第二章 变量与函数 知识点10 二次函数的应用-【荣恒专项】2026-2027学年九年级全一册数学——代数典型题专项训练

中考代数题典型题专项训练 即d=/3m-4 912m-9 2 ②当对称轴3m-号≤0，即m≤时，Pm随： 的增大而增大， .当t=0时，PD小值=m2,.d=lml. 3 m≤2 综上所述，d= √/12m-9 2 (m>2) 知识点10二次函数的应用（一） 1.解：(1)40(1+25%)=50，设y=k+b,k ≠0， 根据题意得？5=5k+b, 170=10k+b, 解得k=-1,b=80, ∴.y=-x+80, 根据题意得x>0, l-x+80≥50， 且x为正整数， .0<x≤30，x为正整数， ∴.y=-x+80(0<x≤30，且x为正整数)： 故答案为50. (2)设所获利润为P元，根据题意得 P=(y-40)·x=（-x+80-40)x=-(x -20)2+400. 即P是关于x的二次函数， a=-1<0, P有最大值， .当x=20时，P最大值=400，此时y=60, ∴.当销售价为60元/件时，所获利润最大， 最大利润为400元. 2.解：(1)设钢笔、笔记本的单价分别为x元、 y元， 根影慧意科红十y8:解供0， y=6. 答：钢笔、笔记本的单价分别为10元、6元. (2)设钢笔的单价为a元，购买数量为b 支，支付钢笔和笔记本的总金额为W元 ①当30≤b≤50时， a=10-0.1(b-30)=-0.1b+13, 0=b(-0.1b+13)+6(100-b)=-0.1(b -35)2+722.5. ,当b=30时，w=720, 当b=50时，w=700, ∴.当30≤b≤50时，700≤w≤722.5. ②当50<b≤60时， a=-0.1×50+13=8, w=8b+6(100-b)=2b+600. 28 .2>0,.700<w≤720. 综上所述，当b=50时，w取得最小值，最小 值为700. 答：这次奖励获得一等奖的学生为50人时， 购买奖品总金额最少，最少为700元. 二次函数的应用（二） 解：(1)：长方形的长AD=4m,宽AB=3m, 抛物线的最高点E到BC的距离为4m, .'OD=OA=2 m,OH =AB=3 m, ∴.D(2,0),E0=EH-0H=4-3=1(m), .E(0,1). 将点D,E的坐标代入y=kx2+m, 1 得+m=0解得压=4 m=1, lm=1. 该抛物线的函数表达式为y=-+1. (2),GM=2m,∴.OM=0G=1m. 当x=1时y=子1，)， .MN=4 m, Skaw=MN.GM=子×2=2(m), :每个B型活动板房的成本是425+多×50 =500(元). 答：每个B型活动板房的成本是500元. (3)根据题意，得 w=(n-500)[100+20(650-n21】 10」 =-2(n-600)2+20000. .·每月最多能生产160个B型活动板房， 100+20(650-m2≤160， 10 解得n≥620. -2<0, ∴.当n≥620时，w随n的增大而减小， ∴.当n=620时，w取得最大值，0最大值= 19200. 答：公司将销售单价n定为620元时，每月销 售B型活动板房获利润w最大，最大利润 是19200元. 二次函数的应用（三） 解：(1)由题可知抛物线C:y=日2+c+ c过点(0,4)和(4,8)，将两点坐标代入C2中， 解得c=4,b=2 ∴抛物线的解析式为y=名+2+4 (2)设运动员运动的水平距离为m米时，与小 山坡的竖直距离为1米。 依题意得，-日m+子m+4 3 (-2+名m+-1, .(m-12)(m+4)=0, 解得m1=12,m2=-4(舍）， ∴.运动员运动的水平距离为12米时，与小山 坡的竖直距离为1米 ()由c=-立+名+1得，y-b(x 7 -7+8 小山坡坡顶坐标为(7， 将(0,4)代入C得，c=4,则C:7=-日2+ bx+4, 将x=7代入C:得，y=-名×72+7b+4,则y 依题意得，号+76留>3， 、245 .7b>24’ 6>器 二次函数的应用（四） 解：（1)设y关于x的函数解析式为y=kx +b. 将(85,175)，(95,125)分别代入， 得t8=1因每得么 ∴.y关于x的函数解析式为y=-5x+600. 当x=115时，m=-5×115+600=25. (2)设该产品的成本单价为a元. 由题意可得175(85-a)=875,解得a=80. ∴.该产品的成本单价为80元. 由题意可得w=y(x-80)=(-5x+600)(x -80)=-5x2+1000x-48000=-5(x- 100)2+2000. -5<0,∴.抛物线开口向下 当x=100时，0最大值=2000. (3)由题意可得(-5×90+600)×(90-a) ≥3750，解得a≤65. 参考答案 ∴.该产品的成本单价不超过65元时，可达到 日销售利润不低于3750元的销售目标. 二次函数的应用（五） 解：(1)当30<x≤70时，设一次函数的解析 式为y=x+b(k≠0). 将(30,2.4)，(70,2)两点分别代入， 得0t8子，4解得信2901 ∴.y=-0.01x+2.7. r2.4(0≤x≤30)， ∴.y={-0.01x+2.7(30<x≤70)， l2(70<x≤100). (2)由题意可得w=y·x-P. 当0≤x≤30时，0=2.4x-（x+1)=1.4x -1； 当30<x≤70时，w=（-0.01x+2.7)x-（x +1)=-0.01x2+1.7x-1=-0.01(x-85)2 +71.25; 当70<x≤100时，w=2x-(x+1)=x-1. 