第二章 因式分解 知识点4 因式分解的应用-【荣恒专项】2026-2027学年八年级全一册数学——代数典型题专项训练

知识点④因式分解的应用 ⊙知识点提炼： 认真审题，因式分解解决问题. 代数大冲关1 (难度等级★★) 1.已知a=2025x+2024,b=2025x+2025,c=2025x+2026,则代数式a2+b2+c2-ab-ac-bc 的值为 () A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知a,b,c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0,则△ABC的形状 为 3.试说明：对于任意自然数n,代数式n(n+7)-n(n-5)+6的值都能被6整除。 4.已知248-1可以被60和70之间某两个整数整除，求这两个整数. 5.（重庆市渝北中学月考)已知a,b,c为△ABC的三边，且满足a2+2b2+c2-2b(a+c)=0,试判断此 三角形的形状 20 第二章 因式分解 代数大冲关2 (难度等级★★★) 1.(北京师大附属实验中学期中)数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对 很多数学问题进行直观推导和解释.如图1，有足够多的A类、C类正方形卡片和B类长方 形卡片.用若干张A类、B类、C类卡片可以拼出如图2的长方形，通过计算面积可以解释因 式分解：2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b) (1)若解释因式分解3a2+4ab+b2=(a+b)(3a+b),需取A类、B类、C类卡片若干张（三 种卡片都要取到)，拼成一个长方形，请画出相应的图形； (2)若取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，使其面积 为5a2+mab+b2,则m的值为 将此多项式分解因式为 (3)有3张A类，4张B类，5张C类卡片，从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取 出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长 为 A类 B类 C类 图1 图2 4N21 2.阅读材料并回答问题：如图，有足够多的边长为α的小正方形卡片(A类)、长为b宽为a的 长方形卡片(B类)以及边长为b的大正方形卡片(C类)，发现利用图①中的三种卡片各若 干可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图②可以解释为(a+2b)(a+b)= a2+3ab+2b2 e A类 B类 C类 图① 图② (1)取图①中卡片若干张(A,B,C三种卡片都要取到)拼成一个长方形，使其面积 为(2a+b)(a+2b),在虚框I中画出图形，并根据图形回答(2a+b)(a+2b)= (2)取图①中卡片若干张(A,B,C三种卡片都要取到)拼成一个长方形，使其面积 为a2+5ab+6b2 ①你的图中需要A类、B类、C类卡片共 张 ②根据图形，可将多项式a2+5ab+6b2分解因式为 (3)试在虚框Ⅱ中画出一个几何图形，结合面积表示，把多项式b2+3ab+2a2因式分解， 22 第二章因式分解 代数大冲关3 (难度等级★★★) 1.（浙江省杭州市西湖区月考)先阅读下列解答过程，再解题. 例：已知多项式2x3-x2+m有一个因式是2x+1,求m的值. 解法一：设2x3-x2+m=(2x+1)(x2+ax+b), 则2x3-x2+m=2x3+(2a+1)x2+(a+2b)x+b, a=-1, 2a+1=-1, 比较系数得 a+2b=0,解得 6=2m 2 b=m, m=2’ 解法二：设2x3-x2+m=A·(2x+1)(A为整式) 由于上式为恒等式，为了方便计算取x:一分， 2×(-2产-(-22+m=0,故m=2 (1)已知多项式2x3-2x2+m有一个因式是x+2,求m的值： (2)已知x4+mx3+nx-16有因式(x-1)和(x-2),求m,n的值. 2.已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解以后有一个因式为(3x-2),试求m的值并将多 项式因式分解， N23(2)3x2-y-2y2-x+y =(3x2-xy-2y2)-(x-y) =(3x+2y)(x-y)-(x-y) =(x-y)(3x+2y-1); (3)2x3-2x2y+8y-8x =2x2(x-y）-8(x-y） =2(x-y）·x2-2(x-y）)×4 =2(x-y)(x2-4) =2(x-y)(x+2)(x-2); (4)x3+3x2y-4x-12 =(x3+3x2y）-(4x+12y) =x2(x+3y）-4(x+3y) =(x+3y)(x2-4)》 =(x+3y)(x+2)(x-2); (5)x2-2x-4y-4y2 =(x2-4y2)-(2x+4y) =(x+2y)(x-2y)-2(x+2y) =(x+2y)(x-2y-2); (6)5x2+6y-15x-2y =(5x2-15x)-(2y-6y） =5x(x-3)-2y(x-3) =(x-3)(5x-2y); (7)3x2-6y+3y2-27m =3(x2-2y+y2-9m2) =3[(x-y)2-(3m)2] =3(x-y+3m)(x-y-3m): (8)a2-2a+b2-2b+2ab+1 =(a2+2ab+b2)-(2a+2b)+1 =(a+b)2-2(a+b)+1 =(a+b-1)2; (9)通过观察本多项式，由2个4次单项 式，3个3次单项式，1个2次单项式组成， 参考答案与解析 把次数相近的分成一组. a"bc abed bc ab2 -ac2 c2d (a2bc abcd)+(bc-ab2)-(ac2 +c2d) =abe(a+d)+b(c-ab)-c2(a+d) =c(a+d)(ab-c)+b(c-ab) =(ab-c)[c(a+d)-b] =(ab-c)(ac+cd-b); (10)(a+b)(a+b-4)-c2+4 =(a+b)2-4(a+b)+4-c2 =(a+b-2)2-c2 =(a+b-2-c)(a+b-2+c). 