,则d,+d,的最小值 为() A.4 B.3 C.2 图1 图2 D.1 3.已知随机变量x服从正态分布N(4,σ2)，P(x≤6)=0.86，则P(2<x≤6)=( A.0.72 B.0.28 C.0.74 D.0.36 4.《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下， 百人团齐声朗诵，别有韵味.若《登鹳雀楼》、《春江花月夜》、《赋得古原草送别》、《念奴娇》和另外确 定的两首诗词排在后六场，且《登鹳雀楼》排在《春江花月夜》的前面，《赋得古原草送别》与《念奴 娇》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有( A.720种 B.360种 C.288种 D.144种 5.(3+x-2展开式中x的系数为( A.-50 B.-100 C.-200 D.-300 6.右图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相 互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方 的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若 小球下落过程中每次与小木块碰撞后，向左、向右落下的机会均等，则小球 最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为( ) A品 B c最 D②③④⑤oo 高二数学 第1页共4页 7.如图，正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为1，E为棱DD,的中点，点P在面对角线BC,上运动 (P点异于B、C,点)，以下说法错误的是() D A.BD,∥平面AEC B B.A,P⊥BD C.二面角D,-AC-B的余弦值为-6 D.点P到面4Cn,的距离为号 8.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A,B存在如 下关系：P氏A=PA P(AP(BA .2025贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小红同学想去影院看的.小 红同学家附近有甲、乙两家影院，小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.3和0.7.如果她 第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院 的概率为0.5，则小红同学() A.第二天去甲影院的概率为0.54 B.第二天去乙影院的概率为0.46 C.已知小红第二天去了甲影院，那么她第一天去乙影院的概率为？ D.已知小红第二天去了乙影院，那么她第一天去甲影院的概率为号 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分) 9.下列说法正确的是() A.已知直线1经过(1,2)和(2)两点，则1的倾斜角为平 B不经过原点的直线都可以表示为普+名=1 C.已知直线l:4x+3y+6=0与圆C:x2+y2-2x+m=0(m<1)相切，则m=-3 D.过点(1,0)的直线1与圆(x-2)2+(y-1)=1有公共点且斜率最大值为T,若a+b=T, a>0,6>0,则}+号的最小值是12 10.已知抛物线y=的焦点为F,M(x),N(y)是抛物线上两点，直线MN经过焦点F, 则下列结论正确的( A点F的坐标为(Q B=4 C.若MF=3F,则直线MN的倾斜角为60° D.-1 的最小值为-1 高二数学第2页共4页 11.现有编号1,2,3，，n的n个学生，入座编号1,2,3，，n的n个座位，设学生所坐的座位号与 该生的编号不同的学生数为X,已知X=3时共8种坐法，则()》 A.n=6 BP(X=4)=3 C.E(X)=2 D.D(X)=1 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12已知直线2x3)=0是双曲线C号-卡=1的一条渐近线，则C的离心率为 13.小明一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有3颗冰糖葫芦，一串有4颗冰糖葫芦， 一串有5颗冰糖葫芦，若小明每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下 吃，那么不同的吃完的顺序有 种.（结果用数字作答）》 14P为椭圆苦+雪-1上一点，曲线+1与坐标轴的交点分别为A,BC,D,若PA+P+ PCI+PDl=8,则P到y轴的距离为 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）】 15.(13分) 已知(2-3x”=a+ax+a2x2+…+anx(neN),该二项展开式中第5项和第6项的二项式系 数最大 (1)求正整数n的值； (2)求a,+a2+a,+…+an与二项式系数和的比值； (3)问2-3x”展开式各项系数的绝对值ao,a,,a2,…,a.