第二章 变量与函数 知识点7 二次函数图象中的长度、角度和面积问题-【荣恒专项】2026-2027学年九年级全一册数学——代数典型题专项训练

第二章变量与函数 知识点⑦ 二次函数图象中的长度、角度和面积问题（一） 代数大冲关 （难度等级★★) (云南期末)抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,点A 的坐标为(-1,0)，点C的坐标为(0，-3).点P为抛物线y=x2+bx+c上的 一个动点.过点P作PDLx轴于点D,交直线BC于点E. (1)求b、c的值； (2)设点F在抛物线y=x2+bx+c的对称轴上，当△ACF的周长最小时，直接写出点F的坐标； (3)在第一象限，是否存在点P,使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍？若 存在，求出点P所有的坐标；若不存在，请说明理由。 W43 中考代数题典型题专项训练 二次函数图象中的长度、角度和面积间题（二） 代数大冲关 (难度等级★★) (上海宝山三模)如图，在平面直角坐标系内，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限内，且 ∠OAB=90°，∠BOA=30°，OB=4.二次函数y=-x2+bx的图象经过点A,顶点为点C. (1)求这个二次函数的解析式，并写出顶点C的坐标； B (2)设这个二次函数图象的对称轴1与0B相交于点D,与x抽相交于点上，求8 的值； (3)设P是这个二次函数图象的对称轴1上一点，如果△POA的面积与△OCE的面积相等，求点 P的坐标. 44 第二章变量与函数 二次函数图象中的长度、角度和面积间题（三） 代数大冲关 (难度等级★★★) (山西桃拟)如图，抛物线y=子--3与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交 于点C.直线l与抛物线交于A,D两点，与y轴交于点E,点D的坐标为(4，-3). (1)请直接写出A,B两点的坐标及直线1的函数表达式； (2)若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m(m≥0)，过点P作PM⊥x 轴，垂足为M,PM与直线l交于点N,当点N是线段PM的三等分点时，求 点P的坐标； (3)若点Q是y轴上的点，且∠ADQ=45°，求点Q的坐标. W45 中考代数题典型题专项训练 二次函数图象中的长度、角度和面积间题（四） 代数大冲关 (难度等级★) (浙江杭州月考)设二次函数y=(x-x)(x-x2)(x1,2是实数) (1)甲求得当x=0时，y=0:当x=1时，y=0:乙求得当x=时，y=2若甲求得的结果都正 确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由. (2)写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1,x2的代数式表示）. (3)已知二次函数的图象经过(0，m)和(1，n)两点(m,n是实数)，当0<x1<x2<1时，求证： 0<mn<16 1 46 第二章变量与函数 二次函数图象中的长度、角度和面积间题（五） 代数大冲关 (难度等级★★) (山东德州摸拟)如图所示，抛物线y=m2-3-4与x轴交于A(出0)，B(名，0)两点，与y轴 11 交于点C,且x-x=2 (1)求抛物线的解析式； 0 B C D E (2)若P(x).Q()是抛物线上的两点，当a≤≤a+2,≥号时，均有≤，求a的取 值范围； (3)抛物线上有一点D(1,-5),直线BD与y轴交于点E,动点M在线段BD上，当∠BDC= ∠MCE时，求点M的坐标. W47 中考代数题典型题专项训练 二次函数图象中的长度、角度和面积问题（六） 代数大冲关 (难度等级★★★) (湖南益阳模拟)在平面直角坐标系中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴交于 点D,已知点A(1,4),B(3,0) D B C 0 B (a) (b) (1)求抛物线的解析式； (2)如图(a)所示，连接OA,作DE∥OA交BA的延长线于点E,连接OE交AD于点F,M是BE 的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由； (3)如图(b)所示，点P(m,n)是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n=-1,连接PA、PC, 在线段PC上确定一点N,使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标. 48综上所述，当-2≤m≤-专或-乃≤m<兮 时，PQ与二次函数图象有1个交点；当-号< m<-2时，PQ与二次函数图象有2个交点 知识点7二次函数图象中的长度、 角度和面积问题（一）】 解：(1)将A(-1,0),C(0,-3)分别代入y= x+bx+c, 得儿-0解得子 lc=-3. ∴.b=-2,c=-3. (2)设抛物线的对称轴与x轴交于点G,·'AC 的长为定值，.