2026—2027学年人教版九年级数学第一学期国庆自主练习卷3（内容：第25章一元二次方程第26章二次函数）

2026——2027学年九年级数学第一学期 国庆学生自主练习卷3（内容：第25章一元二次方程第26章二次函数） 一、单选题(共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中，二次函数是（    ） A．y＝﹣3x+5 B．y＝x（4x﹣3） C．y＝2（x+4）2﹣2x2 D．y＝ 【答案】B 【详解】解：A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B．是二次函数，故本选项符合题意； C．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； D．不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得， 整理后得， 故选择D． 3．已知关于的一元二次方程，若方程有一个实数根是3，则的值为（   ） A．3 B． C． D．1 【答案】C 【详解】解：关于x的方程的一个根为3， 把，代入方程，得 ， 解得：， 故选：C． 4．关于二次函数，下列结论不正确的是(   ) A．开口向上 B．时，随的增大而减小 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 【答案】B 【详解】解：二次函数， ，该函数图象开口向上，故选项A正确，不符合题意； 抛物线的对称轴是直线， 时，随的增大而减小，故选项B错误，符合题意；选项C正确，不符合题意； 顶点坐标为，故选项D正确，不符合题意． 故选：B． 5．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，， 解得：且， 故选：A． 6．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵的图象向左平移2个单位， ∴得． ∵再向下平移2个单位， ∴得． 7．在平面直角坐标系中，点都在二次函数的图象上．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：二次函数的开口向上、对称轴为， 二次函数图象上的点到对称轴的距离越近值越小， 点都在二次函数的图像上， 当时，则，即，解得， 故选：D． 8．【新情境·古代文化】《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作．其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？”设矩形田地的长为x步，则下列说法正确的是（   ） A．由题意可列方程 B．由题意可列方程 C． D．长比宽多6步 【答案】D 【详解】解：设矩形田地的长为步，则宽为步． ∵面积为891平方步， ∴． 整理得． 解得，． 当时，宽为，长比宽多步； 当时，宽为，长小于宽，不符合题意，舍去． 选项A中方程错误，应为； 选项B中方程错误，应为； 选项C中不正确，实际为33； 选项D正确，长比宽多6步． 故选：D． 9．某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：水面宽为， 的横坐标为， 把代入， 得：， ， 此时拱顶到水面的距离为， 故选：B． 10．如图，二次函数的图象与x轴负半轴交于点，对称轴为直线．有以下结论：①；②；③若点，，均在函数图象上，则；④；其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：由所给函数图象可知， ，，， 则．故①正确． 当时，函数值大于零， 则．故②正确． ∵抛物线的开口向上， ∴抛物线上的点，离对称轴越远的点，其函数值越大． ∵，，，且， ∴．故③正确． ∵抛物线经过点， ∴， 即． 又因为抛物线的对称轴为直线， ∴， 则， ∴， 即．故④正确． 故选：D． 二、填空题(共5小题，每小题4分，共20分） 11．一个三角形的两边长分别为3和5，第三边的长为一元二次方程的一个根，则第三边的长为________． 【答案】6 【详解】解：， 解得：，， ①三角形的三边为3，5，2时， ∵， ∴不可以组成三角形； ②三角形的三边为3，5，6时， ∵， ∴可以组成三角形，即三角形的周长是； 综上，这个三角形的第三边长为6． 故答案为：6． 12．若点，均在抛物线上，则该抛物线的对称轴为直线________． 【答案】2 【详解】解：∵点和点的纵坐标相等， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 13．2024年10月，在华东师范大学附属贵阳学校第六届“追梦奥运，超越自我”为主题的体育节运动会上，九年级举行篮球比赛，赛制为单循环赛，即每一个球队都和其他的球队进行一场比赛，已知共举行了45场比赛，那么参加比赛的球队共有________个． 【答案】10 【详解】解：设参加比赛的球队共有x个，则总共进行了场比赛， 由题意得：， 解得：（舍去）， 即参加比赛的球队共有10个． 故答案为：10． 14．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“ 甲流 ”初期，有 1 人感染了“ 甲流病毒 ”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有 225 人感染了“ 甲流病毒 ”，则每轮传染中平均一个人传染了 ____ 人． 【答案】14 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了人， 根据题意，得 ， 整理得：， 解得，， 因为传染人数不能为负数，所以舍去，． ∴每轮传染中平均一个人传染了人． 15．有四组一元二次方程：①和；②和；③和；④和． 这四组方程具有共同特征，我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“关系方程”． 