第一章 方程组与不等式组 知识点3 分式方程的解法及其应用-【荣恒专项】2026-2027学年九年级全一册数学——代数典型题专项训练

第一章方程组与不等式组 知识点③ )分式方程的解法及其应用（一） 代数大冲关 (难度等级★) 1.（江苏南通期末)中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”.为传承优秀 传统文化，某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》 的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购 买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演义》的价格. 2.(云南昆明官渡一模)昆明圆通山动物园采用手机App购票、智能闸机验票的方式，大大缩短 了游客排队购票、验票的等待时间，平均每分钟接待游客的人数是原来的10倍，且接待5000 名游客的入园时间比原来接待600名游客的入园时间还少5分钟，求昆明圆通山动物园原来 平均每分钟接待游客的人数. 3.(云南曲靖一模)曲靖市某街道学苑社区开展爱心捐赠活动，并决定赠送一批阅读图书，用于 贫困学生的课外学习.据了解，科普书的单价比文学书的单价多8元，用12000元购买科普书 与用8000元购买文学书的本数相同，求这两类书籍的单价各是多少元， 7 中考代数题典型题专项训练 分式方程的解法及其应用（二） 代数大冲关 (难度等级★★) 1.(吉林长春一模)某商家两次购买口罩，第一次花了500000元，第二次花了770000元，两次 购买了同样数量的口罩，已知第二次购买的口罩的单价是第一次的1.4倍，且比第一次多购 进了10000个，求该商家第一次购买的口罩的单价. 2.(辽宁朝阳期末)佳佳文具店购进A、B两种笔袋，其中A种笔袋的单价比B种笔袋的单价低 10%.已知店主购进A种笔袋用了810元，购进B种笔袋用了600元，且所购进的A种笔袋的 数量比B种笔袋多20个，文具店购进A、B两种笔袋各多少个？ 3.(辽宁丹东期中)为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书.已知七、八年级学生的 捐书总数都是1800本，八年级的捐书人数比七年级多150，七年级人均捐书数量是八年级人 均捐书数量的1.5倍，求八年级的捐书人数. 8 第一章方程组与不等式组 分式方程的解法及其应用（三） 代数大冲关 (难度等级★★★) 1.(辽宁阜新模拟)节能环保的油电混合动力汽车，既可以用油产生动力行驶，也可以用电产生 动力行驶.某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油产生动力行驶，则费用为 80元；若完全用电产生动力行驶，则费用为30元.已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费 用多0.5元 (1)汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？ (2)若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元，则至少需要用电 行驶多少千米？ 2.(江苏无锡期中)为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工 会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应的奖品.现有经 费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为 4:3.当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件. (1)求一、二等奖奖品的单价： (2)若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方案？ 剩9中考代数题典型题专项训练 批发这种农产品(1000-m)箱 依题意，得m≤1000×30%，解得m≤300. 设该公司获得总利润为y元. 依题意，得y=70m+40(1000-m)=30m +40000. 30>0,∴.y随着m的增大而增大， ∴.当m=300时，y取得最大值， 此时y=30×300+40000=49000, ∴.批发这种农产品的数量为1000-300= 700(箱). 答：当该公司零售、批发这种农产品的数量 分别是300箱、700箱时，总利润最大，最大 总利润是49000元. 知识点2二元一次方程组的解法、 解的情况及其应用（一）】 1.解：由原方程组可得(3k+6)x=0. 当3k+6≠0，即k≠-2时，原方程组有唯 一一组解； 当3k+6=0,即k=-2时，原方程组有无 穷多组解， 综上所述，无论k取何值，方程组均有解，不 存在无解的情况， 2.解：设改进加工方法前用了x天，改进加工 方法后用了y天. 3x+5y=22,解得=4， 依题意，得+y=6, Iy=2 答：该合作社改进加工方法前用了4天，改 进加工方法后用了2天， 3.解：设安排x名工人制作甲配件，安排y名 工人制作乙配件 依题意，得x+y=7, 1900x=1200y, 解得x=4, 1y=3. 答：安排4名工人制作甲配件，安排3名工 人制作乙配件，才能使每天制作的甲乙配 件的个数相等。 