当AF+CF的长最小时， △ACF的周长最小，由(1)易得G(1,0),B(3, 0),点A关于直线FG的对称点为点B,当点 B、C、F在一条直线上时，AF+CF的长取小. .OC∥GF,∴.△BGF∽△BOC, 8-866F-2 F(1,-2) (3)存在满足要求的点P,且点P的坐标为 (5,12). 由(1)知b=-2,c=-3, .y=x2-2x-3. 令y=0,得0=x2-2x-3, 解得x1=-1,x2=3, A(-1,0),∴.B(3,0) 设直线BC的解析式为y=x+m(k≠0)， 把B(3,0),C(0,-3)代入y=x+m, 第得3 ·.直线BC的解析式为y=x-3. D 参考答案 设P(n,n2-2n-3),根据题意得n>3,E(n, n-3),D(n,0),PE=n2-3n,DE=n-3. 点P到直线BC的距离是点D到直线BC 的距离的5倍， ∴.以BE为底的△BEP的面积是以BE为底的 △BED面积的5倍，即S△BsP=5S△ED S6m=2PE·BD,Sam=2DE·BD, 2PE·BD=5×2DEBD, 2 ∴.PE=5DE. ∴.n2-3n=5(n-3),解得n=3或n=5. .n>3,∴.n=5, .y=52-2×5-3=12, ∴.点P的坐标为(5,12) 二次函数图象中的长度、 角度和面积问题（二） 解：(1)，∠0AB=90°，∠B0A=30°，OB=4, ,0A=0B·c0s30°=2W3. .A(2V3,0) 二次函数y=-x2+bx的图象经过点A, .-(23)2+23b=0. .b=2W3. .二次函数的解析式为y=-x2+23x. 顶点C的坐标是（√3,3）. (2).∠0AB=90°，∠B0A=30°，0B=4, .AB=2. 由直线DE是二次函数y=-x2+2√3x的图 象的对称轴， 可知DE∥AB,OE=AE. -8既=7c=1 C(V3,3),.CE=3,∴.CD=2. …82 (3)根据题意，可设P(√3，n). y0B=20A=5,cB=3, Sae=20k·Ck-3y5 2 sam=20A~PE=7x25×1a1-33 2 ∴.n=± 点P的坐标为(3,2)或(5，-2) 19 中考代数题典型题专项训练 二次函数图象中的长度、 角度和面积问题（三） 解：(1)令2-x-3=0,得2-4x-12 =0, ∴.（x-6)(x+2)=0, .x1=-2,x2=6. .A(-2,0),B(6,0). 设直线I的函数表达式为y=kx+b(k≠0)， 把-20，D4,-3f代人得{9 解得 b=-1. 直线1的函数表达式为=--1， (2)如图，根据题意可知，点P与点N的坐标分 别为rm,4m-m-3）,m,-2m- N B C 1 PM=4m2-m-3=与 m2+m+3, 4 p=(-2m-小-(-42-m-3-子㎡ +m+2 分两种情况： ①当PM=3MN时，得-子m2+m+3= 3(2m+1片 解得m1=0,m2=-2(舍去). 当m=0时，m2-m-3=-3. 点P的坐标为(0，-3) ②当PM=3NP时，得-子m2+m+3= 3(-子m2+2m+2吵 20 解得m1=3,m2=-2(舍去). 当m=3时，m-m-35 点P的坐标为，》 ∴.当点N是线段PM的三等分点时，点P的 坐标为〔0，-3)或3，》 (3)直线y=-2-1与y轴交于点E, ∴.点E的坐标为(0，-1). 分两种情况：①如图，当点Q在y轴正半轴上 时，记为点Q 过点Q1作QH⊥直线l,垂足为H,则∠QHE =∠A0E=90°， .∠Q1EH=∠AE0,∴.QHE∽△AOE. 恶即，”肥 :.00元 2=1 ∴.Q1H=2HE. 又.∠Q1DH=45°，∠Q1HD=90°， ∴.∠HQ1D=∠QDH=45°. ∴.DH=QH=2HE. ∴.HE=ED. 连接CD, 点C的坐标为(0，-3)，点D的坐标为(4， -3), .CD⊥y轴. .ED=√EC+CD =√[-1-(-3)]2+42=2V5. .HE=25,QH=4√5. ∴QE=√HE2+Qf=√(2√5)2+(45)2 =10. .0Q1=QE-0E=10-1=9, 点Q1的坐标为(0,9). ②如图，当点Q在y轴负半轴上时，记为 点Q2. 过点Q2作Q2G⊥直线l,垂足为G.则∠Q2GE =∠A0E=90°， /Bx C .∠Q2EG=∠AE0, ∴.△Q2GE△A0E. ORC ·A0=0E 1 ∴.Q2G=2EG 又.