第二章 变量与函数 知识点6 二次函数的图象与性质及二次函数与方程、不等式之间的关系-【荣恒专项】2026-2027学年九年级全一册数学——代数典型题专项训练

申考代数题典型题专项训练 知识点6 二次函数的图象与性质及 二次函数与方程、不等式之间的关系（一） 代数大冲关 (难度等级★) 1.(云南模拟)已知k是常数，抛物线y=x2+(2+k-6)x+3k的对称轴是 y轴，并且与x轴有两个交点。 (1)求k的值； (2)若点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标 2.(新疆月考)已知抛物线y=ax2-2ax+3(a≠0). (1)求抛物线的对称轴； (2)把抛物线沿y轴向下平移3|al个单位，若抛物线的顶点落在x轴上，求a的值； (3)设点P(a,y1),Q(2,y2)在抛物线上，若y1>y2,求a的取值范围 40 第二章变量与函数 二次函数的图象与性质及二次函数与 方程、不等式之间的关系（二） 代数大冲关 (难度等级★★) 1.(河南期末)如图，抛物线y=x2+mx与直线y=-x+b交于点A(2,0)和点B. (1)求m和b的值； (2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx>-x+b的解集； (3)点M是直线AB上的个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N,若线段MN与抛物 线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标xy的取值范围. 2.（天津河西一模)已知函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(-2,4). (1)当b=2时，求抛物线的顶点坐标； (2)设该函数图象的顶点坐标是(m,n),当b的值变化时，求n关于m的函数表达式； (3)若该函数的图象不经过第三象限，且当-3≤x≤4时，函数的最大值与最小值之差为40， 求b的值. W41 中考代数题典型题专项训练 二次函数的图象与性质及二次函数与 方程、不等式之间的关系（三） 代数大冲关 (难度等级★★★) （吉林模拟)如图，在平面直角坐标系中，二次函数)=+：+c的图象经过点A0,-),点 1,4 (1)求此二次函数的解析式； (2)当-2≤x≤2时，求二次函数y=x2+bx+c的最大值和最小值； (3)点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m.过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为-2m+1. 已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小 ①求m的取值范围； ②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y=t+:+c-2≤x<3的图象交点个数及对 应的m的取值范围. 42w∴.货车乙返回B地所用的时间至多为5- 3.1-0.3=1.6(h). 设货车乙返回B地的速度为vkm/h. 由题意可得1.6v≥120，解得v≥75. .货车乙返回B地的速度至少为每小时 75km. 知识点6二次函数的图象与性质及二 次函数与方程、不等式之间的关系（一） 1.解：(1)：抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k 的对称轴是y轴， -+k-6 2 0,即2+k-6=0, 解得k=-3或k=2. 当k=2时，二次函数解析式为y=x2+6,它 的图象与x轴无交点，不满足题意，舍去. 当k=-3时，二次函数解析式为y=x2-9, 它的图象与x轴有两个交点，满足题意 .k=-3. (2)点P到y轴的距离为2， ∴.点P的横坐标为-2或2. 又点P在抛物线y=x2+(2+k-6)x+ 3k上， 且由(1)知k=-3, .当x=2时，y=-5; 当x=-2时，y=-5. ∴.点P的坐标为(2，-5)或(-2，-5) 2.解：(1)由题意可得，抛物线的对称轴直线x 、 -2a=1. 2a (2)把抛物线沿y轴向下平移3|a|个单位， 可得抛物线y'=ax2-2ax+3-31al. .此时抛物线的顶点落在x轴上， .△=(-2a)2-4a(3-31al)=0, 化简得4a2-12a+12a|al=0. 当a>0时，可得4a2-12a+12a2=0. 解得a=子或a=0(不符合题意舍去)： 当a<0时，可得4a2-12a-12a2=0, 解得a=-多或a=0(不符合题意，含去). 3 .a= a=是 (3)当x=2时，y2=3,即Q(2,3), 又抛物线的对称轴为直线x=1, ∴.点Q关于对称轴对称的点为(0,3) 当α>0时，抛物线开口向上，若满足y1> y2,则a>2或a<0(不符合题意，舍去)； 当a<0时，抛物线开口向下，若满足y1> 参考答案 y2,则0<a<2,不符合题意，舍去 综上，a的取值范围是a>2. 二次函数的图象与性质及二次函数与 方程、不等式之间的关系（二） 1.解：(1)抛物线y=x2+mx经过点A(2,0), ∴.4+2m=0,∴.m=-2. 直线y=-x+b经过点A(2,0), ∴.-2+b=0,∴.b=2. (2)当x2-2x=-x+2时，x1=-1,x2=2. .点B的坐标为(-1,3). 