第六章 圆 模型69 定角定高-【荣恒专项】2026年72个模型公式速通初中几何（初中通用）

72个模型公式速通初中几何 G0=V2-2 3 DG-2GQ-2243 , AD=AW+HG+DG=1+2 3 3 1+22-√3， ∴a=l+2√2-√/3 此时四边形ABFD的最大面积为(BF+ 模型69 分层演练 模型辨识 由A（4,0),OB=AB, ∠ABO=90°可知高为定值，∠MBN=30°为 定角，求MN长的最小值，符合定角定高 模型。 答案解：OB=AB,∠AB0=90°， .△ABO为等腰直角三角形. 根据“定角定高”模型作△BMN的外接圆 ⊙P,连接PM,PN,BP,过点P作PQ⊥MN 于点Q,过点B作BG⊥MN于点G,如图. A(4,0), .0A=4,BG=AG=0G=2. .·∠MBN=30°， ∴.∠MPN=60°. .PM=PN, .△PMN为等边三角形， ∴.∠MPQ=30° 设OP的半径为n,则M0-=,Pg= -T. 2 PB+PQ≥BG, +5r≥2，当且仅当B,P,Q三点共线， 2 即点Q与点G重合时，+5-2， 2 19 AD)xAB=×(2V3+1+2E-5+1+ 2√2-√5)×2=4√2+2. B C H送G D 图3 定角定高 此时r最小，解得=8-4√3， 即MN长的最小值为8-45， A 2 模型辨识 在△AEF中，边EF上的 高为定值，∠EAF=60°为定角，求面积的 最小值，符合定角定高模型 答案解：如图，将△ADF绕点A顺 时针旋转120°到△ABM. 由旋转得，BM=DF,AM=AF,∠ABM=∠D= 120°，∠MAB=∠FAD .∠ABC=60°， ∴.∠ABM+∠ABC=180°， .M,B,E三点共线. .'∠MAE=∠MAB+∠BAE=∠FAD+∠BAE= 60°，∠EAF=60°，.∠MAE=∠EAF. 又.AE=AE, .△FAE≌△MAE(SAS), 26 ∴.∠MEA=∠FEA. 过点A作AH⊥BC于点H,作AK⊥EF于 点K, .AH=AK=AB·sin60°=2/5， 作△AEF的外接圆⊙O,连接OA,OE, OF,过点O作ON⊥EF于点N. .∠EAF=60°， .∠E0F=120°， .∠N0F=60° 设EF=2x,则NF=x. 在RtAONF中，ON= 3,0R2V3 3七， .ON+OA=0W+0F=√3x. .·OA+ON≥AK, .3x≥25， x≥2， SAA=EF·AK=·2·2V3=2√3x≥ 4√5， ∴.△AEF面积的最小值是4√5. A B H E C 3 模型辨识 BM为定高，∠FMG为定 角，求最少费用，符合定角定高模型 答案解：如图，延长EM交CB的 延长线于点G,则∠AME=∠BMG,∠EAME ∠MBG-90°， C E d H M G 127 参考答暴 ∴.∠FMG=180°-∠EMF=60°. .M是AB的中点，AB=120m, ∴.AM=BM=-AB=60m, ∴.△EAM≌△GBM（ASA), ∴.S△EAM=S△CBM, ∴.S△EAM+S△FMB=S△GBM+S△FMB=S△FMG .种植这种景观树每平方米需200元，种 植这种花卉每平方米需100元， ∴种植景观树的区域越小，所需要的总费 用就越少 作△MG的外接圆⊙O,连接OM,OF, OG,过点O作OH⊥FG于点H, .LF0H=LG0H=LF0G=∠FMG=60°， FH=GH. 设OH=xm,则OM=0F=2xm,HF=√3xm, GF=2.3x m. .·OM+OH≥MB, ∴.2x+x≥60，解得x≥20， ∴.GF=23x≥2√5×20=405， .GF长的最小值为40√3m, .SAFNG的最小值为×60×40V5= 12003(m2), 此时S五边形D2Mrc=120×70-1200V3=(8400- 12003)m2, ∴.200×12005+100×(8400-1200√3)= (840000+120000√5)元， ∴.