中哪个最大，并说明理由. 16.(15分) 2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中国动 画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章.现随机抽取100位市民，将市民按年龄分为 “青年组”和“非青年组”，同时统计是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下： 看过 没看过 合计 青年组 30 20 50 非青年组 15 35 50 合计 45 55 100 记A表示“抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，其概率为P(A),B表示“抽取到的市民 为非青年组”，其概率为P(B) (1)给出P(A),P(B),PB1A的估计值； (2)现从抽取的青年组市民中，按是否看过《哪吒之魔童降世2》用分层抽样的方法选出5人组 成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中看过《哪吒 之魔童降世2》的人数X的分布列和数学期望】 高二数学第3页·共4页 17.(15分) 已知双曲线C的焦点在x轴上，中心在坐标原点，虚轴长为4，左、右焦点分别为F,F2,过F2的 直线l交双曲线C于A、B两点且F,F,·AB=0,△F,BF,的面积为4√2. (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点P(4,2)的直线1，交双曲线C于S、T两，点，且，点P是线段ST的中点，求直线1，的方程 及直线1被双曲线截得的弦长ST. 18.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，AB=6,PC=PD=N57,二面角 P-CD-A的大小为若 (1)证明：平面PAB⊥平面ABCD; (2)求四棱锥P-ABCD的体积； (3)若点M在线段PD上，且平面MAC⊥平面ABCD,求直线AM与平面PBC所成角的正 弦值， M A入 19.(17分) 已知动点P到点F(1,0)的距离比到直线x=-2的距离小1，设动点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的轨迹方程； (2)已知点Q(2,0),过点Q作直线l与曲线C交于A,B两点，直线AF,BF与C另一个交点分别为 M,N. ①当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为，直线MN的斜率为，试判断+位是 h hz 否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； ②求△QMN面积的最小值， 高二数学第4页共4页2025一2026学年度上学期期末考试高二试题 数学（答案及评分标准） 一、单选题：1-5.BCADC 6-8BCD 二、多选题：9.ACD 10.ABD 11.BD 三、填空题：12. 3 13.27720 143② 7 四、解答题 15题（本题满分13分) 解：(1)因为(2-3x)的展开式中，第5项和第6项的二项式系数最大 所以n为奇数，且C4=C5,所以n=9 -2分 (2)因为n=9,所以二项式系数和为29=512- -3分 令x=0,得a=29=512 令x=1,得a0+a1+a2+.+ag=(2-3)9=-1 所以a1+a2+a3+..+ag=-513-- -5分 因此a十a2十++an与二项式系数和的比值为-513 -6分 512 (3)lal,la,la2l,,lag中las和a6均为最大 -7分 因为(2-3x)9=ao+a1x+a2x2+.+agx9 (2-3x)9展开式的通项Tr+1=C529-r(-3x)”=C29-(-3)x,r=0,1,29 所以a>0,a1<0,a2>0,a3<0,,a9<0 Epaol ao>0,lal =-a1>0,lazl=a2>0,...laol =-ag>0 故判断aol,al,la2.…ag系数中谁最大即判断(2+3x)展开式的系数谁最大.--8分 (2+3x)展开式的通项Tx+1=Cg29-r(3x)',r=0,1,2,,9 8 -9分 得5≤r≤6，因为r∈N,所以r=5或6. -12分 故aol,al,la2l,ag中asl和a6均为最大。 13分 16题（本题满分15分） 解：A表示抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》，B表示抽取到的市民为非青年组， (1)样本容量=100，没看过电影的总人数55，抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》 的频率为5=马，因此PA)的估计值为 10020 202分 选到的市民为非青年组的总人数50，抽取到的市民为非青年组的频率为积= 因此P(B)的估计值为 。。440。