∠Q2DG=45°，∠Q2CD=90°， ∴.∠DQ2G=∠Q2DG=45°. ∴.DG=Q2G=2EG. ∴.ED=EG+DG=3EG. 由①可知，ED=2√5， 3EG=25,EG=2 30,G=4 3 0,=c+0.c=2+ 00:=0B+0,=1+9-号 点Q,的坐标为0，》 点Q的坐标为(0,9)或0，-号) 二次函数图象中的长度、角度 和面积问题（四）】 解：(1)乙求得的结果不正确 由题意可知，甲求得的结果都正确， ∴图象经过点(0,0)，(1,0) .y=x(x-1). 当=方时，=×-小=≠-分 .乙求得的结果不正确. (2)二次函数图象的对称轴为x=十 2 当=生产时，函数值最小 =-（x-) 4 (3)y=（x-x1)(x-x2), .m=x1x2,n=（1-x1)(1-x2). .mn=x1x2(1-x1)(1-x2) =(x1-x1)(x2-x2) =[-(2+[-(2)°+] 0<出<<1，并结合函数y=-(-2】 +4的图象， 参考答案 可得0<-(+≤ 211 0<m≤6“x≠.0<mn<16 二次函数图象中的长度、角度 和面积问题（五） 解：(1)由题意可得抛物线对称轴为 2m5x1+3 2m ，=4 2 心+=5 联立方程组 2 4, 11 x2-1=2, 解得x1=-2,x2=4, 点A-是，B4,0. 将A-2.j代人y=- mx-4, 得m+m-4=0,解得m-多 抛物线的解析式为)子- 3x-4 (2)由(1)得抛物线对称轴为直线x= 4 由对称性可得当x=-2或？时，函数值相等。 :当a≤x≤a+2,≥号时，均有≤，心 ra≥-2， 5 a+2≤9解得-2≤a≤2 (3)如图所示，连接BC,MC. /D E 由(1)得点B(4,0)、C(0,-4), 又点D(1,-5), ∴.BC=4√2，DC=2,BD=34. .BC2 DC2 BD2, ∠BcD=90m∠50C=86=4 州21 中考代数题典型题专项训练 设直线BD的解析式为y=kx+b. 将点B(4,0)、D(1,-5)分别代入， 得+6=0：解 h=5 , k+b=-5, 620 3 :直线BD的解析式为y=了-9 3 过点M作MN⊥OE于点N,设点M (,号m-》则点0,3m-》 5 又.∠MCE=∠BDC<90°， 3m、 “CW=-4-5m+20-85 3m+ 3=3-3m. :∠BDC=∠MCE, ·tan∠MCE=tan∠BDC=M- m CN 85 33m =4, 32 解得m= 231 283.-101 m9 23,-231 二次函数图象中的长度、角度 和面积问题（六） 解：(1)顶点A(1,4), ∴.可设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4. 将点B(3,0)代入，得(3-1)2a+4=0, 解得a=-1. .抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4= -x2+2x+3. (2)OM将四边形OBAD分成面积相等的两部 分.理由如下： DE∥OA,∴.△ODA与△OEA同底等高， SAOA=S△0EA, .SAODA+S△A0M=S△0BH+S△A0M, 即S四边形OMD=S△OMB: 点M是BE的中点，.SAOME=S△oBMr .S四边形oMD=S△0Bw,即OM将四边形OBAD分 成面积相等的两部分. (3)将点P(m,n)代入抛物线y=-x2+2x+3 中，得n=-m2+2m+3. ,m+n=-1,∴.n=-m-1,代入上式，得- m-1=-m2+2m+3, 解得m1=4,m2=-1(不合题意，舍去)， ∴.点P(4,-5). 如图所示，连接CA,过点D作DQ∥CA交PC 22 的延长线于点Q,由(2)知点N为PQ的中点. Q 设直线PC的解析式为y=kx+b. 将点C(-1,0)、P(4,-5)分别代入， 得60解得伦士 ∴.直线PC的解析式为y=-x-1. 同理可得直线AC的解析式为y=2x+2. .DQ∥CA, ∴.可设直线DQ的解析式为y=2x+b. 将点D(0,3)代入，解得b=3, ∴.直线DQ的解析式为y=2x+3. 联立方程组二，1解 x=-3 ly=2x+3, 1 y=3 点-号) :点N为PQ的中点， 3+4 4 35 7 ∴.xw= 2 3,N 2、 3 即点个》 知识点8二次函数图象中的特殊 三角形、四边形（一）】 解：(1)抛物线y=x2+bx+c经过点A(0, -1),点B(4,1), 7 {6be=1解 b=-2’ lc=-1, 该抛物线的函数表达式为y=-子-1， (2).A(0,-1),B(4,1), ·.直线AB的函数表达式为y=2x-1. ∴.C(2,0) 设P,P-7-,其中0<<4 点E在直线y=之-1上，PB∥x轴，