完成景观树和花卉的种植至少需要 (840000+1200005)元. 模型辨识 (2)∠BAC=60°为定角， AD为定高，求面积的最小值，符合定角 定高模型 答案解：（1)以AB长为直径作圆， 72个模型公式速通初中几何 在圆上任取一点C(不与点A,B重合)， 连接AC,BC,如图1， 图1 则∠ACB=90° .Rt△ACB即为所求， (2)如图2，作△ABC的外接圆⊙0， 连接OA,OB,OC,过点O作OE⊥BC于点 E,则∠BOC=2∠BAC,OA=OB=OC,BE= CE=-BC. 2 B C 图2 .∠BAC=60°， .∠B0C=120°，∠0BC=∠0CB=30°， 设0A=0B=0C=,则0E=,BC=2BE=V3n .A0+0E≥AD,AD=4, 叶分≥4，解得≥ 1 ·BCV3r≥8 3 ·BC的最小值为8Y3 3 Sar8c·AD, △ABG面积的最小值为)x8Y -×4= 3 163 3 128 (3)四边形AECF的面积存在最大值.理 由如下： 分别延长AB,DC交于点M,如图3， E E B 图3 则△ADM,△CBM均为等腰直角三角形. CB=CD=62 m, ∴.BM=6√2m,CM=12m,AD=DM=(12+ 6√2)m. S题aom=Sa4nr-SACN)DMr-号BC2- ×262-5x62-7z4722. .∠BCD=180°-45=135°， .将△CBE绕点C顺时针旋转135°得到 △CDE,则A,D,E'三点共线， '.S四边形AECr=S四边形ABCD-（S△cBE+S△cDF)= S四边形ABCD-S△CEP· S四边形ABCD为定值， “.当SACEF取得最小值时，S四边形ABCr取得 最大值. .∠E℃F=135°-90°=45°， ∴.以E℉为斜边向下作等腰直角三角形 OE℉，则△CEF的外接圆是以点0为圆心， OF长为半径的圆 设△CE℉的外接圆半径为rm,则EF= √2rm. .·OC+OD≥CD, 2r+r≥62， 2 ∴.r≥122-12 当点O在CD上时，E℉最小， 此时EF=√2r=(24-12√2)m, 1 ÷Sacr最M=2×(24-12V2)×6V2 =(72√2-72)m2 模型70 分层演练 模型辨识∠AOB=-80°为定角，AB为 定线段，P为动点，求张角∠APB何时最大， 符合最大张角模型. 答案解：海边立有两座灯塔A,B, 暗礁分布在经过A,B两点的弓形（弓形的 弧是⊙O的一部分)区域内，∠AOB=80°， .当点P在⊙O上时，轮船P与A,B的 张角∠APB最大， .∠APB的最大值为号LA0B=40 2 模型辨识 AB为定线段，P为动点， 求∠APB何时最大，符合最大张角模型 答案解：由最大张角模型的结论， 可得当点P与点D重合时，∠APB的值最大， ·AB是⊙O的直径， .∠APB的最大值是90° 3 模型辨识 ∠O为定角，AB为定线段， C为动，点，求∠ACB何时最大，符合最大 张角模型 答案解：如图，作△ABC的外接圆， 设C'是边OM上不同于点C的任意一点， 连接AC',BC,BC'与外接圆交于点D,连 接AD. 参考答暴 “.S四边形ABCF最大=S四边形ABCD-S△cEF最小 =72+72√2-(722-72) =144(m2). 最大张角 .'∠ADB=∠ACD+∠DAC', ∴.∠ADB>∠ACD.又∠ACB=∠ADB, ∴.∠ACB>∠ACD. .当△ABC的外接圆与边OM相切于点C 时，∠ACB最大. M D ‘B 4 模型辨识●DM为定线段，P为动点， 求∠DPM何时最大，符合最大张角模型： 答案解：作△PMD的外接圆，作 弦DM的中垂线交DM于点N,则圆心O 在直线ON上移动，连接OM,OD,如图. .∠DOM=2∠DPM, .当∠DOM最大时，∠DPM最大 易知当⊙O与BC相切时，∠DOM最大， .M是CD的中点，CD=AB=4, .