请写出一个有两个不相等实数根但没有“关系方程”的一元二次方程：____________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：根据题中“关系方程”的特征可知：形如和这样的一元二次方程互为“关系方程”，没有常数项的一元二次方程一定没有“关系方程”，再根据条件“有两个不相等实数根”可知，是满足条件的一元二次方程． 故答案为：（答案不唯一） 三、解答题一(本大题共4小题，每小题8分，共32分） 16．用合适的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) ， 【详解】（1）解：方程中，，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， 移项得 ， 提取公因式得， ∴或， 解得，． 17．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围． (2)若该方程的两个实数根，满足，求k的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得； （2）解：∵该方程的两个实数根，， ∴， ∵， ∴， 解得． 18．近年来我国无人机设备发展迅猛，新型号无人机不断面世，科研单位为保障无人机设备能安全投产，现针对某种型号的无人机的降落情况进行测试，该型号无人机在跑道起点处着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间满足二次函数关系，其部分函数图象如图所示． (1)求y关于x的函数关系式； (2)若跑道长度为900（m），是否够此无人机安全着陆？请说明理由． 【答案】(1) (2) 可以安全着陆，理由如下： ∵， ∴该抛物线开口向下，当时，取得最大值800， 即：该无人机从跑道起点开始滑行至停下，需要800m， ∵跑道长900＞800， ∴该无人机可以安全着陆． 【详解】（1）设抛物线解析式为， 由图象可知抛物线过点，，，依次代入解析式得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）略． 19．某小区要修建一个矩形景观湖（图中阴影部分），景观湖的长和宽分别为和，同时要在它四周外围修建宽度相等的绿化带，已知景观湖和绿化带的总面积为． (1)求绿化带的宽度； (2)施工方最初报价为万元，物业经过两次商洽，最终以万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 【答案】(1)绿化带的宽度为 (2)每次降价的百分率为 【详解】（1）解：设绿化带的宽度为， 由题意，得． 整理得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：绿化带的宽度为2m． （2）设每次降价的百分率为y， 由题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：每次降价的百分率为． 四、解答题二(本大题共3小题，第20题12分，第21题13分，第22题13分，共38分） 20．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若每件衬衫降价4元，则该商场每天可盈利多少元？ (2)若该商场平均每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价多少元？ 【答案】(1)若每件衬衫降价4元，则商场平均每天可盈利1008元 (2)每件衬衫应降价20元 【详解】（1）解：∵每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件， ∴若商场每件降价4元，商场平均每天可多售出（件）， ∴每天共盈利（元）， （2）设每件衬衫应降价元，则商场平均每天可销售件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∵要扩大销售量，尽量减少库存， ∴． 答：每件衬衫应降价20元． 21．如图，在长方形中，，，点从点出发沿边以的速度移动，同时点从点出发沿边以的速度移动，当点运动到点时，，两点都停止运动，设运动的时间为． (1)_____cm，________cm（用含的代数式表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)若点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点 Q沿射线方向从 C 点出发以的速度移动，同时出发，是否存在t，使得三角形 的面积等于；若存在，请求出t；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【详解】（1）解：根据题意可知：，， ∵， ∴； （2）解：由题意得：， 解得：（舍去），； 当时，的长度等于； （3）解：存在， 根据题意可知，，， ①当时，， ， 整理得：，解得或（舍去）； ②当时，， ， 整理得：， ，方程无解； ③当时，， ， 整理得：，解得（舍去）或； 综上，当或时，三角形的面积等于． 22．如图，抛物线与x轴于交两点，交y轴于点C，连接，点D为上方抛物线上的一个动点，过点D作轴，交于点E．点P为抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，若，求点P的坐标； (3)求线段的最大值，并求出此时点D的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)， 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的表达式为：， 则抛物线的表达式为：； （2）当时，， ∴点C的坐标为      ， ， ， ， ， 或， ∴当时，， ∴无解， 当时， ， ， 点坐标为或 （3）设直线的解析式为， 将代入 得， 解得， ∴直线的解析式为． 