第三章 分式 知识点8 分式方程的应用-【荣恒专项】2026-2027学年八年级全一册数学——代数典型题专项训练

第三章 分式 知识点8分式方程的应用 ⊙知识点提炼： 分式方程应用解题的一般步骤：①审②设③列④解⑤验⑥答. 代数大冲关1 1.第5代移动通信技术简称5G,某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度 的15倍，小英和小芳分别用5G与4G下载一部900兆的纪录片，小英比小芳所用的时间 少210秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？ 2.大理以其秀丽的自然风光、丰富的文物古迹、浓厚的民族风情深深吸引了无数中外游客.王 华和李强同住一个小区，假期相约一起去大理游玩.已知从他们小区到大理的乘车距离约为 500km,王华乘大巴车出发5小时后，李强开轿车出发，最后他们同时到达目的地.已知轿车 的速度是大巴车速度的2倍，求轿车的速度 3.截至2025年8月，中国高速公路总里程达18.3万千米，形成“东部密集、西部崛起、全国联 通”的立体网络.已知甲、乙两地之间的国道全长为220km,经过改修高速公路后，长度减少 了20km,高速公路通车后，一辆长途汽车的高速行驶速度比国道行驶速度提高了45k/h, 从甲地到乙地的行驶时间减少了一半. (1)求该长途汽车在国道上行驶的速度； (2)若该高速公路规定长途汽车限速80km/h,那么该长途汽车从甲地到乙地是否超速？ N41 八年级代数题典型题专项训练 代数大冲关2 (难度等级★★★) 1.某学校新购进一批体育器材，需用九年级两个班级的学生整理体育器材，已知一班单独整理 需要30分钟完成，如果一班与二班共同整理15分钟后，一班另有任务需要离开，剩余工作 由二班单独整理15分钟才完成，求二班单独整理这批体育器材需要多少分钟？ 2.市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成.已知甲队的工作效率是乙 队工作效率的)倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天。 (1)甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？ (2)若甲队工作一天需付费用3万元，乙队工作一天需付费用2.4万元，若需改造的道路全 长900米，改造总费用不超过63万元，至少安排甲队工作多少天？ 3.(贵州市贵阳市云岗区模拟)我区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，从投 标书中得知有三种方案. A方案：甲队单独完成这项工程，刚好如期完成； B方案：乙队单独完成这项工程需要的时间是规定时间的2倍； C方案：**********，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完成。 已知，一个同学按照C方案，设规定的工期为x天，根据题意列出方程：4(1+，)+*24=1. x 2x 2x (1)根据所列方程，C方案中“*****米****”部分描述的已知条件应该 是： (2)从投标书中得知，甲工程队每施工一天所需费用1.1万元，乙工程队每施工一天所需费 用0.5万元，请你在如期完成的两种方案中，判断哪种方案更省钱，说明理由， 42 第三章 分式 代数大冲关3 (难度等级★★★) 1.倡导健康生活推进全民健身，某社区去年购进A,B两种健身器材若干件，经了解，其中B种 健身器材的单价是A种健身器材的1.5倍.用6000元购买A种健身器材比用3600元购买 B种健身器材多15件，A,B两种健身器材的单价分别是多少元？ 2.(山东省济南市商河县期末)某地有甲、乙两个口罩厂，已知甲厂每天能生产口罩的数量是 乙厂每天能生产口罩数量的1.5倍，并且乙厂单独完成24万只口罩的生产比甲厂单独完成 24万只口罩的生产多用2天. (1)求甲、乙两厂每天分别可以生产多少万只口罩？ (2)疫情期间需甲、乙两厂尽快完成100万只口罩的生产任务，两厂同时生产至少需要多少 天才能完成生产任务？ 3.为打造绿色生态公园，白天鹅公园二期扩建中购买了甲、乙两种树苗.已知一棵甲种树苗比 一棵乙种树苗贵2元，购买甲种树苗的费用和购买乙种树苗的费用分别是7000元 和5000元. (1)若两种树苗购买的棵数一样多，求甲种树苗的单价； (2)若两种树苗共购买2200棵，且购买两种树苗的总费用不超过12000元，根据(1)中两种 树苗的单价，求乙种树苗至少购买多少棵 N43八年级代数题典型题专项训练 ax +2 (x-1)(x+2)无解， .x=1或x=-2 ∴.当x=1时，a+2+3=0,即a=-5. 当x=-2时，-2(a+2)+3=0, 即a=2 当a+2=0时，方程变为3=0，不成立. ∴.a=-2时，方程也无解 六a=-5或-2或-2时方程无解。 代数大冲关3 1.解：(1)k=3时，方程为32=32x 3 两边同乘以(x-3),得x-2(x-3)=-3, 解得x=9, 经检验x=9是原方程的根， ∴.原分式方程的解为x=9; (223-2=3 两边同乘以(x-3),得x-2(x-3)=-k, 解得x=6+k, 原方程的解是正数，∴.6+k>0.∴.k>-6. x≠3，.6+k≠3..k≠-3 .k>-6且k≠-3. 2.解：分式方程两边同乘x-1, 得m-2-3=x-1,解得x=m-4. 方程的解是非负数，∴.m-4≥0. 