综上所述， r1.4x-1(0≤x≤30)， w={-0.01(x-85)2+71.25(30<x≤70)， lx-1(70<x≤100). (3)w'=0-0.3x,所以易得 r1.1x-1(0≤x≤30)， w'={-0.01(x-70)2+48(30<x≤70)， l0.7x-1(70<x≤100). 当0≤x≤30时，w'随x的增大而增大， .当x=30时，0'大=32<55； 当30<x≤70时，w'=-0.01(x-70)2+48, ∴.当x=70时，0'最大=48<55； 当70<x≤100时，w'=0.7x-1,w'随x的增 大而增大， 当x=100时，0'最大=69>55. .0.7x-1≥55，解得x≥80， .产量至少要达到80吨 二次函数的应用（六） 解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx +b. 将点(40,300)，(55,150)分别代人， 科8t00解得6三70 ∫k=-10, ∴.y与x之间的函数关系式为y=-10x+700. (2)由题意可得y≥240， ∴.-10x+700≥240，解得x≤46. 设利润是w元. 由题意可得w=(x-30)(-10x+700) =-10x2+1000x-21000=-10(x-50)2 29 中考代数题典型题专项训练 +4000. .-10<0, .抛物线开口向下， ∴.当x<50时，w随x的增大而增大 .当x=46时，y最大值=-10×(46-50)2+ 4000=3840 .当销售单价为46元时，每天获取的利润最 大，最大利润是3840元 (3)设从每天的销售利润中捐出150元给希 望工程后，剩余的利润为m元. 则m=w-150=-10x2+1000x-21000-150 =-10(x-50)2+3850. 由-10(x-50)2+3850=3600, 解得x1=45,x2=55. m关于x的函数图象如答图所示. m/元4 3600----- 45:55x/元 由图象可知，当45≤x≤55时，每天捐款后剩 余利润不低于3600元. ∴.该漆器笔筒销售单价的范围是45元到 55元. 知识点11反比例函数的图象和性质（一） 1.解：(1)如图所示，过点A作AH⊥x轴于 点H. 0 .∠A0C=45°，0A=22 ..OH=AH=OA·sin∠AOH=2, ∴.点A(2,2). 将点A(2,2)代入y=,解得k=4. (2)设点C的坐标为(0，a),则0C=a. .四边形OABC是平行四边形， ∴.OC∥AB,OC=AB, ∴.点B(2,a+2). 点D是BC的中点， ∴.点D(1,a+1). 将点D(1,a+1)代入y=生，解得a=3, 30 ∴.点D的坐标为(1,4) 2.解：(1)八反比例函数y=m(x>0)的图象 经过点A(3,4), ∴.m=3×4=12, ·反比例函数的表达式为y=2 (2)·直线y=kx+b过点A, ∴.3k+b=4. 过点A的直线y=x+b与x轴、y轴分别 交于B,C两点， B-会0j,c0,6). ,△AOB的面积为△BOC的面积的2倍， ×4=2×分·-会 b b ·161, ∴b=±2. 当6=2时，k=子；当6=-2时，k=2 此直线的函数表达式为y=号x+2或) =2x-2 反比例函数的图象和性质（二） 1.解：(1)将点A(-2,0)代人y=x+b,解得b =2. .一次函数的解析式为y=x+2. 将点B(a,4)代入y=x+2,解得a=2, ·点B(2,4) 将点B(2,4)代入y=车，解得k=8, 一反比例函数的解析式为y=8 (2)如图所示， 设点M(m,m+2),其中m>-2. y个 了A 0 分两种情况讨论： ①当点N在点M右侧时，由题意可得点N (m+2,m+2). 8 将点N(m+2,m+2)代人y= x 得m+2=8 +2'中考代数题典型题专项训练 知识点10 二次函数的应用（一） 代数大冲关 (难度等级★) 1.（辽宁本溪二模)某种商品的进价为40元/件，以获利不低于25%的 重点题讲解 扫码批改 价格销售时，商品销售价y(元/件)与销售数量x(件)(x是正整数)之间的关系如表： x(件) 5 10 15 20 y(元/件) 75 70 65 60 (1)由题意知商品的最低销售价是 元.当销售价不低于最低销售价时，y是x的一次 函数，求出y与x的函数关系式及x的取值范围 (2)在(1)的条件下，当销售价为多少元时，所获销售利润最大，最大利润是多少元？ 2.(四川南充模拟)在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励 1支钢笔、1本笔记本.已知购买2支钢笔和3本笔记本共花费38元，购买4支钢笔和5本笔 记本共花费70元 (1)钢笔、笔记本的单价分别为多少元？ (2)经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加1支，单价降低0.1元；超过50支时，均按 购买50支的单价销售.笔记本一律按原价销售.学校计划奖励获得一、二等奖的学生共计100 人，其中获得一等奖的学生不少于30人，且不超过60人.这次奖励获得一等奖的学生为多少 人时，购买奖品总金额最少？最少为多少元？ 58 第二章变量与函数 二次函数的应用（二） 代数大冲关 (难度等级★★) (山东青岛模拟)某公司生产A型活动板房的成本是每个425元.图1表示A型活动板房的一面 墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD=4m,宽AB=3m,抛物线的最高点E到BC的距 离为4m. 