25.3 实际问题与一元二次方程 自测练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程应用，融合环保、乡村振兴、古代数学等真实情境，注重问题解决能力培养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|增长率问题、几何面积、古代数学|情境贴近生活（如防治雾霾、社区宣传画），基础巩固与概念辨析结合| |填空题|4|动态几何、增长率、古代问题|梯度设计，从直接应用到文化情境（如《四元玉鉴》买椽问题）| |解答题|5|实际应用（仓库围建、产量增长）、几何综合|综合性强，结合乡村振兴、智慧农业等热点，考查建模与运算能力|

25.3 自测练 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册 一、单选题 1．为防治雾霾，保护环境，某市掀起“爱绿护绿”热潮，经过两年时间，绿地面积增加了21%，设这两年的绿地面积的平均增长率是，则列出关于的一元二次方程为（    ） A． B． C． D． 2．在“两学一做”活动中，某社区居民在一幅长，宽的矩形宣传画的四周加上宽度相同的边框，制成一幅挂图（如图），如果宣传画的面积占这个挂图面积的，所加边框的宽度为，则根据题意列出的方程是（    ） A． B． C． D． 3．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的个主干上长出个枝干，每个枝干上再长出个小分支．若在一个主干上的主干，枝干和小分支的数量之和是个，则等于（    ） A． B． C． D． 4．2022年生产1吨药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，2024年生产1吨药品的成本是3200元，设这种药品成本的年平均下降率为x，下列说法错误为是（   ） A．这种药品的年平均下降额是900元 B．2023年这种药品的成本为元 C． D．按照这种下降速度，2025年生产1吨这种药品的成本为2300元 5．空地上有一段长为a米的旧墙，工人师傅欲利用旧墙和木棚栏围成一个封闭的长方形菜园（如图），已知木栅栏总长为40米，所围成的长方形菜园面积为S平方米．若，，则（　　）    A．有一种围法 B．有两种围法 C．不能围成菜园 D．无法确定有几种围法 6．若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　） A． B． C． D． 7．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知，，，则正方形ADOF的边长是（        ） A． B．2 C． D．4 8．如图所示，是用图形“〇”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”． 按照此规律继续摆下去，第（    ）个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． A．9 B．10 C．11 D．12 二、填空题 9．如图所示，在中，，，，点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A、B同时出发，经______秒钟，能使的面积等于面积的． 10．某市年年底自然保护区覆盖率为，经过两年努力，该市年年底自然保护区覆盖率达到，则该市这两年自然保护区覆盖率的年平均增长率为____． 11．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽，”其大意如下：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则可列方程为________． 12．有这样一首民间数学诗：三百六十一只缸，任君分作几船装。不许一船多一只，不容一船少一缸。译文为361只缸，任君分作几船装，船儿总数是多少，每船便装多少缸，问每船装几只缸？答：每船所装的缸数为___________。 三、解答题 13．实施乡村振兴战略是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他设计的矩形蔬菜仓库如图所示，仓库的一边靠墙，这堵墙的最大可利用长度为米，且要在边上开一扇宽为米的门，可用材料为米长的木板材料（全部使用完，门和靠墙的一边均不用木板材料），请问可以围成一个面积为平方米的矩形仓库吗？若可以，请计算出的长；若不可以，请说明理由． 14．某农业园区采用“智慧水稻”系统，在可控制环境的温室中进行多批次、高密度、连续栽培试验．十二月初水稻采收产量为吨，二月初水稻采收产量增至吨．假设技术稳定，每月产量的增长率相同． (1)求在该栽培模式下，每月产量的平均增长率． (2)按此增长率，预计三月初水稻采收的产量将达到多少吨？ 15．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆，据统计，第一天进馆64人次，进馆人数逐日增加，第三天进馆100人次，若进馆人次的日平均增长率相同． (1)求进馆人次的日平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每日接纳能力不超过120人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四天的进馆人次，并说明理由． 16．云南省城市足球联赛（滇超联赛）是云南历史上规模最大的省级足球赛事，于2025年11月29日在玉溪高原体育运动中心主体育场揭幕，该赛事以“一州（市）一队”的形式组织（每个州市都参赛），小组赛每支球队与其他球队各赛一场，采用单循环赛制，总计将进行120场比赛．求云南共有多少个州（市）？ 17．如图所示，有两个体积相同的圆柱形铁块A和B，圆柱A的底面半径为，高为且比圆柱B高．(π取3) (1)求圆柱B的底面积． (2)一个底面长，宽的长方体水箱里有一些水，将圆柱A和B立放于水箱里，水的深度恰好与圆柱A的高度相同，则水箱中，圆柱A，B放入之前的水面高度是多少厘米? 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D D D A C B D 1．D 设出绿地面积的参数为a，利用原有绿地面积×（1+平均每年绿地面积的增长率）2=现在的绿地面积，列方程即可． 设绿地面积为a，这两年平均每年绿地面积的增长率是x，根据题意列方程得： a（1+x）2=（1+21%）a，即（1+x）2=1+21%． 故选D． 2．D 此题考查了一元二次方程的应用，所加边框的宽度为，那么挂图的面积就应该为，根据题意即可列出方程，解题的关键是根据题中的等量关系，列出方程． 设所加边框的宽度为，那么挂图的面积就应该为， ∴， 故选：． 