二元一次方程组的解法、解的情况 及其应用（二）】 1.解：设有x匹大马，y匹小马，根据题意得 rx+y=100, {3x+3=10,解得{7为 ly=75. 答：有25匹大马，75匹小马. 2将30代入②，解得c=-3 将化i36代入①，化简得4a+56=31. ~看错了系数c,得到的解x三11应满足 ly=6 2 正确的方程①，.11a+6b=62 联立方程组560.62，解得6： 1b=3, ∴.a+b+c=4. 3.解：设钢笔购置了x支，笔记本购置了y本. 出题意，得0-100. 解得x=15, ly=35. .15×15=225(元)，35×5=175（元） 答：钢笔购置了15支，共225元；笔记本购 置了35本，共175元. 二元一次方程组的解法、解的情况 及其应用（三） 解：(1)设甲种货车每辆可装x吨货物，乙种 货车每辆可装y吨货物， 依题意，得代8部得子 y=3. 答：甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每 辆可装3吨货物 (2)设租用a辆甲种货车，b辆乙种货车， 依题意，得2a+3b=20, 3a=10-6 a,b均为非负整数， .b为偶数， ∴.当b=0时，a=10; 当b=2时，a=7; 当b=4时，a=4; 当b=6时，a=1. .共有4种租车方案， 方案1：租用10辆甲种货车； 方案2：租用7辆甲种货车，2辆乙种货车； 方案3：租用4辆甲种货车，4辆乙种货车； 方案4：租用1辆甲种货车，6辆乙种货车. (3)设甲种货车每辆需运费m元，租用甲种货 车n辆，则乙种货车每辆需运费1.4m元，租 用乙种货车(n-1)辆， 、依题意，得1.4m(n-1)=980,解得m三100， ln=8. ∴.1.4m=140. 答：甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每 辆需运费140元. 知识点3分式方程的解法及其应用（一）】 1.解：设每套《三国演义》的价格为x元，则每 套《西游记》的价格为(x+40)元. 由题意可得3200=2×x+40,解得x=80 经检验，x=80是原方程的解，且符合题意， 答：每套《三国演义》的价格为80元. 2.解：设昆明圆通山动物园原来平均每分钟 接待游客的人数为x,则采用智能闸机验票 的方式后平均每分钟接待游客的人数 为10x. 依题，意得600_5000 10x 5， 解得x=20. 经检验，x=20是原方程的解，且符合题意. 答：昆明圆通山动物园原来平均每分钟接 待游客的人数为20. 3.解：设文学书每本x元，则科普书每本(x+ 8)元 依题意列方程得12000_8000 x+8 解得x=16: 经检验，x=16是原方程的解，且符合题意， .x+8=24. 答：文学书每本16元，科普书每本24元. 分式方程的解法及其应用（二） 1.解：设该爱心人士第一次购买的口罩的单 价为x元，则第二次购买的口罩的单价为 1.4x元 依题意，得50000+10000=770000， 1.4x 解得x=5. 经检验，x=5是原方程的解，且符合题意， 答：该爱心人土第一次购买的口罩的单价 为5元 2.解：设文具店购进B种笔袋x个，则购进A 种笔袋(x+20)个. 由题意可得810-600(1-10%)，解得x x+20 =40. 经检验，x=40是原方程的解，且符合题意， 则x+20=60. 答：文具店购进A种笔袋60个，购进B种 笔袋40个， 3.解：设八年级捐书的学生有x人，则七年级 捐书的学生有(x-150)人. 由题意可得1800 1.5=1800 x-150 解得x=450. 经检验，x=450是原方程的解，且符合 题意 答：八年级的捐书人数是450人. 分式方程的解法及其应用（三） 1.解：(1)设汽车行驶中每千米用电费用为x 参考答案 元，则每千米用油费用为(x+0.5)元. 由题意可得 80.-30,解得x=0.3. +0.5= 经检验，x=0.3是原方程的解，且符合题 意，则30÷x=100. 答：汽车行驶中每千米用电费用是0.3元， 甲、乙两地的距离是100千米， (2)由(1)可知汽车行驶中每千米用油费用 为0.3+0.5=0.8（元）. 设汽车用电行驶y千米 由题意可得0.3y+0.8(100-y)≤50， 解得y≥60. 答：至少需要用电行驶60千米 2.解：(1)设一等奖奖品的单价为4x元，则二 等奖奖品的单价为3x元. 依题意，得0+1275-600=25， 4x 3x 解得x=15. 经检验，x=15是原方程的解，且符合题意. ∴.4x=60,3x=45. 答：一等奖奖品的单价为60元，二等奖奖品 的单价为45元. （2)设购买一等奖奖品m件，二等奖奖品 n件. 依题意，得60m+45n=1275, n=85-4m 3 .m,n均为正整数，且4≤m≤10， 名9 .共有3种购买方案： 方案1：购买4件一等奖奖品，23件二等奖 奖品； 方案2：购买7件一等奖奖品，19件二等奖 奖品； 方案3：购买10件一等奖奖品，15件二等奖 奖品. 知识点4一元二次方程的解法、 判别式与应用（一） 1.解：解不等式5(a-2)+8<6(a-1)+7, 得a>-3, ∴.最小整数解为-2. 将a=-2代入方程x2+2ax+a+1=0, 得x2-4x-1=0. 配方，得(x-2)2=5. 直接开平方，得x-2=±√5， 解得x1=2+√5，x2=2-5. 2.解：(1)根据题意，得△=（2m)2-4(m2+ 州3