结合图象可知，不等式x2+mx>-x+b的 解集为x<-1或x>2. (3)抛物线y=x2-2x的顶点坐标为(1，-1)， 过点M作直线y=t,则点N在直线y=t上， 由图象可知，当t=-1时，xM=3,xw=3-3 =0.此时线段MN与她物线只有一个公共 点(1，-1)；当t=0时，xM=2,xw=2-3= -1,-1<0,线段MN与抛物线有两个公共 点(0,0)和(2,0)；当t=3时，xM=-1,线 段MN与抛物线只有一个公共点(-1,3). 综上可知，当-1≤xw<2或xw=3时，线段 MN与抛物线只有一个公共点. B OMy= 2.解：(1)将点(-2,4)代入y=x2+bx+c, 得-2b+c=0,.c=2b, 又，b=2,∴.c=4, .y=x2+2x+4=(x+1)2+3, ∴.抛物线的顶点坐标为(-1,3). (2).函数图象的顶点坐标是(m,n), 3,n-4c,&-8663 b 4二 4 m=26-￥=-4x-)-(-}= -m2-4m. (3y=+s+26=e+)-g+28 抛物线的对称轴为直线x=一2， b 当b≤0时，c=2b≤0，又函数图象不经过第 三象限， ∴.c=0,∴.b=0. 此时y=x2,当-3≤x≤4时，函数的最小值 是0，最大值是16， 州17 中考代数题典型题专项训练 ∴.最大值与最小值之差为16，舍去 当b>0时，c>0,又因为函数图象不经过第 三象限， ∴△≤0， ∴.0<b≤8， -4≤-名<0 当-3≤x≤4时，函数有最大值16+6b. ①当-3≤-名<0时，函数有最小值- +2b, 由题意知16+60+号 -2b=40. 解得b=4√10-8或b=-4√10-8（舍去）， ∴.b=4√10-8； ②当-4≤-？<-3时，函数有最小值9-6， 由题意知16+6b-9+b=40, 解得6=合去)， 综上所述，b=4√10-8. 二次函数的图象与性质及二次函数与 方程、不等式之间的关系（三） 7 c=-4’ 解：(1)根据题意，得 1 1+b+c=4, b=1, 解得 7 c=-4 、此二次函数的解析式为y=x+x一4 (2y=2+-子-(+°-2 由二次函数的增减性，得 当x=-时，7取最小值，为-2： 当=2时，7取最大值，为 (3)①当点P在点Q右侧时，m>-2m+1. 解得m>行 PQ=m-(-2m+1)=3m-1. 当m>了时，线段PQ的长度随m的增大而增 大（舍去）. 当点P在点Q左侧时，m<-2m+1. 解得m<子 18 PQ=(-2m+1)-m=-3m+1. 当m<兮时，线段PQ的长度随m的增大而 减小 故m的取值范围是m<了 1 ②.0<PQ≤7， ∴.0<-3m+1≤7， 1 解得-2≤m<3 如图，当m=一方时，点P为二次函数图象的 最低点，PQ与二次函数图象有1个交点； 当-乃<m<号时，点P与点Q在对称轴右 侧，PQ与二次函数图象只有1个交点； 直线x=弓关于二次函数图象的对称轴对称 的直线为=一专， 当-专<m<-乃时，PQ与二次函数图象 有2个交点； 当-2≤m≤-号时，P0与二次函数图象有1 个交点 综上所述，当-2≤m≤-专或-乃≤m<兮 时，PQ与二次函数图象有1个交点；当-号< m<-2时，PQ与二次函数图象有2个交点 知识点7二次函数图象中的长度、 角度和面积问题（一）】 解：(1)将A(-1,0),C(0,-3)分别代入y= x+bx+c, 得儿-0解得子 lc=-3. ∴.b=-2,c=-3. (2)设抛物线的对称轴与x轴交于点G,·'AC 的长为定值，.当AF+CF的长最小时， △ACF的周长最小，由(1)易得G(1,0),B(3, 0),点A关于直线FG的对称点为点B,当点 B、C、F在一条直线上时，AF+CF的长取小. .OC∥GF,∴.△BGF∽△BOC, 8-866F-2 F(1,-2) (3)存在满足要求的点P,且点P的坐标为 (5,12). 由(1)知b=-2,c=-3, .y=x2-2x-3. 令y=0,得0=x2-2x-3, 解得x1=-1,x2=3, A(-1,0),∴.B(3,0) 设直线BC的解析式为y=x+m(k≠0)， 把B(3,0),C(0,-3)代入y=x+m, 第得3 ·.直线BC的解析式为y=x-3. D 参考答案 设P(n,n2-2n-3),根据题意得n>3,E(n, n-3),D(n,0),PE=n2-3n,DE=n-3. 点P到直线BC的距离是点D到直线BC 的距离的5倍， ∴.以BE为底的△BEP的面积是以BE为底的 △BED面积的5倍，即S△BsP=5S△ED S6m=2PE·BD,Sam=2DE·BD, 2PE·BD=5×2DEBD, 2 ∴.PE=5DE. ∴.n2-3n=5(n-3),解得n=3或n=5. .n>3,∴.n=5, .y=52-2×5-3=12, ∴.点P的坐标为(5,12) 二次函数图象中的长度、 角度和面积问题（二） 解：(1)，∠0AB=90°，∠B0A=30°，OB=4, ,0A=0B·c0s30°=2W3. .A(2V3,0) 二次函数y=-x2+bx的图象经过点A, .-(23)2+23b=0. .b=2W3. .二次函数的解析式为y=-x2+23x. 顶点C的坐标是（√3,3）. (2).∠0AB=90°，∠B0A=30°，0B=4, .AB=2. 由直线DE是二次函数y=-x2+2√3x的图 象的对称轴， 可知DE∥AB,OE=AE. -8既=7c=1 C(V3,3),.CE=3,∴.CD=2. …82 (3)根据题意，可设P(√3，n). y0B=20A=5,cB=3, Sae=20k·Ck-3y5 2 sam=20A~PE=7x25×1a1-33 2 ∴.n=± 点P的坐标为(3,2)或(5，-2) 19