3．D 根据在个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是个，即可列出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 解：依题意，得： ， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 故选：． 4．D 本题考查了一元二次方程的应用，得到2年内变化情况的等量关系是解答关键． 设这种药品成本的年平均下降率为x，得到2023年这种药品的成本，来判断B；根据等量关系：列出方程求出年平均下降率来判断C；根据下降率求出两年的下降额，再求出年平均下降额度来判定A，最后用计算出2025年的成本来判断D． 解：设这种药品成本的年平均下降率为x， 根据题意得2023年这种药品的成本为，故B不符合题意； ， 解得，（不符合题意，舍去）， 所以这种药品成本的年平均下降率为，故C项不符合题意； 这种药品2023年下降，2024年下降额， 所以的年平均下降额是900元，故A不符合题意； 按照这种下降速度，2025年生产1吨这种药品的成本为（元），故此项符合题意． 故选：D． 5．A 设矩形的边为x米，则宽为米，根据面积建立一元二次方程，解方程即可得到答案． 解：如图所示，设矩形的边为x米，则宽为米，    根据题意得：， 即：， 解得：，， 而， ∴， ∴， ∴只有一种围法， 故选：A． 6．C 根据一元二次方程根与系数的关系，得到，根据菱形的面积得到，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案． 解：设方程的两根分别为a，b， ∴， ∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11， ∴，即， ∵菱形对角线垂直且互相平分， ∴该菱形的边长为 ，故C正确． 故选：C． 7．B 设正方形ADOF的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，解方程即可． 设正方形ADOF的边长为x， 由题意得：，， ， 在Rt△中，， 即， 整理得，， 解得：x=2或x=-12(舍去)， ， 即正方形ADOF的边长是2， 故选B． 8．D 本题主要考查了图形变化的规律，一元二次方程的应用，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律即可解决问题． 解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；…， 所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 由题知，， 解得，， 又因为n为正整数，所以， 即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍． 故选：D． 9．2或4 本题考查了一元二次方程的应用，抓住关键描述语“使的面积等于面积的”，找到等量关系是解决问题的关键．设经过x秒的面积等于8平方厘米，，，，由三角形的面积公式建立方程求出其解即可． 解：设经过x秒的面积等于面积的，，，，由题意，得 ， 解得：，． 答：设经过2秒或4秒，的面积等于面积的． 故答案是：2或4． 10． 解：设该市这两年自然保护区面积的年平均增长率为， 根据题意得：， 两边同时除以得：， 开平方得：， 解得 ，（负值舍去）， ∴这两年的平均增长率为． 11． 本题考查了列一元二次方程，设这批椽的数量为x株，再结合题意列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 解：设这批椽的数量为x株， 由题意可列方程为， 故答案为：． 12．19 根据题意，可知每船装的缸数和船的数量相等，且它们的乘积为361，进而求解. 解：设船儿总数是，则每船装只缸. 由题意得：， 解得（不合题意，舍去），. 故每船所装的缸数为19. 13．可以，米 本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解．设,表示出的长度，然后利用面积列出方程求解即可． 解：可以，理由如下： 设米，则米，根据题意得 ∴， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴，即米． 14．(1)在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为 (2)预计三月初水稻采收的产量将达到吨 （1）设每月产量的平均增长率为，根据等量关系，则二月初水稻采收产量增至，列出方程求解即可； （2）根据每月产量的增长率相同，列式计算即可． （1）解：设在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为． 由题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为． （2）解：（吨）， 答：预计三月初水稻采收的产量将达到吨． 15．(1) 进馆人次的日平均增长率为 (2) 校图书馆不能接纳第四天的进馆人次 （1）设进馆人次的日平均增长率为，根据第一天进馆64人次，第三天进馆100人次，列出方程进行求解即可； （2）根据增长率求出第四天的进馆人数，进行判断即可. （1）解：设进馆人次的日平均增长率为， 由题意，， 解得或（舍去）； 答：进馆人次的日平均增长率为； （2）解：不能，理由如下： ， 故校图书馆不能接纳第四天的进馆人次. 16．云南共有16个州（市） 本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 设云南共有个州（市），根据题意列出方程，求出的值即可解答． 解：设云南共有个州（市）， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意舍去）， 答：云南共有16个州（市）． 17．(1)圆柱B的底面积是 (2)水箱中,圆柱放入之前的水面高度是 考查圆柱和长方体体积的问题及一元二次方程的应用，掌握体积公式是做题的关键． （1）考查了圆柱体积公式，根据A与B体积相等列方程求出即可， （2）水面与A平，所以能求出加入A和B后总的体积，减去A和B圆柱的体积可得长方体中水的体积，由长方体体积公式可求出高度． （1）解：设圆柱B的底面半径为， 由题意，得圆柱B的高为， ∵圆柱A与圆柱B的体积相同， ∴， 解得， ∵π取3， ∴圆柱B的底面积， 答：圆柱B的底面积是； （2）两个圆柱放入长方体后，总体积， ∵， ∴， ∴水箱中，圆柱放入之前的水体积， ∴水箱中，圆柱放入之前的水面高度， 答：水箱中，圆柱放入之前的水面高度是． 学科网（北京）股份有限公司 $