,☑ 20 法一：P(@A)=圆=签=4 P(A) 55 100 11 在抽取到的市民没看过《哪吒之意童降世2》条件下，抽到的市民为青年组的频率为酷 ,因此P(®A)的估计值为4 6分 第1页共7页 法：P国A)=黑-器=吉 在抽取到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》条件下，抽到的市民为青年组的频率为告 ，因此P(国A的估计值为兰 ….6分 (2)按照分层抽样，抽取的5人中看过《哪吒之魔童降世2》的有3人，没看过《哪吒之 魔童降世2》的有2人，则看过《哪吒之魔童降世2》的人数X的取值范围为1,2,3} 由题意知看过《哪吒之魔童降世2》的人数X服从参数5,3,3的超几何分布，即x~H5,3,3) 的超几何分布7分 此时P(K=1)=9=3 C310 9分 PK=2)=g=3 11分 .13分 则X的分布列为： X 1 2 3 3 1 5 10 14分 E0=1×0+2×+3×品=？或E0W=则-警-号 15分 17题.（本题满分15分） 解：(1)白题设双曲线c茶-1，>0b>0, 因为F1F2·AB=0 所以F1F21AB,直线的方程为x=c X=C 联立方程 =1解得y=士长放A5.Bc的 y2 。2 又因为，（-c0,R,(c0)2h=4b=2,所以A=1B--手，R,-2c 所以SaA,=EBF2=X2e×手=4W2,则c=V2a -2分 而c2-a2=2a2-a2=4,a2=4 -4分 第2页共7页 所以双曲线C的标准方程为号-兰=1一 -5分 (2)法一：因为过点P4,2)的直线，与双曲线学-号-1相交于ST两点，直线，斜率为k 1)当k不存在时，直线L1的方程x=2,显然p(4,2)不是中点（舍） -6分 2)当k存在时，设直线l1的方程为y-2=k(x-4)(k≠1)，即y=kx-4+2, 联立方程 苦-1得(1-k92+2U4秋-2x-a做-习2-4=01-2寸00 y=kx-4+2 设s(8,y),T(x2,y2)(K1≠x2),则x1十x2=2=2) k2-1 -8分 因为P4,2为ST中点所以x1+x为=8,2：8，解得k=2, 故直线L的方程为y=2x-6,即2x-y-6=0- -10分 将k=2代入①，得3x2-24x+40=0,△=242-4×3×40=12×8=96>0 则X1十X2=8,X1x2=9 -12分 IST1=V1+k2√&1+x2)2-4x1x2=V1+22 /82-4×404w3o 33 -14分 故直线l1的方程为2x-y-6=0,弦长1ST1- 3 -15分 法二：因为过点P4,2)的直线，与双曲线号-兰=1相交于S,T两点，p为线段5T的中点 可知，直线1的方程不是x=2, -6分 设S(x1,y1),T(x2,y2)(x1≠x2),直线L1的斜率为k x好 y1二1 4 4 2=1 4-4 得得-单)-(4-)=0，所以2=1- -8分 X1-X2X1+x2 因为P(4,2)为S,T中点， +及即袋×-1k兰之 1-2 X1-X2 直线l1的方程为y-2=2(x-4),y=2x-6,即2x-y-6=0- -10分 y=2x-6 联立方程 号-号-1得3x2-2+40=0,△=242-4×3×40=12×8=96>0. 第3页共7页 则x1十x2=8,x1X2=0 -12分 IST1=V1+k√&1+x2)2-4k1x2=V1+2282-4×04w@ 14分 33 故直线L1的方程为2x-y-6=0,弦长1ST13团 -15分 3 18题（本题满分17分） 解：(1)设AB,CD的中点分别为G,H,连接PG,GH,PH. 在△PCD中，由PC=PD,所以PH L CD. 由CH=3,所以PH=VPC2-CHz=V57-9=4v3 因为GH1CD,所以二面角P-CD-A的平面角为∠PHG,∠PHG=名 -1分 则PG=VPH2+GH2-2PH·GH cos∠PHG= 48+36-2×6×4W3×c0s匹=2V3, -2分 因为GH∩PH=H,GH,PHC平面PGH,所以CD⊥平面PGH 由PGc平面PGH,所以PG 1 CD,- 3分 又PG2+GH2=(23)2+62=(4V3)2=PH2,所以PG1GH. -4分 CDnGH=G,CD,GHc平面ABCD, 所以PGI平面ABCD,又PGC平面ABP, -5分 所以平面PABI平面ABCD. -6分 (2)因为PGI平面ABCD,即四棱锥的高为PG, -7分 又ABCD为正方形，SABCD=6×6=36 所以四棱锥P-ABCD的体积为 V=PG·S4BcD=专×36×23=24W5. -10分 (3)因为PG1GH,PG1AB,AB1GH,所以以G为坐标原点，GB,G,G的方向分别为x,y,z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系- -11分 则A(-3,0,0),B(3,0,0),C(3,6,0),D(-3,6,0),P(0,0,23). 记GH n AC=0,则0(0,3,0)，0P=(0,-3,2V3),连接OM,BD 设PM=2PD(0≤元≤1) PD=(-3,6,-2V3),PN=P=(32,6元，-23元)， 0M=0p+PM=(-32,-3+6,2W3-2V3),BD=(6,6,0)---12分 因为平面MAC1平面ABCD,平面MACn平面ABCD=AC,BD1AC, BDC平面ABCD,所以BD⊥平面MAC, 因为OMC平面MAC,所以BD⊥OM 则B配.0N=-6×(-32)+6(-3+62)=0,解得入=号 则PN=(-1,2-29).又AP=(30,2V,所以AM=AD+PMi=(22,)--14分 设平面PBC的法向量为m=(&,y,z),PB=(3,0,-2V3),BC=(0,6,0) 第4页共7页 则由m:P丽=3x-25:=0,取2=5，得m=20,V5 -15分 m.BC=6y=0 设直线ALM与平面PBC所成的角为8 sin9-cos<正，AMi>1=m 12x2+2x044xW3 12W210 AMI 2+2242+024+32 35 所以直线AM与平面PBC所成角的正弦值为2@ 35 -17分 19题（本题满分17分） 解：(1)法一、由题可知，设P(x,)为所求曲线上的动点， H p 过P做x=-2的垂线PH,则IPF|+1=|PH 即V区-1)2十y2+1=X十2.…。 X=-2 0F1,0) 2分 <1>x≥-2时，区-1)2+y2=(x+1)2,y2=4x <2>x<-2时，&-1)2+y2=(-x-3)2,y2=8x+8<0(舍) 故轨迹方程为y2=4X4分 法二、因为点P到点F(1,0)的距离比到直线x=一2的距离小1 所以P在x=一1右侧，点P到点F的距离与到x=-1的距离相等，即曲线C是以F(1,0) 为焦点，直线X=一1为准线的抛物线，故轨迹方程为y2=4.4分 (2)法一、设A(&1,y1),B(k2,y2),M(&3,y3),N(&4y4),如图， y1>0,y4>0,y2<0,y3<0,F(1,0) 由题可知B斜率不为0，令m=子设AB:x=my+2, 天l线方程代+2，消去x可行如wy8=0, 显然△1=16m2+32>0,y1+y2=4m,y1y2=-8,… 6分 设AF:x=ny+1, 跃立准线方程然1，消去x可得，2钢4=0， 显然△2=16n2+16>0,y1+y3=4n,y1y3=-4, 由y28%=-4得归=-号，⅓=-子故%20 同理由y1y2=-8,y2y4=-4得y1=2y4… 8分 又因为k2==44 8 k=yy2 4 y1-y2y1+y2 4 所业=2，袋-长+台+2-定他 2 10分 ②设MN:x=ty+b,b>0 第5页共7页 联立准线方程钜”，消去x可得-的一仙=0， 显然43=16t2+16b>0, y3y4=-4b,12分 y1y2=-8,y1y3=-4,y2y4=-4,所以y3y4=-2=-4b,b=月 因此MN:x=y+担过定点G分0)，1GQ=2-是 .14分 ⅓=语4=话y1W2=-8,又M>0,4>02<0,8<0 所以ya,=治=2.5a网=引c0×%-yw小=×经x:+号1≥×2A4× y42 当且仅当y4=是y4=瓦，为=-V2等号立16分 故△MNQ面积最小值为32 17分 2)①法二、设A(y),B(y),M(),N(任，y4)如图，y1>0y>0W20y0 由题可知4B斜率不为0，令m=子，设AB:X=my+2, 联立曲线方程组 2v+2,消去x可得，y-4y-8=0, y2=4x 显然 △1=16m2+32>0,y1+y2=4m,y1y2=-8, 6分 设AF:y=”(&-1), 1 4 y2=4x 联立曲线方程组 y二&=1)，消去x可得，1y2-(1-4y-4y1=0 则y1y3是方程的两根，42=-y1-4]+16y12>0 所以灯1%=0=-4即%=片同理y4=言8分 V1 k=-y= 4 4 y1y2= -82 y3-y1 3+y4=4+4 y1+y2 4m m 4 y1 y2 因为k-台所以。=2k,所以-是+是-+2=号 10分 kikz ②<1>当直线AB的斜率k1不存在，此时直线AB垂直于X轴，方程为x=2 将x=2代入y2=4x,可得y2=8,即y=2V2 124 不妨设A(2,2V2),B(2,-2V2),F1,0)直线AF的方程为y=2V2(x-1), 第6页共7页 联立方程组 y2=4x y=2W2(x-1) 可得2x2-5x+2=0,（2x-1)x-2)=0 解得x1=2(对应点A),2之即M吃V2)同理可得N吃，V2,此时直线MN平行于y轴， AQMN中1QM=1QN=2-2+(仕V2-0)2=YIMN1=22, 点Q到直线MN的距离为d:2号 则SMw-刘MNIxd=-2V2x9 12分 <2>当直线AB的斜率k存在，由①知MN的斜率k2=2k各，m≠0 故MN的方程为： ⅓=区浮m02子号 2 yi m 4 令y=0,x=+=++诗-+= y1 yi 2y1 2y 2 所以MN恒过定点G(吃，0)14分 saa0-60×-l=×2x片-引=3w=2 =V1+y2)2-4gw2=8V16m2+32=Vm2+2>29 16分 2 「综上所述，由<1><2>可知，AMNQ面积最小值为)17分 注：(1)第一问法一没讨论去绝对值，定义法没有必要文字说明，扣1分。 (2)此题设直线方法较多，证明方法也多，只要推导有理有据，均可得分。思路清晰，答 案不对请酌情给分。 第7页共7页