知识点4因式分解的应用 代数大冲关1 1.【答案】D 【解析】a=2025x+2024,b=2025x+ 2025,c=2025x+2026, .∴.a-b=-1,b-c=-1,c-a=2, .'a2+b2+c2-ab-ac-bc =2(a2+b2+c2-ab-ac-bc）÷2 =(2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc)÷2 =[(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+ (c2-2ac+a2)]÷2 =[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]÷2 =[(-1)2+(-1)2+22]÷2 =6÷2 =3. 2.【答案】等边三角形 【解析】：a2+b2+c2-ab-bc-ac=0, .2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0, a2+b2-2ab+b2+c2-2bc+a2+c2-2ac=0. ∴.(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0 4N103 八年级代数题典型题专项训练 ∴.a-b=0,b-c=0,c-a=0. ∴.a=b=c ∴.△ABC为等边三角形 3.解：.n(n+7)-n(n-5)+6 =n2+7n-n2+5n+6 =12n+6 =6(2n+1), ∴.对于任意自然数n,代数式n(n+7)- n(n-5)+6的值都能被6整除。 4.解：.248-1 =(224+1)(224-1) =(224+1)(212+1)(212-1) =(224+1)(212+1)(26+1)(26-1) =(224+1)(212+1)×65×63, .28-1可以被60和70之间某两个整数 整除，这两个整数是63和65. 5.解：'a2+2b2+c2-2b(a+c)=0, .a2+2b2+c2-2ab-2bc=0. .a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=0. .∴.(a-b)2+(b-c)2=0. ∴.a=b,b=c. ..a=b=c. ∴.△ABC是等边三角形. 代数大冲关2 1.解：(1)如图所示： aaa b (2)6,(5a+b)(a+b): (3)a+2b. 104◆ 2.解：(1)如图： 2a2+5ab+2b2 (2)①12； ②(a+2b)(a+3b); (3)根据b2+3ab+2a2可知需要A类卡片 2个，B类卡片3个，C类卡片1个， 拼出的图形如下： 由图象可知b2+3ab+2a2=(b+a)(b+2a). 代数大冲关3 1.解：(1)多项式2x3-2x2+m有一个因式 是x+2, .设2x3-2x2+m=A·(x+2)(A为整式) 由于上式为恒等式，为方便计算取x=-2, 2×(-2)3-2×(-2)2+m=0,故m=24: (2).·x4+mx3+nx-16有因式(x-1) 和(x-2), .设x+mx3+nx-16=A·(x-1)(x-2) (A为整式) 由于上式为恒等式，为方便计算取x=2和 x=1,代入得24+m×2+2n-16=0,14+ m×13+n-16=0, 解得m=-5,n=20. 2.解：，x的多项式3x2+x+m分解因式后 有一个因式是3x-2, 当=号时多项式的值为0， 即3×号+号+m=0, ∴.2+m=0.∴.m=-2. .3x2+x+m=3x2+x-2 =(x+1)(3x-2) 第三章分式 知识点1分式的基本概念 代数大冲关1 1.【答案】C 【解析】根据题意得x-4≠0，则x≠4. 2.【答案】C 【解析】当x=1时，分式无意义， ∴.排除A,B两个选项 .x=-1时，y=-1, 代入C,D时，只有分式+3 =-1. x-1 3.【答案】x≠1 【解析】由题意得x-1≠0，解得x≠1. 4.【答案】x≠0且x≠1 【解析】由题意得x(x-1)≠0， 解得x≠0且x≠1. 5.【答案】x=0 【解析】：分式2+1在实数范围内无 意义，x=0 6.【答案】 +答案不唯-） 【解析】·无论字母x取何值，x2+1>0, 2+1≠0.小2+1 1是一个分式，并无论 字母x取何值分式均有意义， 参考答案与解析 1 7.解：2-2x+m=(2-2x+1)+m-1 1 (x-1)2+m-1 由题意知无论x取何值，（x2-2x+1)+m -1=(x-1)2+(m-1)都不等于0， 所以m-1>0,因此m>1. 代数大冲关2 1.【答案】c 【解 】人公=号于号故A不符合题意 B8牛号号放B不符合题意 C分=台故C符合题意 D乐+片故D不符合图盒 2.【答案】C 【解析】A选项，分式没有这样的性质， 故该选项不符合题意； B选项，题中没有说c≠0，故该选项不符合 题意； C选项，bc≠0，∴.c≠0，故该选项符合题意； D选项，分式没有这样的性质，故该选项不 符合题意 3.【答案】x≠-1 【解折】州-号+140解 得x≠-1. 4.【答案】 4x+20 5x-10 【解析】 0.4x+2_10(0.4x+2） 0.5x-i=10(0.5x-1) 4x+20 5x-10 N105