图1 图2 (1)按如图1所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=kx2+m(k≠0)表示，求该抛物线的函数 表达式； (2)现将A型活动板房改造为B型活动板房，如图2，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长 方形窗户FGMN,点G,M在AD上，点N,F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2.已知GM=2m, 求每个B型活动板房的成本是多少；（每个B型活动板房的成本=每个A型活动板房的成本+ 一扇长方形窗户FGMW的成本) (3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降 低10元，每月能多售出20个.公司每月最多能生产160个B型活动板房.不考虑其他因素，公 司将销售单价定为多少元时，每月销售B型活动板房所获利润（元）最大？最大利润是 多少？ W59 中考代数题典型题专项训练 二次函数的应用（三） 代数大冲关 (难度等级★★★) (广西期末)2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图是某跳台滑 雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴， 建立平面直角坐标系，图中的抛物线C:y-立+名+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡， 7 某运动员从点0正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2:y= 8+bx+c运动. 1 (1)当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平 /米个 线的高度为8米，求抛物线C,的函数解析式（不要求写出 C. 自变量x的取值范围)； C 水平线 x米 (2)在(1)的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？ (3)当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围. 60 第二章变量与函数 二次函数的应用（四） 代数大冲关 (难度等级★) (河南模拟)某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售y(个)和销售单价x(元)之 间满足一次函数关系.关于销售单价、日销售量、日销售利润的几组对应值如下表所示。 销售单价x/元 85 95 105 115 日销售量y/个 175 125 75 日销售利润w/元 875 18751875 875 [注：日销售利润=日销售量×（销售单价-成本单价）] (1)求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及m的值. (2)根据以上信息，求该产品的成本单价；当销售单价为多少时，日销售利润w最大？最大值是 多少元？ (3)公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本.预计在今后的销售中，日销售量与销售单价 仍存在(1)中的关系.若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该 产品的成本单价应不超过多少元？ 61 中考代数题典型题专项训练 二次函数的应用（五） 代数大冲关 (难度等级★★) (湖北黄冈模拟)某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召，决定成立草莓产销合作社，负 责扶贫对象种植户种植草莓的技术指导和统一销售，所获利润年底分红.经市场调研发现，草莓 销售单价y(万元)与产量x(吨)之间的关系如图所示(0≤x≤100).已知草莓的产销投入总成 本p(万元)与产量x(吨)之间满足p=x+1. (1)请写出草莓销售单价y(万元)与产量x(吨)之间的函数解y万元↑ 析式； 2.4 030 70100x/吨 (2)求该合作社所获利润w(万元)与产量x(吨)之间的函数解析式； (3)为提高农民种植草莓的积极性，合作社决定按0.3万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户.为 确保合作社所获利润'不低于55万元，产量至少要达到多少吨？ 62 第二章变量与函数 二次函数的应用（六） 代数大冲关 (难度等级★★★) (江苏扬州月考)“扬州漆器”名扬天下.某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件， 每天销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，如图所示， (1)求y与x之间的函数关系式. y/件 300 150 4055x/元 (2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最 大？最大利润是多少？ (3)该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款 后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围. W63