设点，则点E的坐标是， ， ∴当时，线段的最大值为， ∴此时点D的坐标为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026——2027学年九年级数学第一学期 国庆学生自主练习卷3（内容：第25章一元二次方程第26章二次函数） 一、单选题(共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列函数中，二次函数是（    ） A．y＝﹣3x+5 B．y＝x（4x﹣3） C．y＝2（x+4）2﹣2x2 D．y＝ 2．用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（     ） A． B． C． D． 3．已知关于的一元二次方程，若方程有一个实数根是3，则的值为（   ） A．3 B． C． D．1 4．关于二次函数，下列结论不正确的是(   ) A．开口向上 B．时，随的增大而减小 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 5．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 6．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（       ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，点都在二次函数的图象上．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．【新情境·古代文化】《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作．其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？”设矩形田地的长为x步，则下列说法正确的是（   ） A．由题意可列方程 B．由题意可列方程 C． D．长比宽多6步 9．某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（    ）    A． B． C． D． 10．如图，二次函数的图象与x轴负半轴交于点，对称轴为直线．有以下结论：①；②；③若点，，均在函数图象上，则；④；其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题(共5小题，每小题4分，共20分） 11．一个三角形的两边长分别为3和5，第三边的长为一元二次方程的一个根，则第三边的长为________． 12．若点，均在抛物线上，则该抛物线的对称轴为直线________． 13．2024年10月，在华东师范大学附属贵阳学校第六届“追梦奥运，超越自我”为主题的体育节运动会上，九年级举行篮球比赛，赛制为单循环赛，即每一个球队都和其他的球队进行一场比赛，已知共举行了45场比赛，那么参加比赛的球队共有________个． 14．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“ 甲流 ”初期，有 1 人感染了“ 甲流病毒 ”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有 225 人感染了“ 甲流病毒 ”，则每轮传染中平均一个人传染了 ____ 人． 15．有四组一元二次方程：①和；②和；③和；④和． 这四组方程具有共同特征，我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“关系方程”． 请写出一个有两个不相等实数根但没有“关系方程”的一元二次方程：____________． 三、解答题一(本大题共4小题，每小题8分，共32分） 16．用合适的方法解下列方程： (1)； (2)． 17．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围． (2)若该方程的两个实数根，满足，求k的值． 18．近年来我国无人机设备发展迅猛，新型号无人机不断面世，科研单位为保障无人机设备能安全投产，现针对某种型号的无人机的降落情况进行测试，该型号无人机在跑道起点处着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间满足二次函数关系，其部分函数图象如图所示． (1)求y关于x的函数关系式； (2)若跑道长度为900（m），是否够此无人机安全着陆？请说明理由． 19．某小区要修建一个矩形景观湖（图中阴影部分），景观湖的长和宽分别为和，同时要在它四周外围修建宽度相等的绿化带，已知景观湖和绿化带的总面积为． (1)求绿化带的宽度； (2)施工方最初报价为万元，物业经过两次商洽，最终以万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 四、解答题二(本大题共3小题，第20题12分，第21题13分，第22题13分，共38分） 20．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． (1)若每件衬衫降价4元，则该商场每天可盈利多少元？ (2)若该商场平均每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价多少元？ 21．如图，在长方形中，，，点从点出发沿边以的速度移动，同时点从点出发沿边以的速度移动，当点运动到点时，，两点都停止运动，设运动的时间为． (1)_____cm，________cm（用含的代数式表示） (2)当为何值时，的长度等于？ (3)若点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点 Q沿射线方向从 C 点出发以的速度移动，同时出发，是否存在t，使得三角形 的面积等于；若存在，请求出t；若不存在，请说明理由． 22．如图，抛物线与x轴于交两点，交y轴于点C，连接，点D为上方抛物线上的一个动点，过点D作轴，交于点E．点P为抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，若，求点P的坐标； (3)求线段的最大值，并求出此时点D的坐标． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $