第三章 分式 知识点3 分式的加减-【荣恒专项】2026-2027学年八年级全一册数学——代数典型题专项训练

代数大冲关2 1.解：原式=x+1)(x-1).1 (x+2)2 x+1 (x+1)(x+2) x-1 =*+l x+2 ,2(x+1)=2 之解：原式三x+1)-1）"x》= 观察原式，x≠±1，x≠0. 使2为整数x可以取2.也可以取-2 当x=2时，原式=1； 当x=-2时，原式=-1. 3.解：(1)0-1÷a2-2a+1 a =a-1.a2 a(a-1)2 a (2)B的值比A的值相比变小了. 理由如下：B-A=a+1-a=a2-1-a aa-1-a(a-1) 1 =-a(a-1)' 当a>1时，a(a-1)>0, 1 -a(a-1)<0, .B<A, ∴.B的值比A的值相比变小了. 4.解：由题意，得(a+b)2=49,(a-b)2=1, a>0,b>0,a>b, ∴.(a+b)2-(a-b)2=48,a+b=7. .a2+2ab+b2-a2+2ab-b2=48. .∴.ab=12 参考答案与解析 .原式=(a2+b)(a+b)(a-b)×。+b ab 1 `6(a-b) =ab(a+b)_12x×7=14. 6 6 知识点3分式的加减 代数大冲关1 1.【答案】C 【解析】由题意，得M=1,-26 a-b a2-b2 a+b 2b =(a-b)(a+b)(a-b)(a+b) a-b =(a-b)(a+b) 1 = a+b 2.【答案】A 【解析】原式=a-(a-1)(a+1) a-1 =02-a2+1 a-1 1 a-1 3.【答案】 ②8，(b+a)(b-a) 【解析】·两个分式分母不同， .经历路径为② 根据路径②计算如下： b 1 原式=(b+a)(b-a)6+a b b-a =(b+a)(b-a)(b+a)(b-a)' =(b+a)(b-a)' ∴.原式为最简分式，再经过路径③得出结果 N107 八年级代数题典型题专项训练 4.【答案】= 【解析】ab=1, .'.P=-a b -a+1b+1 =-a b =a+ab *b+ab 1,1 =6+i+a+1 1 -a+1+b+1=0 则P=Q 5.【答案】5,1 【解析】由已知，得 x+3 A B(x-2) (x-2)2(x-2)2+(x-2)2 ∴.x+3=A+B(x-2), x+3=A+Bx-2B, x+3=Bx+A-2B. .B=1,A-2B=3.∴.A=5. 6.【答案】1 x+5 A B 【解析】“(x+i)x-3)x+1+x-3 =A(x-3)+B(x+1)-Ax-3A+Bx+B （x+1)(x-3) （x+1)(x-3) =（A+B)x+B-3A （x+1)(x-3) A+B=1,A=-1, B-3A=51B=2 .A+B=-1+2=1. 7.【答案】-3 【解析】 原式=只+只++++ c a c a a+c:b+catb a c .∵a+b+c=0, 108◆ ..a+c=-b,a+b=-c,b+c=-a. 原式=++ a =-1-1-1=-3. 代数大冲关2 1.解：上面的解答过程错误， 从第①步开始出错， 正确解法为 m+1、m2 m-1, =（m+1)(m-1)。m2 m-1 m-1 -m2-1-m2 m-1 -1 m-1 2.解：任务一：①答案为三，分式的基本性质， 分式的分子和分母同时乘（或除以）同一 个不为零的数，分式的值不变； ②答案为五；去括号时，括号前面是“-” 号，去括号后，括号里的第二项没有变号； 任务二：原式=（x+3)(x-3)_2x+1 (x+3)2 2(x+3) =x-3 2x+1 Γx+32(x+3) } =2x-6-(2x+1) 2(x+3) =2x-6-2x-1 2(x+3) 7 2x+6 任务三：答案不唯一，如：最后结果应化为 最简分式或整式；约分，通分时，应根据分 式的基本性质进行变形；分式化简不能与 解分式方程混淆等 代数大冲关3 1.解：2 2,2x-18 一十 +33-xx2-9 2(x-3) 2(x+3) (x+3)(x-3) +(x-3)(x+3) 2x-18 (x+3)(x-3) -2x-6+2x+6+2x-18 (x+3)(x-3) 6x-18 =(x+3)(x-3) 6(x-3) 1 (x+3)(x-3) 6 x+3 “5为整数。 ∴.x+3为6的因数，则x+3=±1或±2或 ±3或±6且x≠±3. ∴.x=-9或-6或-5或-4或-2或-1 或0. 故所有符合条件的x的值的和为-9+ (-6)+(-5)+(-4)+(-2)+(-1)+ 0=-27 2.解：(1)3+m=3(x++m x+1-x+1x+1 3x+3+m3x-2 x+1x+1’ .3+m=-2..m=-5. 故答案为-5； (2a-229a+3-2+22 2a-1-2a-1 (3)令A=20+3x-3_2x2+3x-5+2 x-1 x-1 参考答案与解析 =（x-1)(2x+5)+2 x-1 =（x-1)(2x+5)+2 x-1 x-1 2 =2x+5+ x-1 :当x为整数时，4也为整数，即己也必 为整数， ∴.x-1=±1或±2，解得x=0,2,-1或3. 又分式要有意义， ∴.x-1≠0，即x≠1， ∴.满足条件的x值为-1、0、2、3， ∴.满足条件的所有x值的和为-1+0+2 +3=4. 3解：(1)由1×5=1-2时×写号 ;×好-兮子好×写}-有…可知 它的银作等式为×日中 n (2)1-1=m+1 nn+1n(n+1)-n(n+1)= 1-1.1 n(n+1)-nn+1' .原式成立； (3) 1 1 x(x+1）+(x+1)(x+2)+ 1 (x+2)(x+3)+(x+3)(x+4) =1-1,+1,-1。+1。-1。 =衣x+1+x+1x+2+x+2x+3+ 11 x+3x+4 =1.1 xx+4 4N109 八年级代数题典型题专项训练 =x+4 x(x+4)x(x+4) 4 =2+4x 知识点4分式的化简求值 代数大冲关1 1.解：原式=(a-2》 +÷3-(a+1）(a-1）7 a+1 a+1 =(a-2)24-a a+1a+1 =(2-a)2 a+1 a+1(2+a)(2-a) =2-a a+2 当a=5时， 原武号3号 7 24,2x4 2.解：7+4x+4 （x+2-x+2) =（x+2)(x-2）÷2x-4-（x-2)(x+2） （x+2)2 x+2 =*-2 x+2 x+22x-4-x2+4 =x-2 x(2-x) .x(2-x)≠0，x+2≠0， x≠0，x≠±2.∴.x=3. 当=3时原式=分 3:原式=+ [(x-1)(x+2)-x2-2 x-1 x-1 =+23 110◆ =+2, x-1x-1 =x+2.x-1 x-1x =x+2 4(2x-1)≤3x+6, 由 2x+1>x-1 解得-1<x≤2， 2 x是整数，∴.x=0,1,2. 由分式有意义的条件可知：x不能取0,1， 故x=2, 原式-22=2 2 代数大冲关2 1.解：(m+3 -,m-1）÷m-9 m2-3mm2-6m+9 m =[m+3-m-1 m(m-3)(m-]m"g m-9 =（m+3)(m-3)-m(m-1).m m(m-3)2 m-9 m-9 、_m m(m-3)2m-9 1 (m-3)2 .m满足(m-9)(m+1)=0, .m-9=0或m+1=0. .m=9或-1. .m(m-3)≠0，m-9≠0，m≠0， .m不能为0,3,9. ∴.m只能为-1. 当m=-1时，原式=(-1-3)2=16 1八年级代数题典型题专项训练 知识点③分式的加减 知识点提炼： 同分母分式相加减：是±名-“生：异分母分式相加减：号±分册+怎 c ad be ad±bc bd 代数大冲关1 (难度等级★★) 1化简，+M的结果为。6则V为 () A、1 ·a-b B.a a-b C.、1 a+b D.a a+b 2化筒，-a-1的结果是 () A.1 C.2a-1 D.-2a-1 "a-1 B.、1 a-1 a-1 a-1 3(北京市装山区期未)依据如图所示的流程图计算分。~+。需要经历的路径 是 (只填写序号)，输出的运算结果是 两个分式 相减 ① ② 判断分母是否相同一 是 交 分母不变， 分子相减 ③ 判断是否为最简 ④ 是 分式或整式 否 结果 约分 4.比大小：若a,b为实数，且ab=1,设P= a+1+6+4,0= b a+1+6+7,则p 1 0. 5.已知，x+3 A 一2)2x2)2+2则常数A=B= 6(四时省成起)已知：+”-4+月则A+日的值为 7已知a+6+c=0,ac0,那么a(公+之)+6（日+）+e(合+分)的值为 c a 28 第三章 分式 代数大冲关2 (难度等级★★★) 1.下面是某同学完成某小题的过程 m+1、m2 m-1=(m+1)(m-1)-m2…① =m2-1-m2.…② =-1…③ 上面的解题过程 （填“正确”或“错误”)；如果正确，请写出每一步的依据；如果有 错，请写出从第几步开始出错，并写出正确的解题过程。 2.(山西省中考)下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务。 x2-92x+1 x2+6x+92x+6 =（x+3)(x-3)2x+1 第一步 (x+3)2 2(x+3) =x-3_2x+1 Γx+32(x+3) 第二步 2(x-3)2x+1 第三步 Γ2(x+3)2(x+3) =2x-6-(2x+1) 第四步 2(x+3) =2x-6-2x+1 第五步 2(x+3) 5 =-2x+6 第六步 任务一：填空：①以上化简步骤中，第步是进行分式的通分，通分的依据是 或 (要填的两个依据中只需填一个)； ②第■ 步开始出现错误，这一步错误的原因是 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给 其他同学提一条建议， N29 八年级代数题典型题专项训练 代数大冲关3 (难度等级★★★) 1.已知x为整数，且2。-，2+-18为整数，求所有符合条件的x的值的总和 x+33-xx2-9 2.(江苏省苏州市期末)如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式和的形式，则 称这个分式为和腊分式如出-《：》2=1+子所以是和谐分式”清运 x-1x-1 用这个知识完成下面各题： 、（1已知3x-2=3+十则m: x+1 (2)将“和请分式8北成一个垫式与-个分f为常数的分式的和的形式： (3)当x为整数时，若2x+3x-3也为整数，求满足条件的所有x值的和 x-1 3.已知下面一列等式： 131-×分-号写好-写好×写-子-方 (1)请你按这些等式左边的结构特征写出它的一般性等式； (2)验证一下你写出的等式是否成立； 1 1 (3)利用等式计算：xx+1)+(x+1)(x+2)+(x+2)(x+3)+(x+3)(x+4) 30*