∴.CM=DM=2, 2972个模型公式速通初中几何 模型69定角定高 ©模型解读 模型构建 E,F为直线AB上的动点，且∠EDF为定角，DC为定长 D D 图形拆解 作△DEF的外接圆⊙O 相关结论 当圆心O在DC上时，EF长取得最小值 如图，作△DEF的外接圆， OD=r, 圆心为O,过点0作OG⊥EF, .r+h≥DC, 设⊙0的半径为r,0G=h, 即r≥DC-OG, 连接OD. .当点O在DC上时，等 B :∠EDF为定值， 号成立，此时r最小 证明分析 ·.∠EOF为定值. 此时直线DO⊥EF. 又.·OE=0F=r, 又·OE=OF,.DE=DF, ·.△OEF形状固定（即弦长 即△DEF为等腰三角形 EF与半径r的比值为定值)， .当r最小时，EF的长最小. 8模型拓展 已知条件 D为定点，∠A为定角，∠EDF为定角 G D 过点D分别作DG⊥AC,DH⊥AB,垂足分别为G, 辅助线 H,作∠EDI=∠GDH 结论 DH=DI=定值 DG DE 228 模型69)定角定高 8 模型应用 1如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E,F分别为直线AB, BC上的动点，∠EDF=30°，求△DEF面积的最小值 E B /三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 作DG⊥DF,交BA的延 易得△ADG∽△CDF, 长线于点G,分别过点G DG=DA=1 第一步：两个三角 F作直线DE的垂线，垂 DE DC ’ ∴.∠GDE=90°-30°=60° 形的面积比成定 足分别M,N DE·GM SADGE 3DG GM 值，可利用转化思 D S△DEF 想求解 2 DE·FW PN= DF 2 =3 GA E 3×2 当△DGE的外接圆圆心O 当SADEG最小时， 易得△DGE是等边三 在高DA上时，GE最小， 第二步：G,E为直 此时，SAec最小 角形，.SADGE 4./3 3 线AB上的动点， D ∠GDE为定角，DA 此时SADEF 43÷5=8 2 3 为定长 0 B 的最小值为号 分层演练 1.如图，在平面直角坐标系中，A（4,0), 2.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=CD=4, OB=AB,∠ABO=90°，点M,N在OA上运动， AD∥BC,∠B=60°，E,F分别为边BC, 且∠MBN=30°，求MN长的最小值. CD上的两个动点，且∠EAF=60°，求 △AEF的面积的最小值： B 229 72个模型公式速通初中几何 3.如图，有一块矩形空地ABCD,AB=120m, 4.[问题提出] BC=70m,现要对这块空地进行改造，根 (1)如图1，已知线段AB,请以AB为斜边， 据设计要求，在AB的中点M处修建一个 在图中画出一个直角三角形 观景台，边AD,BC上分别修建亭子E,F, (2)如图2，已知点A是直线l外一点，点B, 且∠EMF=120°，并在△MAE和△MBF区 C均在直线1上，AD⊥1且AD=4, 域种植景观树，在矩形其他区域均种植花 ∠BAC=60°，求△ABC面积的最小值 卉.已知种植这种景观树每平方米需200元， [问题解决] 种植这种花卉每平方米需100元，按设计 (3)如图3，某园林单位要设计把四边形 要求，完成景观树和花卉的种植至少需要 花园划分为几个区域种植不同花草， 多少元？（结果保留根号） 在四边形ABCD中，∠A=45°，∠B= D C ∠D=90°，CB=CD=6V2m,E,F分 别为AB,AD上的点，如果保持 E CE⊥CF,那么四边形AECF的面积 B 是否存在最大值？若存在，请求出面 积的最大值；若不存在，请说明理由. A B B D 图1 图2 D 图3 230