解得m≥4； 又.x-1≠0，即x≠1，.m-4≠1，.m≠5 综上m的取值范围为m≥4且m≠5. 3.解：去分母，得2(x-1)+3(x+1)=m, 解得x=m-I 5 116* 原方程的解为正数，.x>0且x≠1， 即"；>0且"；1 ∴.m>1且m≠6. 4.解：方程两边同乘(x+1)(x-1), 去分母并整理得(9-m)x=-3, (1)原分式方程有增根， ∴.(x+1)(x-1)=0.解得x=-1或x=1 当x=-1时，m=6;当x=1时，m=12; 综上可知，m=6或12； (2)当9-m=0时，该方程无解，此时 m=9; 当9-m≠0时，要使原方程无解，由(1)得 m=6或m=12, 综上，m的值为9或6或12； (3):方程的解为正数，…x=3 、9>0, ∴.m>9且m≠12； (4).方程的解为整数， ∴.m-9=±3或m-9=±1， .∴.m=12,m=6,m=10,m=8, ·当m=12或m=6时，原方程无解， .∴.m=10或m=8. 知识点8分式方程的应用 代数大冲关1 1.解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则 该地5G的下载速度是每秒15x兆. 依题意得90-0-210，解得x=4 经检验x=4是原方程的解，且符合题意， ∴.15x=15×4=60. 答：该地4G的下载速度是每秒4兆，5G的 下载速度是每秒60兆 2.解：设大巴车的速度为xkm/h,则轿车的 速度为2xkm/h, 由题意得500_500=5，解得x=50, x 2x 经检验x=50是原方程的解， 则2x=100, 答：轿车的速度为100km/h. 3.解：(1)设该长途汽车在国道上行驶的速 度为xkm/h, 根据题意得20×1-220-20 -X 2 x+45’ 解得x=55, 经检验x=55是原分式方程的解， 答：该长途汽车在国道上行驶的速度 为55km/h; (2).x+45=55+45=100>80, ∴.该长途汽车从甲地到乙地超速 代数大冲关2 1.解：设二班单独整理这批器材需要x分钟. 依题意得15(0+中+15·士1， 解得x=60, 经检验x=60是原分式方程的解，且符合 题意， 答：二班单独整理这批器材需要60分钟. 2.解：(1)设乙工程队每天能改造道路x米， 则甲工程队每天能政造道路了米。 依题意，得360_360=4，解得x=30, 3 经检验x=30是分式方程的解，且符合题意， 3 2x=45. 参考答案与解析 答：甲工程队每天能改造道路45米，乙工 程队每天能改造道路30米： (2)设安排甲队工作m天，则安排乙队工 作90045m天， 30 依题意，得3m+2.4×900-45m≤63， 30 解得m≥15， 答：至少安排甲队工作15天 3.解：(1)甲、乙两队合作4天后； (2)方程4(+分)+“2=1，解得x=8, 2x 经检验x=8是原分式方程的解， .规定的工期为8天 如期完成的两种施工方案是A方案和C 方案，需要的费用分别为 A方案：1.1×8=8.8（万元）； C方案：4×1.1+8×0.5=8.4（万元）， …8.8>8.4 ∴.C方案更省钱。 代数大冲关3 1.解：设A种型号健身器材的单价为x元/件， B种型号健身器材的单价为1.5x元/件. 根据题意得6000_3600=15. x1.5x 解得x=240. 经检验x=240是原方程的解，且符合题意. 则1.5×240=360（元） 答：A种型号健身器材的单价为240元，B 种型号健身器材的单价为360元 2.解：(1)设乙厂每天能生产口罩x万只，则 甲厂每天能生产口罩1.5x万只. 依题意得42头-2解得=4 N117 八年级代数题典型题专项训练 经检验x=4是原方程的解，且符合题意. .1.5x=6. 答：甲厂每天能生产口罩6万只，乙厂每天 能生产口罩4万只： (2)设两厂同时生产需要y天才能完成生 产任务， 由题意得(6+4)y≥100， 解得y≥10， 答：两厂同时生产至少需要10天才能完成 生产任务 3.解：(1)设甲种树苗的单价为x元，则乙种 树苗的单价为(x-2)元 依题意得7000-5000 2解得x=7 经检验x=7是原方程的解，且符合题意. 答：甲种树苗的单价为7元； (2)由(1)可知：乙种树苗的单价为7- 2=5(元). 设购买乙种树苗m棵，则购买甲种树苗 (2200-m)棵 依题意得7(2200-m)+5m≤12000， 解得m≥1700. 答：乙种树苗至少购买1700棵. 第四章二次根式 知识点1二次根式的概念 代数大冲关1 1.【答案】A 【解析】3一定是二次根式： 当m<0时，√m不是二次根式： 对于任意的数x,x2+1>0,则√x2+1一定 是二次根式； 118* 4是三次方根，不是二次根式： -m2-1<0,则√-m2-1不是二次根式； 9是二次根式： 当a<2时，2a+1可能小于0，不是二次 根式 2.【答案】C 【解析】解分式方程，去分母得， x+a+1=-x+2,解得x=0 2 “关于的分式方程，x,-+1=-1有 x-22-x 正数解， 120>0a<1 又x=2是增根，当x=2时，2=2，即 a=-3,∴.a≠-3. 5+0有意义，.5+a≥0，-a>0. √/-a ∴.-5≤a<0. 因此-5≤a<0且a≠-3， a为整数， .a可以为-5，-4，-2，-1，其和为-12 3.【答案】x≥-1且x≠1 【解析】由题意得x+1≥0且x-1≠0， 解得x≥-1且x≠1. 4.【答案】-3≤x<且x≠-2 【解铜1若款式马2 1 有意义， x+3≥0， 必有11-20，解得-3≤<2且x≠-2 1-2x>0,